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title: "决定行星温度的两个面积"
description: "从截获与发射的面积推导平衡温度，分清一团气体、整颗球与可见半球。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/planet-phase-curves/areas-and-temperatures/"
language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/planet-phase-curves/areas-and-temperatures/"
last_modified: "2026-10-28"
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[系外行星的白天与夜晚](https://sandboxphysics.com/zh/stories/planet-phase-curves/)

AC21 · L1

# 决定行星温度的两个面积

Sandbox Physics · 2026-10-28

行星用圆形截面截获恒星光，却能从整个球面向外散热。这两个面积的区别给出最初的温度尺度。算清它们以后，也就容易分清一个小块、整颗球和眼前半球各自对应什么温度。

## 开始前需要什么

会用圆与球的面积，会做代数运算；先读上一章的昼夜现象。

## 先算进来多少功率

取半径为 $R_p$ 的球形行星，它与恒星相距 $a$。用 $F_\star$ 表示轨道处的恒星照度，单位为瓦每平方米；面积取与光线垂直的平面。照度说的是单位面积每秒收到多少能量。能打中行星的那束平行光，截面积为 $\pi R_p^2$，之后才铺到弯曲的白天半球上。

Bond 反照率 $A_B$ 表示入射恒星功率中，有多少比例被反射回太空，统计时加总所有波长和方向。余下的才是吸收功率：

$$
L_{\rm abs}=(1-A_B)F_\star\pi R_p^2.
$$

这里用截面积，不用白天半球的总面积。

恒星的有效温度记作 $T_\star$，半径为 $R_\star$。光向外传播时，总光度穿过越来越大的球面。将同一份总功率除以不同球面的面积，就得到距离带来的稀释：

$$
F_\star=\sigma T_\star^4\left(\frac{R_\star}{a}\right)^2.
$$

Stefan–Boltzmann 常数为 $\sigma=5.670374419\times10^{-8}\,\mathrm{W\,m^{-2}K^{-4}}$。有效温度规定恒星的总辐射功率；若要把恒星光谱也当作黑体，还需要再作一项假设。

对应阅读：Nicolas B. Cowan and Eric Agol, The Statistics of Albedo and Heat Recirculation on Hot Exoplanets · Nicolas B. Cowan and Eric Agol, A Model for Thermal Phase Variations of Circular and Eccentric Exoplanets

## 再让整个球面散热

温度为 $T$ 的黑体表面，每平方米向外辐射的功率为 $\sigma T^4$。先设整颗行星温度相同，并有给定的内部热通量 $F_{\rm int}$。发射面积是 $4\pi R_p^2$。达到平衡时，散出的功率等于吸收的星光加内部供热：

$$
4\pi R_p^2\sigma T_{\rm eq}^4
=\pi R_p^2(1-A_B)F_\star+4\pi R_p^2F_{\rm int},\qquad
T_{\rm eq}^4=\frac{(1-A_B)F_\star}{4\sigma}+\frac{F_{\rm int}}{\sigma}.
$$

四来自发射面积与截获面积之比，这里采用了均匀发射的条件。

两种面积都与半径平方成正比，所以半径约去。轨道距离仍通过照度影响温度；反照率则在加热之前拿走一部分入射功率。温度取功率的四次方根，因此响应没有功率那样剧烈：忽略内部热时，吸收通量增加十六倍，平衡温度才加倍。

真实行星也许并不处处一样热，这个温度仍可作参照：设想另一颗同面积的均匀球，让它散出同样总热功率，它应当有多热？因为热区对四次方贡献尤其大，这个参照温度通常不等于把各处温度直接求平均。

对应阅读：Nicolas B. Cowan and Eric Agol, The Statistics of Albedo and Heat Recirculation on Hot Exoplanets · Nicolas B. Cowan and Eric Agol, A Model for Thermal Phase Variations of Circular and Eccentric Exoplanets

## 例题：从给定照度走到温度

采用演示中的固定输入：恒星有效温度 $4520\,\mathrm K$，轨道距离 $a/R_\star=4.88$，反照率 $A_B=0.20$，内部供热取 $F_{\rm int}=\sigma(150\,\mathrm K)^4$。这是一组热木星示例参数，没有用真实 MIRI 光变来拟合它们。

几何稀释给出轨道处约 $9.94\times10^5\,\mathrm{W\,m^{-2}}$ 的照度。先去掉反射的五分之一，再把余下功率摊到整个球面，相当于除以四。加上内部热以后取四次方根，得到 $T_{\rm eq}\simeq1368\,\mathrm K$。

再问恒星正下方的一小块：如果没有水平热输运，它该有多热？光线在这里垂直入射，不需要整球平均中的四。暂时忽略很小的内部供热，结果约为 $1935\,\mathrm K$。另一端完全背光、又没有收到气流送热的小块，则会趋近内部热源对应的 $150\,\mathrm K$。

这两个小块的极限，能帮助判断模型哪里算错了。完全关闭水平输运时，恒星直射区应该明显比背光处热。加入输运以后，温差怎样变化，就要由气体的运动与冷却共同解释。

对应阅读：Nicolas B. Cowan and Eric Agol, A Model for Thermal Phase Variations of Circular and Eccentric Exoplanets · Nicolas B. Cowan and Eric Agol, The Statistics of Albedo and Heat Recirculation on Hot Exoplanets

## 一组可以复算的非均匀结果

把赤道风速设为 $2000\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，星体同步自转，面热容量取 $10^7\,\mathrm{J\,m^{-2}K^{-1}}$，下一章的稳态模型给出约 $735$ 至 $1920\,\mathrm K$ 的格点温度。扣除指定内部供热后，夜侧热辐射约占吸收恒星功率的 $0.139$。

这组结果用一百二十八个经度格、二十四个等面积纬度带生成，独立稀疏求解脚本能复算同一离散稳态。把经度细化到五百一十二格，夜侧比例变为约 $0.1377$。两种分辨率的差异，远大于全局功率守恒的残差。守恒算得很准，仍然可能没有把空间变化分得足够细。

非均匀温度场散出的总功率符合前面的全局方程。不过，观察者从来没有一次看到全部球面。轨道位置不同，朝向我们的各块及其投影权重也不同，这才有下一步的相位曲线。

合成稳态气层 · 独立 SciPy 参考，二十四个等面积纬度带。吸收的全球功率不变，比较输运与分辨率的变化。

| 条件 | 最低与最高温 · K | 夜侧净热比例 |
| --- | --- | --- |
| 向东 · 128 格 | $735,\;1920$ | $0.139$ |
| 向东 · 256 格 | $733,\;1920$ | $0.138$ |
| 没有相对流 | $150,\;1930$ | $5.36\times10^{-20}$ |
| 四倍热容量 | $946,\;1750$ | $0.378$ |

对应阅读：Nicolas B. Cowan and Eric Agol, A Model for Thermal Phase Variations of Circular and Eccentric Exoplanets · Nicolas B. Cowan and Eric Agol, The Statistics of Albedo and Heat Recirculation on Hot Exoplanets

## 光谱中的亮度温度

黑体在每个波长的辐射由 Planck 辐亮度给出。它描述单位投影面积、单位立体角、单位波长的功率；对所有波长积分，才回到 Stefan–Boltzmann 定律。仪器通常只接收一段波长，而且各波长响应并不相同。

亮度温度问的是：黑体需要什么温度，才能在所选波段产生同样的强度？许多冷热小块相加，光谱通常不再对应单一黑体。真实大气中，不同波长还可能从不同压力深度逃出来。光谱给出的亮度温度要连着波段说，也要与这里单层输运模型的温度分开。

取均匀黑体行星，并将恒星的全波段有效辐亮度也设为均匀。两者到我们的距离在光比中约去，余下半径比平方与温度比四次方。红外仪器量到的有限波段光比，应当改用对应的波段积分。想进一步推断行星吸收了多少热，必须把这一步留在计算中。

对应阅读：Nicolas B. Cowan and Eric Agol, The Statistics of Albedo and Heat Recirculation on Hot Exoplanets · Taylor J. Bell et al., Nightside clouds and disequilibrium chemistry on the hot Jupiter WASP-43b

## 练习与解释性答案

1. 行星离恒星的距离加倍，反照率不变、内部热忽略，平衡温度怎样变？

   展开解释

   照度因几何扩散降为四分之一，温度取照度的四次方根，因此降为原来的根号二分之一。

2. 程序每步把夜侧格点抬到四百开尔文，却没有内部热源。计算中少了什么？

   展开解释

   强行抬温可能补进能量。应记录这份外部供热，或用明确的内部热源替代重置。

## 动手检验预测

### [改变吸收的星光](https://sandboxphysics.com/zh/labs/exoplanet-thermal-phase-curve/)

1. 先预测反射更强预设中的温度变化方向。
2. 比较向东与反射更强两种预设，注意风速和热容量保持相同。
3. 用面积与吸收功率解释温度变化和增强的绿色反射。

[上一篇：一个光点怎样露出行星的白天与夜晚](https://sandboxphysics.com/zh/stories/planet-phase-curves/dayside-in-starlight/) [下一篇：跟随一团气体穿过夜晚](https://sandboxphysics.com/zh/stories/planet-phase-curves/a-parcel-crosses-night/)

## 来源与计算范围

1. [Nicolas B. Cowan and Eric Agol, A Model for Thermal Phase Variations of Circular and Eccentric Exoplanets](https://arxiv.org/pdf/1011.0428v1)

   2010 年 11 月 1 日第一版。第 2–4 节、第 1–10 与 13 式，图 1 与图 6；第 6 节讨论近似。使用给定平流与辐射冷却，不求解风的动量。

2. [Nicolas B. Cowan and Eric Agol, The Statistics of Albedo and Heat Recirculation on Hot Exoplanets](https://arxiv.org/pdf/1001.0012v2)

   2010 年 12 月 20 日第二版。第 1 节、第 2.1–2.2 节与第 3 式。有限波段亮度温度、全波段能量与反照率的关系。

3. [Taylor J. Bell et al., Nightside clouds and disequilibrium chemistry on the hot Jupiter WASP-43b](https://arxiv.org/pdf/2401.13027v1)

   2024 年 1 月 23 日预印本第一版；另核读 2024 年 4 月 30 日正式发表版。主图 1–4；观测、裁切、阴影区与 Eureka v1 拟合方法及数据来源。公开产品固定为 Zenodo v1。