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title: "哪些凌星能留下来"
description: "从有限曝光凌星模板推导高斯探测统计量，再对观测窗口与轨道方向一起求平均，计算同一次发现的机会。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/planet-populations/which-transits-survive/"
language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/planet-populations/which-transits-survive/"
last_modified: "2026-11-03"
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[从发现名单到行星族群](https://sandboxphysics.com/zh/stories/planet-populations/)

AC24 · L2

# 哪些凌星能留下来

Sandbox Physics · 2026-11-03

一次凌星进入名单，需要轨道几何、观测时刻和带噪声的测量共同允许它被识别。应当对这整段过程求概率，再平均未知的方向和相位。把彼此无关的平均惩罚拼起来，可能漏掉它们之间的关系。

## 开始前需要什么

先读“没发现行星的恒星也要留下”。本章把积分介绍为加权平均，把高斯概率介绍为重复带噪测量中越过阈值的比例。

## 一次曝光平均了少掉的光

记时刻$t$被行星挡住的星光比例为$\delta(t)$。在均匀星盘模型里，这个量来自两个真实圆盘的重叠面积。凌星附近把投影路径近似成一条直弦，行星中心与恒星中心的距离随时间改变，重叠面积也跟着改变。

探测器不会冻结某个瞬间。它在一段曝光时长$\Delta t$内收集光子，这里把时长换成天。预测的亮度亏损，是这段时间内被挡比例的平均值。刚进入或刚离开星盘时，平均值可能与曝光中央时刻差得很明显。

先在圆盘初次接触、行星完全进入、开始离开和重叠结束的时刻处分段。恒星处处等亮时，行星完全在星盘内的那几段深度恒定，只有部分重叠段需要数值积分。合成巡天采用三十分钟曝光，并按这些接触时刻分段计算。

$$
\bar\delta_i=\frac{1}{\Delta t}\int_{t_i-\Delta t/2}^{t_i+\Delta t/2}\delta(t)\,dt
$$

前面的$1/\Delta t$把累积亏损变成平均值，积分上下限和曝光时长都以天为单位。

对应阅读：Christiansen 2017, Pixel-Level Transit Injection Tests of Pipeline Detection Efficiency for DR25 · Burke and Catanzarite 2017, Per-Target Detection Contours for DR25

## 让一份已知模板回答一个明确问题

先给教学实验一个便于计算的条件：周期和事件时刻已经知道。把每次曝光预期少掉的光记作$s_i$，以百万分比计。测量值$y_i$为正表示比基线少光。每次曝光加入独立高斯噪声，均值为零、标准差为$\sigma$。

用预期形状给测量加权。凌星较深的样本权重大，几乎没挡光的样本权重小。再除以噪声尺度和模板长度，得到噪声方差为一的统计量$Z$。

信号与模板相符时，统计量均值为$\nu$；没有信号时，均值为零。通过阈值$z_0$的概率，就是单位高斯分布在阈值上方的面积。随着预期信号增强，成功机会连续上升，不会在预期信号的某个数值处突然从零跳到一。

完整盲搜会尝试许多周期和模板，还要拒绝其他类型的假信号。Kepler的实测回收率包含这些搜寻和后续审查。这里的预设模板便于推导概率；真实教程会另用实际成功和失败的注入来校准条件响应。

$$
Z=\frac{\sum_i s_i y_i}{\sigma\sqrt{\sum_i s_i^2}},\qquad \nu=\frac{\sqrt{\sum_i s_i^2}}{\sigma},\qquad P(Z>z_0)=\Phi(\nu-z_0)
$$

$\Phi$为标准正态分布的累积概率。合成阈值取$z_0=7.1$，这是给定的探测规则。

对应阅读：Christiansen 2017, Pixel-Level Transit Injection Tests of Pipeline Detection Efficiency for DR25

## 观测季筛选了轨道相位

把连续凌星中心写成$\phi+nP$。其中$P$是周期，$n$是整数，未知相位$\phi$在一个周期内均匀分布。观测计划则给出一组有资料的时间区间。

合成巡天只接受整份有限曝光模板都落在有效区间内的凌星。为此，把每个有效区间的两端各缩进去半个模板宽度。中心落在剩余区间里，才算一次完整事件。这样，紧挨长间断的凌星不会被当成已经测全。

完整做一个极限例题：先把事件缩成时间点，连续观测三十七天。十五天周期的行星想留下至少三次事件，第一次必须落在起始后的七天内。十五种相位日里有七种成功，概率约为$0.4667$。

也可以连续移动相位来数。相位从零走到十五天，只有事件中心越过观测边界时，覆盖次数才会改变。若存在多个有效区间，把各端点对周期取余，就能把相位分成若干段，每段里的事件数恒定。把各段长度加权求和，便得到这套窗口规则的精确相位平均。

$$
W(P)=\frac1P\int_0^P\mathbf1[N_{\rm covered}(P,\phi)\ge3]\,d\phi
$$

事件够多时，指示函数取一，否则取零。时间点事件和单个连续跨度$T$的极限结果为$\max(0,\min(1,T/P-2))$。

对应阅读：Burke and Catanzarite 2017, Per-Target Detection Contours for DR25 · Measuring Transit Signal Recovery in the Kepler Pipeline IV

## 窗口和信号强度属于同一次凌星

擦过星盘边缘的凌星通常更短、更浅。短模板可能更容易塞进间断旁的一小段有效时间，浅信号却更难通过探测。碰撞参数会同时改变窗口条件和高斯回收概率。

应当把两者放在同一个平均里。固定半径和周期后，先选一个轨道方向，算出它的实际模板，再数完整拍到了几次，最后求通过噪声阈值的概率。完成这几步，才对方向和相位平均。

如果回收实验已经跑过含间断的观测计划，最终回收比例就已经包含间断损失。三十七天例子中的$7/15$若再乘一次$7/15$，会变成约$0.2178$，原来的成功机会却约为$0.4667$。第二个因子只有在描述另一次独立观测要求时才有意义。

$$
q(P,R)=\int_0^1 d\mu\,\frac1P\int_0^P P(\mathrm{pass}\mid P,R,\mu,\phi)\,d\phi
$$

这里$\mu=|\cos i|$。轨道不穿过星盘，或完整事件少于三次时，被积概率取零。

对应阅读：Burke and Catanzarite 2017, Per-Target Detection Contours for DR25

## 每一层计算都需要自己的参照

合成计算有几层数值近似。把族群积分网格加密后结果相近，并不能检验内部的曝光积分是否足够准确。每一层都需要独立参照。

交付的检查把圆盘重叠与独立直角坐标条带积分比较，把曝光平均与自适应时间积分比较，再把相位分段与直接枚举事件比较。另一份条件蒙特卡洛计算随机抽周期、半径、相位和碰撞参数，并把抽样误差与选择概率差值放在一起。

真实DR25资料还有一层提醒：简单的深度除以噪声代理量，与来源给出的预期多事件统计量不同。来源已经修正过的预期统计量，也不同于单次搜寻得到的测量统计量。教程会保留这些差别，再用实际注入结果拟合响应。

对应阅读：Christiansen 2017, Pixel-Level Transit Injection Tests of Pipeline Detection Efficiency for DR25 · Burke and Catanzarite 2017, Per-Target Detection Contours for DR25

## 练习与解释性答案

1. 连续四十天观测十五天周期的时间点事件，拍到至少三次的概率是多少？若完整模板宽一天，结果怎样变？

   展开解释

   时间点事件在十五个相位日中的十天成功，概率为三分之二。要求一天宽模板全部落入，会把有效中心跨度缩为三十九天，剩下九个成功相位日，概率为五分之三。

2. 保存的注入回收比例已经包含实际间断，还要再乘一次有效观测比例吗？

   展开解释

   只有当它表示原实验没有包含的新观测要求时才需要。重复使用同一间断，会把同一批缺失测量扣两遍。

## 动手检验预测

### [改变探测器，看漏掉的行星出现](https://sandboxphysics.com/zh/labs/planet-survey-selection/)

1. 先预测反复间断和缩短连续观测季，是否会漏掉完全相同的行星。
2. 选择“反复间断”，比较发现的周期半径分布。
3. 保留间断、再降低噪声，解释哪些行星回来了，哪些仍然凑不够三次完整事件。

[上一篇：没发现行星的恒星也要留下](https://sandboxphysics.com/zh/stories/planet-populations/keep-stars-without-detections/) [下一篇：从几次探测推回一群行星](https://sandboxphysics.com/zh/stories/planet-populations/from-counts-to-a-population/)

## 来源与计算范围

1. [Christiansen 2017, Pixel-Level Transit Injection Tests of Pipeline Detection Efficiency for DR25](https://exoplanetarchive.ipac.caltech.edu/docs/KSCI-19110-001.pdf)

   KSCI-19110-001第2至4节；第9至12页解释匹配、孔径修正深度、预期MES与表中各列。

2. [Burke and Catanzarite 2017, Per-Target Detection Contours for DR25](https://exoplanetarchive.ipac.caltech.edu/docs/KSCI-19111-002.pdf)

   KSCI-19111-002式1至2、第3.5至3.6及4至7节，涉及OSD、窗口和逐目标转换。

3. [Measuring Transit Signal Recovery in the Kepler Pipeline IV](https://arxiv.org/html/2010.04796v1)

   固定版本2010.04796v1第II至IV节，像素注入设计与汇总响应。