---
title: "高斯分布的稀有尾部怎样决定原初黑洞的数量"
description: "从曲率功率谱推到密度方差、塌缩比例和今天的质量函数，看清峰值变动15%为什么影响巨大。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/primordial-black-holes/how-a-rare-gaussian-tail-sets-the-abundance/"
language: "zh-CN"
page_type: "story"
alternate_languages:
  en: "https://sandboxphysics.com/stories/primordial-black-holes/how-a-rare-gaussian-tail-sets-the-abundance/"
last_modified: "2026-11-12"
---

[原初黑洞：从早期塌缩到今天的观测限制](https://sandboxphysics.com/zh/stories/primordial-black-holes/) L2

# 高斯分布的稀有尾部怎样决定原初黑洞的数量

Sandbox Physics · 2026-11-12

塌缩比例是高斯分布在七个标准差以外那一小截尾巴的面积。它的对数和方差成反比，所以功率谱峰降低15%，黑洞就少掉约99%。塌缩形成的黑洞随宇宙膨胀，相对辐射越来越重，于是约$10^{-13}$的塌缩比例就足以构成全部暗物质。

## 开始前需要什么

上一章的视界质量与阈值、高斯分布，以及对数变量下的积分。

## 从曲率功率谱到密度方差

暴胀一类模型用曲率功率谱$\mathcal{P}_\zeta(k)$描述早期起伏：每个对数波数区间里，曲率扰动贡献多少方差。Lab用一个对数正态形的峰，振幅$A$，宽度$\Delta$，中心在波数$k_*$。

决定是否塌缩的，是重新进入视界时按视界尺度$R$平滑的密度反差。辐射时期，视界附近的密度反差是曲率扰动的$(4/9)(kR)^2$倍，平方后密度功率带上因子$(16/81)(kR)^4$。用高斯窗口平滑，方差就是下面的积分（Young、Byrnes与Sasaki）。比$R$长得多的模式被$(kR)^4$压低，短得多的模式被窗口截掉。

模式在$k=aH$时进入视界。辐射时期$a\propto t^{1/2}$，$H=1/(2t)$，所以$aH\propto t^{-1/2}$，视界质量满足$M_H\propto t\propto k^{-2}$。记$k_*$进入视界时的视界质量为$M_*$，就有$k_*R=(M_H/M_*)^{1/2}$。

$$
\mathcal{P}_\zeta(k)=\frac{A}{\sqrt{2\pi}\,\Delta}\exp\!\left[-\frac{\ln^2(k/k_*)}{2\Delta^2}\right]
$$

对$\ln k$积分得到$A$：振幅就是峰里的总功率。

$$
\sigma^2(M_H)=\frac{16}{81}\int\mathrm{d}\ln k\,(kR)^4e^{-(kR)^2}\,\mathcal{P}_\zeta(k),\qquad k_*R=\left(\frac{M_H}{M_*}\right)^{1/2}
$$

$16/81$就是$(4/9)^2$。高斯窗口$e^{-(kR)^2}$是一种约定，换别的窗口，方差会差一个量级为1的因子。

对应阅读：Young, Byrnes & Sasaki · Calculating the mass fraction of primordial black holes · arXiv:1405.7023v4, JCAP 1407 (2014) 045 · Carr, Iovino, Perna, Vaskonen & Veermäe · Primordial black holes: constraints, potential evidence and prospects · arXiv:2601.06024v2 (1 April 2026)

## 两个可以手算检验的极限

峰非常窄时，把功率谱换成$A\,\delta(\ln k-\ln k_*)$，积分只剩一点。记$r=M_H/M_*$，方差变成$(16/81)A\,r^2e^{-r}$。令$r^2e^{-r}$的导数为零，得到$r=2$：方差在峰值尺度视界质量的两倍处最大，塌缩也最多。所以Lab把最常见的黑洞质量写成$M_c=2\gamma M_*$。

峰非常宽时，$\mathcal{P}_\zeta$在窗口内几乎不变，剩下的积分$\int_0^\infty x^3e^{-x^2}\mathrm{d}x=1/2$，于是$\sigma^2=8\mathcal{P}_\zeta/81$。参考程序对平坦极限的误差是十万分之六，对窄峰极限是十万分之三。

$$
\sigma^2_{\rm narrow}=\frac{16}{81}A\,r^2e^{-r},\qquad \sigma^2_{\rm flat}=\frac{8}{81}\mathcal{P}_\zeta
$$

两个极限都直接来自同一个积分，不需要额外假设。

对应阅读：Young, Byrnes & Sasaki · Calculating the mass fraction of primordial black holes · arXiv:1405.7023v4, JCAP 1407 (2014) 045

## 塌缩比例是很远的尾巴

如果平滑后的密度反差服从方差为$\sigma^2$的高斯分布，Press–Schechter估计给出：视界质量为$M_H$时塌缩的质量比例，等于超过阈值的概率乘以2。这个2来自Press–Schechter理论的约定，Young、Byrnes与Sasaki比较过其他取法。

Lab默认的峰值处，$\sigma=0.0616$，$\delta_c=0.45$，阈值在$\nu=\delta_c/\sigma=7.31$个标准差以外，$\beta=2.74\times10^{-13}$。右边的渐近式在这个$\nu$下偏高1.8%，Lab和参考程序都直接算完整的函数。

$$
\beta(M_H)=2\int_{\delta_c}^{\infty}\frac{e^{-\delta^2/2\sigma^2}}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\,\mathrm{d}\delta=\operatorname{erfc}\!\left(\frac{\delta_c}{\sqrt2\,\sigma}\right)\approx\sqrt{\frac{2}{\pi}}\,\frac{1}{\nu}\,e^{-\nu^2/2}
$$

独立核验用40位精度直接积分尾部，$\nu$从1到25，与闭式结果的相对差小于$10^{-30}$。

对应阅读：Young, Byrnes & Sasaki · Calculating the mass fraction of primordial black holes · arXiv:1405.7023v4, JCAP 1407 (2014) 045 · Sasaki, Suyama, Tanaka & Yokoyama · Primordial black holes: perspectives in gravitational wave astronomy · arXiv:1801.05235v1

## 算一个例子：降低15%为什么少了99%

把振幅从$A=0.0608$降到$0.0516$，乘了0.849。峰值处的方差也乘0.849，$\sigma$从0.0616降到0.0568，$\nu$从7.31升到7.93。

指数$\nu^2/2$从26.7变成31.4，差4.74，合2.06个数量级；前面的$1/\nu$再贡献0.04个数量级。估计下降2.10个数量级，完整计算在峰值处是2.09。对所有质量积分，暗物质占比从0.986降到0.0074，少了133倍。早期功率谱稍微一动，答案就差几个数量级；一个丰度数值靠不靠得住，要看它背后的阈值、窗口和统计假设。

$$
\frac{\mathrm{d}\ln\beta}{\mathrm{d}\ln\sigma^2}\approx\frac{\nu^2}{2}
$$

$\nu\approx7$时，方差变1%，$\beta$约变27%。

对应阅读：Young, Byrnes & Sasaki · Calculating the mass fraction of primordial black holes · arXiv:1405.7023v4, JCAP 1407 (2014) 045 · Carr, Iovino, Perna, Vaskonen & Veermäe · Primordial black holes: constraints, potential evidence and prospects · arXiv:2601.06024v2 (1 April 2026)

## 从塌缩比例到今天的暗物质占比

刚形成时，黑洞占能量密度的$\gamma\beta$。此后黑洞的密度按$a^{-3}$下降，辐射按$a^{-4}$下降，黑洞的占比和$a$成正比地增长，直到物质主导。越早形成的黑洞，增长的余地越大。形成时$a\propto t^{1/2}\propto M_H^{1/2}$，所以今天的占比正比于$\gamma\beta M_H^{-1/2}$。

把常数收拢，得到质量函数$\psi$：每个对数质量区间占暗物质的比例，对它积分就是总比例$f$。取相对论自由度$g_*=106.75$、$\Omega_{\rm DM}=0.264$、$H_0=67.4\,\mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}$，系数$C=3.77\times10^{8}$。在Sasaki等人的参考值$g_*=10.75$下改写成他们式27的形式，比他们取整的$2.7\times10^{8}$高11%。差别来自宇宙学参数，这里如实报告，不去调平。

默认峰值处$M_H=1.58\times10^{-10}\,\mathrm{M}_\odot$，$\gamma C M_H^{-1/2}=6.0\times10^{12}$，再乘$\beta=2.74\times10^{-13}$，峰值处$\psi\approx1.6$。质量分布在$\ln M$上的有效宽度约0.6，所以$f\approx1$。

$$
\psi(M)=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}\ln M}=\gamma\,\beta(M_H)\,C\left(\frac{M_H}{\mathrm{M}_\odot}\right)^{-1/2},\qquad M=\gamma M_H,\qquad f=\int\psi\,\mathrm{d}\ln M
$$

稀有尾部$\beta$和增长因子$M_H^{-1/2}$一起决定一个数量级的质量里装了多少暗物质。

对应阅读：Sasaki, Suyama, Tanaka & Yokoyama · Primordial black holes: perspectives in gravitational wave astronomy · arXiv:1801.05235v1 · Carr, Iovino, Perna, Vaskonen & Veermäe · Primordial black holes: constraints, potential evidence and prospects · arXiv:2601.06024v2 (1 April 2026)

## 这个模型略去了什么

上面每一步都假设统计是高斯的，曲率到密度的换算是线性的。2026年综述强调，真实情形里这两条都不成立：曲率和密度之间的非线性关系，以及曲率本身一开始就非高斯，都会让尾部按指数改变。阈值还取决于剖面形状，临界塌缩也会让同一时刻形成的黑洞质量有大有小。用本章的公式看清各部分怎样衔接；要相信某个具体数值，先去读综述。

对应阅读：Carr, Iovino, Perna, Vaskonen & Veermäe · Primordial black holes: constraints, potential evidence and prospects · arXiv:2601.06024v2 (1 April 2026) · Harada, Yoo & Kohri · Threshold of primordial black hole formation · arXiv:1309.4201v4, Phys. Rev. D 88, 084051 (2013)

## [体会尾部有多陡](https://sandboxphysics.com/zh/labs/primordial-black-hole-mass-function/)

1. 先预测：峰的振幅降低15%，暗物质占比会降多少？
2. 选“峰值降低15%”，把塌缩比例和暗物质占比与你的预测对比。
3. 回到默认，把阈值从0.45调到0.47，解释为什么变化和振幅降低约8%差不多大。

## 练习与解释性答案

1. 平坦功率谱、$\delta_c=0.5$时，振幅多大才得到$\beta=10^{-20}$？和Young、Byrnes与Sasaki给出的界比较。

   展开解释

   解$\operatorname{erfc}(0.5/\sqrt{2}\sigma)=10^{-20}$，其中$\sigma^2=8\mathcal{P}_\zeta/81$。需要$\nu=9.34$，即$\sigma=0.0535$、$\mathcal{P}_\zeta=0.0290$，和他们给出的0.029一致。

2. $\sigma=0.0616$时，把阈值从0.45提高到0.47，$\beta$变多少？

   展开解释

   $\nu$从7.31变成7.63，$\log_{10}\beta$从$-12.56$变成$-13.63$，少了12倍。阈值提高4%，相当于方差降低8%，因为$\nu^2$取决于$\delta_c^2/\sigma^2$。

3. $\psi(M)$的峰为什么比窄峰极限给出的$M_c=2\gamma M_*$稍轻？

   展开解释

   $\psi$在$\beta$之外还乘了$M_H^{-1/2}$，偏向较轻的质量；有限宽度$\Delta$也会挪动方差最大的位置。默认状态下滑块读数是$3.98\times10^{-11}\,\mathrm{M}_\odot$，而在Lab步长0.05个数量级的网格上，质量函数的峰在$3.16\times10^{-11}\,\mathrm{M}_\odot$，轻了约0.1个数量级。

[上一篇：早期宇宙里的一块高密度区域怎样变成黑洞](https://sandboxphysics.com/zh/stories/primordial-black-holes/how-an-early-overdensity-becomes-a-black-hole/) [下一篇：黑洞质量有分布时，怎样同时对照多项观测](https://sandboxphysics.com/zh/stories/primordial-black-holes/test-a-mass-spread-against-many-limits/)

## 来源，以及每篇读了多少

1. [Carr, Iovino, Perna, Vaskonen & Veermäe · Primordial black holes: constraints, potential evidence and prospects · arXiv:2601.06024v2 (1 April 2026)](https://arxiv.org/abs/2601.06024v2)

   综述；arXiv 标注期刊信息 Riv. Nuovo Cim. (2026)。通读第II.A.2节（非高斯性）、IV.C（引力波）、IV.E（吸积）、V（小行星质量窗口）、VI（式25至29）以及图2至图6的图注；第II、III节读了部分。

2. [Young, Byrnes & Sasaki · Calculating the mass fraction of primordial black holes · arXiv:1405.7023v4, JCAP 1407 (2014) 045](https://arxiv.org/abs/1405.7023v4)

   第1至4.2节：高斯窗口平滑的密度方差、Press–Schechter尾部估计，以及用来独立核验的式28数值。

3. [Sasaki, Suyama, Tanaka & Yokoyama · Primordial black holes: perspectives in gravitational wave astronomy · arXiv:1801.05235v1](https://arxiv.org/abs/1801.05235v1)

   第2.3节式21至31：视界质量、塌缩效率，以及形成比例换算成今天的丰度。

4. [Harada, Yoo & Kohri · Threshold of primordial black hole formation · arXiv:1309.4201v4, Phys. Rev. D 88, 084051 (2013)](https://arxiv.org/abs/1309.4201v4)

   只读了摘要。摘要给出辐射主导时，数值模拟所用量度下的阈值约为0.41。

## 继续阅读

宇宙最初一秒里的黑洞 · 阅读路径

### 宇宙最初一秒里的黑洞

1. [文章 **比恒星还早的黑洞，今天该怎样找**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/primordial-black-holes/how-to-find-black-holes-older-than-stars/)
2. [文章 **早期宇宙里的一块高密度区域怎样变成黑洞**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/primordial-black-holes/how-an-early-overdensity-becomes-a-black-hole/)
3. [当前页面 **高斯分布的稀有尾部怎样决定原初黑洞的数量**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/primordial-black-holes/how-a-rare-gaussian-tail-sets-the-abundance/)
4. [文章 **黑洞质量有分布时，怎样同时对照多项观测**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/primordial-black-holes/test-a-mass-spread-against-many-limits/)
5. [文章 **把微引力透镜限制推广到有质量分布的黑洞**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/primordial-black-holes/extend-a-microlensing-limit-to-a-mass-spread/)
6. [文章 **怎样读2026年的原初黑洞综述**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/primordial-black-holes/read-the-2026-primordial-black-hole-review/)