--- title: "跟随一团气体穿过夜晚" description: "跟随一团气体经历加热、平流与非线性冷却，推导热时间尺度及热容量与流速的退化。" canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/planet-phase-curves/a-parcel-crosses-night/" language: "zh-CN" page_type: "story" alternate_languages: en: "https://sandboxphysics.com/stories/planet-phase-curves/a-parcel-crosses-night/" last_modified: "2026-10-28" --- [系外行星的白天与夜晚](https://sandboxphysics.com/zh/stories/planet-phase-curves/) AC21 · L2 # 跟随一团气体穿过夜晚 Sandbox Physics · 2026-10-28 一团气体进入黑暗后还能保持温暖，是因为它移动得比散热更快。要算这场竞争，需要沿着气体走，既留意它自身怎样冷却，也留意它走进了怎样的温度分布。 ## 开始前需要什么 先读面积与温度；会理解导数表示变化率。本章会解释沿气团的导数。 ## 把直射点当作经度零点 纬度记作 $\beta$，经度 $\lambda$ 从恒星直射点向东增加。这个坐标系叫作恒星直射点参考系：经度零点总在恒星正下方，白天的两条边界分别与它相差直角。取圆轨道，公转平均角速度为 $n$，自转轴与轨道轴平行。 星体在惯性系中的自转角速度是 $\Omega_{\rm core}$。大气相对星体的赤道向东风速为 $u_{\rm eq}$，其他纬度的风速按 $\cos\beta$ 缩放。再除以该纬度圆的半径，就得到各纬度相同的风角速度。最后减去公转角速度，才是气体相对直射点的运动： $$ \omega_{\rm eff}=\Omega_{\rm core}+\frac{u_{\rm eq}}{R_p}-n. $$ 同步自转表示 $\Omega_{\rm core}=n$，大气仍然可以相对星体刮风。 这里直接指定气流，没有求解把风加速起来的压力，也没有求解三维天气。各纬度带只沿自己的圆圈搬运热，纬度带之间不交换热。 对应阅读：Nicolas B. Cowan and Eric Agol, A Model for Thermal Phase Variations of Circular and Eccentric Exoplanets · Taylor J. Bell and Nicolas B. Cowan, Increased Heat Transport in Ultra-Hot Jupiter Atmospheres Through H2 Dissociation/Recombination ## 沿着气团的温度变化 面热容量 $C$ 表示每平方米气层升高一开尔文需要多少热，单位为焦耳每平方米每开尔文。它保持不变时，单位面积储能写作 $CT$。气团温度改变有两种原因：固定位置的温度随时间变了，以及气团流到了另一个经度。把两项相加，就是随气团的导数： $$ \frac{dT}{dt}=\frac{\partial T}{\partial t}+\omega_{\rm eff}\frac{\partial T}{\partial\lambda}. $$ 偏时间导数盯住一个位置，随体导数跟着气体依次经过不同位置。 在给定经纬度，光线照向表面的垂直比例是 $\cos\beta\cos\lambda$；背光时取零。扣掉反射的恒星光，加上给定内部热源，再减去向外的热辐射，就得到温度方程： $$ C\left(\frac{\partial T}{\partial t}+\omega_{\rm eff}\frac{\partial T}{\partial\lambda}\right) =(1-A_B)F_\star\cos\beta\max(\cos\lambda,0)+F_{\rm int}-\sigma T^4. $$ 各项的量纲都是单位面积的功率。这里热辐射发射率为一，面热容量由配置给定，入射与出射的主要波段分开作有效近似。 输运与辐射都已进入同一个方程。求完以后若再手动把温度抬高，就需要解释补进来的热。内部热写成 $\sigma T_{\rm int}^4$，正是为了把这份供热放进计算。 对应阅读：Nicolas B. Cowan and Eric Agol, A Model for Thermal Phase Variations of Circular and Eccentric Exoplanets · Nicolas B. Cowan and Eric Agol, The Statistics of Albedo and Heat Recirculation on Hot Exoplanets ## 两种不同的冷却时间 先单独研究一团黑暗气体，暂时关闭照明和内部供热。把温度项与时间项分开，再从初温 $T_i$ 积分。温度负四次方的积分给出负三次方，得到： $$ C\frac{dT}{dt}=-\sigma T^4,\qquad \int_{T_i}^{T(t)}T^{-4}\,dT=-\frac{\sigma t}{C},\qquad T(t)=\left(T_i^{-3}+\frac{3\sigma t}{C}\right)^{-1/3}. $$ 温度越低，冷却越慢。这份精确暗侧解并不是单一指数函数。 例题取初温 $1800\,\mathrm K$，面热容量 $10^7\,\mathrm{J\,m^{-2}K^{-1}}$。经过 $20000\,\mathrm s$，约五个半小时，代入后温度约为 $1250\,\mathrm K$。独立自适应微分方程求解与解析式相差不到几纳开尔文；这检查了程序怎样计算方程，并没有让单层大气近似获得同样的物理精度。 另一种问题是：平衡温度 $\bar T$ 附近，一个很小的温度扰动要多久衰减？把四次方展开，只保留小扰动 $\delta T$ 的一次项，恢复系数便是 $4\sigma\bar T^3$，对应局部线性弛豫时间： $$ \tau_{\rm lin}=\frac{C}{4\sigma\bar T^3}. $$ 在 $1500\,\mathrm K$、同样面热容量下，这个时间约为 $3.63\,\mathrm h$。 Cowan 与 Agol 对非线性方程采用另一种温度尺度，相应时间为 $C/(\sigma T_0^3)$。若参照温度相同，它是局部线性弛豫时间的四倍。使用哪一种定义都可以，但比较平流与辐射时，必须先把这个四分清楚。 对应阅读：Nicolas B. Cowan and Eric Agol, A Model for Thermal Phase Variations of Circular and Eccentric Exoplanets · Nicolas B. Cowan and Eric Agol, The Statistics of Albedo and Heat Recirculation on Hot Exoplanets ## 用小正弦检验流向 为检查平流方向，先用均匀加热维持参照温度，再叠加振幅为 $Q_1$ 的弱正弦扰动。负半周表示比背景少一点加热，总热源仍为正。令 $k=4\sigma\bar T^3$，稳态线性方程可以尝试一个偏移角为 $\delta$ 的余弦解。把它代回去，分别比较正弦与余弦系数，得到： $$ C\omega_{\rm eff}\frac{d\delta T}{d\lambda}=Q_1\cos\lambda-k\delta T, \qquad \delta T=\frac{Q_1}{\sqrt{k^2+(C\omega_{\rm eff})^2}}\cos(\lambda-\delta), \qquad \delta=\arctan\frac{C\omega_{\rm eff}}{k}. $$ 正流向让小温度峰向东偏移，分母增大则减弱振幅。 取 $Q_1=20000\,\mathrm{W\,m^{-2}}$、$\bar T=1500\,\mathrm K$、半径七千万米、同步星体上的风速每秒两千米。算得温度振幅约 $24.5\,\mathrm K$，偏移约二十点五度。扰动仅占参照温度很小一部分，符合线性展开条件。这是独立检验用的线性问题，与默认非线性温度图及其投影亮度峰分别讨论。 对应阅读：Nicolas B. Cowan and Eric Agol, A Model for Thermal Phase Variations of Circular and Eccentric Exoplanets · Nicolas B. Cowan and Eric Agol, Inverting Phase Functions to Map Exoplanets ## 将整颗球加起来 对温度方程作全球积分。经度是周期边界，经度导数积分后两端相减，而两端其实接在一起。热容量保持常数，指定角流速与经度无关，这项平流贡献便在模型中恰好消去。把总储能记作 $U$，得到： $$ U=R_p^2\int CT\,d\Omega,\qquad \frac{dU}{dt}=L_{\rm abs}+L_{\rm int}-L_{\rm thermal}. $$ 平流重新分布热，辐射与指定热源改变总量。 数值格点代表小块面积的平均。保守算法在一条共享边界上只使用一份热通量：一格流出的，就是下一格流入的，加总时相互抵消。“迎风”表示采用气体来自那一侧的值，风反向时取值方向也反过来。隐式时间步同时求储热、平流与辐射；短冷却时间下可以稳定运行，空间和时间的数值扩散仍需细化检查。 运行时改变 $C$，也就改变了温度与储能的关系。保留温度时，总储能会跳变，大小为 $\Delta C\,T$ 的面积积分。这是一项外部配置事件，应与之后的加热、冷却分开保存。另开预设则开启一份新的稳态记录，自带新的初始储能。 对应阅读：Nicolas B. Cowan and Eric Agol, A Model for Thermal Phase Variations of Circular and Eccentric Exoplanets · Nicolas B. Cowan and Eric Agol, The Statistics of Albedo and Heat Recirculation on Hot Exoplanets ## 稳态图里能分开哪些量 圆轨道照明达到稳态以后，偏时间导数为零。热容量和相对角流速只以乘积出现。把热容量加倍、角流速减半，稳态方程和温度图都相同，受到扰动以后的响应时间却可以不同。 默认离散结果的夜侧净热辐射比例约为 $0.139$。风向反转，温度分布左右镜像；增大热容量，则能让更多暖气沿纬度带走过更长的路。输运很强时，每条纬度带趋近经度均匀，但不同纬度接收的平均星光仍然不同，极区与赤道不会自动同温。 相位曲线再给这幅图加上一层投影，并没有额外直接量一次热容量。下一章从投影推到总光，接着会遇到另一种多解：亮度图不同，光变曲线也可能完全一样。 对应阅读：Nicolas B. Cowan and Eric Agol, A Model for Thermal Phase Variations of Circular and Eccentric Exoplanets · Nicolas B. Cowan and Eric Agol, Inverting Phase Functions to Map Exoplanets ## 练习与解释性答案 1. 稳态圆轨道模型里，热容量加倍、相对角流速减半，温度图会怎样？ 展开解释 稳态方程中的乘积不变，温度图保持相同；受到一次扰动后的响应时间却会改变。 2. 各纬度采用同一角流速。流得极快，就能让整颗球一样热吗？ 展开解释 气流只把每条纬度带上的照明平均。纬度带接收的平均光不同，又没有经向交换，纬向均匀后仍有纬度差。 ## 动手检验预测 ### [检验稳态热容量与流速退化](https://sandboxphysics.com/zh/labs/exoplanet-thermal-phase-curve/) 1. 先暂停“热量向东走”，再改变参数。 2. 热容量加倍、向东风速减半，保持同步自转。 3. 比较保持相同的剖面，再继续运行，解释为什么这仍是同一稳态。 [上一篇：决定行星温度的两个面积](https://sandboxphysics.com/zh/stories/planet-phase-curves/areas-and-temperatures/) [下一篇：把一颗球的光加成一条曲线](https://sandboxphysics.com/zh/stories/planet-phase-curves/from-a-globe-to-a-curve/) ## 来源与计算范围 1. [Nicolas B. Cowan and Eric Agol, A Model for Thermal Phase Variations of Circular and Eccentric Exoplanets](https://arxiv.org/pdf/1011.0428v1) 2010 年 11 月 1 日第一版。第 2–4 节、第 1–10 与 13 式，图 1 与图 6；第 6 节讨论近似。使用给定平流与辐射冷却，不求解风的动量。 2. [Nicolas B. Cowan and Eric Agol, Inverting Phase Functions to Map Exoplanets](https://arxiv.org/pdf/0803.3622v1) 2008 年 3 月 25 日第一版。第 2 节第 1–4 式，第 3.2 节第 7 式与图 1。侧视、各向同性、无食时的经度卷积与 Fourier 零空间。 3. [Nicolas B. Cowan and Eric Agol, The Statistics of Albedo and Heat Recirculation on Hot Exoplanets](https://arxiv.org/pdf/1001.0012v2) 2010 年 12 月 20 日第二版。第 1 节、第 2.1–2.2 节与第 3 式。有限波段亮度温度、全波段能量与反照率的关系。 4. [Taylor J. Bell and Nicolas B. Cowan, Increased Heat Transport in Ultra-Hot Jupiter Atmospheres Through H2 Dissociation/Recombination](https://arxiv.org/pdf/1802.07725v2) 2018 年 4 月 9 日第二版。第 2.1–2.3 节第 1–8 式，图 1–4。氢解离与复合的理论输热模型，未作为常热容量演示里的化学求解。