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title: "从几次探测推回一群行星"
description: "归一化周期半径族群，推导泊松Gamma发生率后验，把整数分类、未知选择和半径误差带入解释。"
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last_modified: "2026-11-03"
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[从发现名单到行星族群](https://sandboxphysics.com/zh/stories/planet-populations/)

AC24 · L3

# 从几次探测推回一群行星

Sandbox Physics · 2026-11-03

如果每颗行星被找到的机会很低，少量发现也可能对应丰富族群。计算需要一份整数目录，以及给定族群形状下的有效搜寻数。再用概率模型说明，推回的发生率还有多大不确定性。

## 开始前需要什么

先读前两章的搜寻样本和凌星筛选。这里继续把积分当作加权平均，并把概率密度介绍成每小段区间所分到的概率。

## 先说发生率数的是哪些行星

选定周期$P$和半径$R$组成的区域$B$。周期以天计，半径以名义地球赤道半径计。$f_B$表示区域内每颗搜寻恒星对应的行星数。它可以大于一，因为恒星可以拥有好几颗行星。

单有总数，还没有说明行星在区域内部怎样分布。用归一化形状$h(P,R)$描述：在整个区域积分，结果为一。若形状在对数周期和对数半径上均匀，相同倍数范围会得到相同概率。

对数坐标的变化满足$d\ln P=dP/P$。用线性坐标写对数均匀密度时，必须带上$1/P$和$1/R$。这些是换变量的权重，也叫雅可比因子。遗漏它们，会无意中偏向线性宽度较大的区间。

$$
h(P,R)=\frac{1}{PR\ln(P_{\max}/P_{\min})\ln(R_{\max}/R_{\min})},\qquad \int_B h(P,R)\,dP\,dR=1
$$

有限边界和对数均匀形状，规定了这次计算假设的族群。

对应阅读：A Probabilistic Approach to Kepler Completeness and Reliability for Exoplanet Occurrence Rates · IAU 2015 Resolution B3 nominal conversion constants

## 让整份搜寻给出一个预期计数

对搜寻恒星$j$，$q_j(P,R)$表示一颗行星进入最终目录的概率。先按族群形状平均这个概率，再把所有搜寻恒星相加，得到有效搜寻数$E_B$。

设每颗恒星的行星数独立服从泊松分布。按给定概率保留其中行星，相当于对泊松过程稀疏抽取；把各星保留下的行星相加，仍得到泊松计数，均值为$f_BE_B$。

合成实验的行星数、轨道方向和测量噪声相互独立，这个假设便于直接检验。真实行星系统的结构可以让凌星机会相关，因此每星行星数模型和行星系统模型应当分别说明。

$$
E_B=\sum_{j=1}^{N_\star}\int_B q_j(P,R)h(P,R)\,dP\,dR,\qquad p(n\mid f_B,E_B)=\frac{(f_BE_B)^n e^{-f_BE_B}}{n!}
$$

发现计数$n$是整数。有效搜寻数以加权恒星数计，观测时长已经进入各星的选择概率。

对应阅读：A Probabilistic Approach to Kepler Completeness and Reliability for Exoplanet Occurrence Rates

## 把发生率的不确定性归一化

似然描述改变可能发生率时，观测到这个整数计数的机会怎样变。要得到发生率的后验密度，还需要给出先验并归一化。取形状$\alpha$和率参数$\beta$均为正的Gamma先验，正发生率上的密度正比于$f_B^{\alpha-1}e^{-\beta f_B}$，归一化后总概率为一。

将它与泊松似然相乘，决定形状的幂指数增加$n$，指数衰减的率参数增加$E_B$。归一化后仍是Gamma分布。这里Gamma的“率参数”是分布的第二个参数，不能与正在推断的行星发生率混为一谈。

默认合成记录搜寻五千颗恒星，生成3038颗行星，发现79颗，有效搜寻数约$121$。先验的形状与率参数均取二分之一。后验中位数约为每星$0.651$颗，中央95%区间约为$[0.518,0.805]$。生成均值$0.600$落在区间内；一次成功案例还不能证明普遍覆盖率。

$$
f_B\mid n,E_B\sim\operatorname{Gamma}(\alpha+n,\beta+E_B)
$$

$E_B>0$时，或$E_B=0,n=0$时，这个后验由相乘和归一化得到。若正计数对应严格零选择，似然为零，应检查模型或输入。

冻结合成记录，同样的5000颗搜寻恒星

| 情形 | 发现行星数 | 支持内曝光 | 后验中位数 |
| --- | --- | --- | --- |
| 浅凌星被藏住 | $79$ | $121$ | $0.651$ |
| 安静的探测器 | $97$ | $143$ | $0.677$ |
| 延长观测季 | $98$ | $142$ | $0.69$ |
| 反复间断 | $61$ | $95.4$ | $0.638$ |
| 本来就有半径谷 | $96$ | $142$ | $0.676$ |

噪声变化保留生成族群；半径谷预设改变生成形状。似然使用整数发现数。

对应阅读：A Probabilistic Approach to Kepler Completeness and Reliability for Exoplanet Occurrence Rates

## 分类存疑的候选仍有整数真状态

设三颗候选的外部行星分类概率为$0.9$、$0.6$和$0.2$。每个对象的真状态仍然是零或一。若分类相互独立，把三个二状态概率多项式相乘，得到零、一、二、三颗真实行星的概率分别为$0.032$、$0.344$、$0.516$和$0.108$。

预期计数是$1.7$，但这个均值并不是泊松似然里的观测整数。一种有条件的做法，是对每份整数目录分别求归一化后验，再按外部分类概率平均。结果是几个Gamma密度的混合，不能简单把分数计数塞进一个Gamma形状参数。

这属于模块化计算：外部分类被当成给定信息，不再用推回的发生率更新它们。完整生成式模型还要说明，行星和假事件怎样进入候选样本。例如均值为$f_BE_B+\eta$的一个泊松总数，无法独自区分发生率和假事件均值$\eta$。另有独立建模的对照样本，才可能补上这条信息。

$$
p(f_B\mid\text{external classifications},E_B)=\sum_{n=0}^{N_{\rm cand}}\pi_n\,\operatorname{Gamma}(f_B;\alpha+n,\beta+E_B)
$$

$\pi_n$为整数目录的归一化概率，需要说明独立性假设和外部分类来源。

对应阅读：A Probabilistic Approach to Kepler Completeness and Reliability for Exoplanet Occurrence Rates · Reliability Correction is Key for Robust Kepler Occurrence Rates

## 没有信息时，后验应当保留先验

没有发现行星，但有效搜寻数为正，资料会偏向较小发生率，并在给定先验下产生有限上界。若计数和有效搜寻数都为零，似然不随发生率变化，后验应当完全等于先验。

没有校准过的区域，与已经知道回收概率为零的区域不同。真实教程只在经验响应有支持的地方计算曝光；其余地方允许回收概率在零到一之间取值，再把最小和最大曝光传入归一化整数目录混合。

两端得到一族有条件后验，它们外侧的95%分位数组成包络。未知响应没有被赋予概率分布，因此不能把包络误读成唯一后验的95%区间。包络较宽，说明已有校准还留下哪些不确定部分。

对应阅读：A Probabilistic Approach to Kepler Completeness and Reliability for Exoplanet Occurrence Rates

## 半径误差会让行星跨过分箱边界

估计半径会在边界两侧散布。真实分箱$i$中的行星进入观测分箱$j$的概率，组成迁移矩阵$M_{ji}$。还要保留范围外的分箱，每个真实分箱的转移概率才会加起来为一。应当先计算巡天选择，再应用测量模型预测观测分箱。

同一恒星周围的行星共有宿主半径误差。移动恒星半径，会把它的行星半径一起移动，也会改变几何凌星概率和固定物理行星的预测深度。只改目录归属、却固定选择概率，会漏掉部分影响。

合成显示把一半对数半径方差分给宿主共有项，另一半分给行星独立项。总数后验仍用全部探测事件，分箱迁移改变形状图，不改变这个总计数。真实教程另做恒星半径扰动，同时重算样本归属和曝光；未提供的恒星与凌星参数协方差会保留为限制。

对应阅读：The California-Kepler Survey III. A Gap in the Radius Distribution of Small Planets · Shallower radius valley around low-mass hosts

## 练习与解释性答案

1. 程序在曝光为零、发现数也为零的分箱里，报告了很精确的发生率。应当怎样排查？

   展开解释

   资料对这个分箱没有发生率信息，总概率为一的先验下，后验应等于先验。检查是否强加发生率下限、擅自外推选择概率，或算错归一化。

2. 把分类概率之和当泊松计数，为什么与整数目录混合不同？

   展开解释

   混合平均了几种不同整数形状的归一化密度。先平均形状再取密度，通常不等于先取密度再平均。完整的行星加假事件生成式模型，则是另一项需要明确说明的计算。

## 动手检验预测

### [改变探测器，看漏掉的行星出现](https://sandboxphysics.com/zh/labs/planet-survey-selection/)

1. 比较默认后验和已知生成均值。
2. 把观测季设为八天，解释没有三次事件机会时为什么仍保留原先验。
3. 切换真实半径谷族群，再增加半径散布，分清半径形状被抹平和总发现数改变。

[上一篇：哪些凌星能留下来](https://sandboxphysics.com/zh/stories/planet-populations/which-transits-survive/) [下一篇：保留整份母样本，复算一小块DR25发生率](https://sandboxphysics.com/zh/stories/planet-populations/replay-a-dr25-parent-sample/)

## 来源与计算范围

1. [A Probabilistic Approach to Kepler Completeness and Reliability for Exoplanet Occurrence Rates](https://arxiv.org/html/1906.03575v4)

   固定版本1906.03575v4第II至VI节、式10至12及附录B，整数目录重采样与发生率似然。

2. [Reliability Correction is Key for Robust Kepler Occurrence Rates](https://arxiv.org/html/2006.15719v1)

   固定版本2006.15719v1第II至III节、图4至5，分类可靠性、评分与目录敏感性。

3. [The California-Kepler Survey III. A Gap in the Radius Distribution of Small Planets](https://arxiv.org/html/1703.10375v2)

   固定版本1703.10375v2，图7、第II至V节及附录C；CKS样本、加权半径分布与合成误差检查。

4. [Shallower radius valley around low-mass hosts](https://arxiv.org/html/2401.12378v2)

   固定版本2401.12378v2，式1至6、图4至8及第3.3节；归一化谷深、宿主依赖和半径误差迁移。

5. [IAU 2015 Resolution B3 nominal conversion constants](https://arxiv.org/html/1510.07674v1)

   IAU2015年B3决议的名义换算常数，版本1510.07674v1。