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title: "从盘力矩推到轨道迁移"
description: "推导迁移的正负和单位，把轨道能量与角动量联系起来，再算一个一天文单位的例子。"
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last_modified: "2026-10-28"
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[从盘力矩读到真实行星测时](https://sandboxphysics.com/zh/stories/planet-migration/)

L1 · 行星与盘动力学

# 从盘力矩推到轨道迁移

Sandbox Physics · 2026-10-28

每圈都累积的一点力矩，可能比平均后为零的大力更有作用。先不借助经验盘公式，我们从圆轨道本身推导漂移。

## 开始前需要什么

圆周运动、牛顿引力与求导。下一章会计算力矩系数。

## 先定原点、正方向与单位

取太阳质量的恒星，以及共面顺行行星。正角动量指向纸外，正力矩增加这个分量。长度单位用天文单位，质量单位用恒星质量；引力常数设为一以后，时间单位便随之确定，不能再把它当一年。

一个代码时间单位约为零点一五九儒略年。一天文单位的初始近圆轨道，需要约两倍圆周率个代码时间单位，也就是一年。场景按初始内行星周期计时，后来周期变化不会偷偷重定义已经过去的时间。

$$
t_0=\sqrt{\mathrm{AU}^3/(GM_\star)},\qquad \Omega(a)=\sqrt{GM_\star/a^3}
$$

角频率单位是时间的倒数，力矩单位是质量乘长度平方再除以时间平方。

对应阅读：Paardekooper · REBOUND 5.2.2 and IAS15

## 对圆轨道角动量求导

圆轨道速度由引力与向心加速度的平衡给出。把速度乘上轨道半径和行星质量，得到角动量。在质量不变时求导，再把导数等同于外加力矩。

角动量的相对变化只有半长轴相对变化的一半。负力矩对应负漂移率，轨道尺度随之减小。这一结论不要求额外假设一个向内的径向摩擦力。

$$
L=m a^2\Omega=m\sqrt{GM_\star a},\qquad \Gamma=\dot L=\frac{L}{2a}\dot a
$$

这里采用近圆轨道与恒星质量主导的势。

$$
\dot a=\frac{2\Gamma}{m a\Omega},\qquad \tau_a=\frac{L}{2|\Gamma|}
$$

漂移时间按定义取正，方向由漂移率的符号表达。

对应阅读：Paardekooper · Ogilvie & Lubow

## 能量给出同一项检查

内迁的圆轨道束缚得更紧。对轨道能量求导，代入刚得到的漂移关系，做功率便等于角频率乘力矩。它同时检查单位和正负号。

完整积分还包含有限偏心率和行星相互作用，单颗行星的两体能量未必瞬时满足圆轨道关系。此时应检查整个惯性系统的能量，并计入盘外力做功。

$$
E=-\frac{GM_\star m}{2a},\qquad \dot E=\Omega\Gamma
$$

圆轨道关系提供一个解析极限，可用来独立检查笛卡尔积分。

对应阅读：Paardekooper · Cresswell & Nelson

## 把盘尺度和系数分开

质量比比较行星与恒星，盘厚比比较压力标高与半径。常用的力矩归一化恒为正，负责量纲尺度；波与共转系数负责净力矩的符号。

这里的面密度是单位面积质量，不是体密度。局部频率在行星的瞬时半长轴处计算。这是一项局部处方，用于缓慢演化、偏心率较低的轨道。

$$
q=\frac{m}{M_\star},\quad h=\frac{H}{a},\quad \Gamma_0=\left(\frac{q}{h}\right)^2\Sigma a^4\Omega^2,\quad \Gamma=C\Gamma_0
$$

盘固定时，力矩尺度正比于行星质量平方，圆轨道漂移率则正比于行星质量。

对应阅读：Paardekooper · Ogilvie & Lubow

## 算一个一天文单位的例子

取外行星四个地球质量，恒星一个太阳质量，盘厚比零点零五五，面密度尺度万分之一，温度斜率零点五，代码单位下黏性为百万分之一。这个局部例子先令偏心率为零。

总力矩系数约为负零点六二三。下表由这些量直接代入得到，公开脚本可以复算。它是一天文单位处的局部模型结果，不是测得的迁移速度，也不是共振双行星最后的漂移率。

当地每年约内移百万分之三天文单位。用一天文单位除以该速率，得到约三十二万一千年的局部迁移时间；偏心率阻尼时间短得多，约一千五百五十四年。完整双行星还会在迁移中交换引力踢动。

$$
\dot a=2C\frac{q\Sigma a^3\Omega}{h^2M_\star}
$$

若要换成年漂移率，必须再使用前面给出的时间单位。

| 量 | 一天文单位参考值 |
| --- | --- |
| 行星与恒星质量比 | 0.000012014 |
| 总力矩与归一化之比 | −0.623413 |
| 盘厚比 | 0.055 |
| 盘厚对应温度（K） | 761.176 |
| 当地漂移率（AU 每年） | −0.00000311129 |
| 当地迁移时间（年） | 321410 |
| 偏心率阻尼时间（年） | 1554.16 |

对应阅读：Paardekooper · Fendyke & Nelson

## 先检查近似，再向外推

小行星近似仍有效时，质量加倍，局部漂移也加倍；它不授权我们把同一公式用于开深缝的巨行星。盘增厚会减小力矩尺度，也会改变扩散响应，固定系数不变只是另一项受控思想实验。

Lab 用平面尾迹对应平面模型，线条厚度放大、视觉权重相同。不要从亮度读出气体面密度；曲线只用于显示有明确物理定义的波相位。

对应阅读：Paardekooper · Ogilvie & Lubow

## 亲手观察

### [先检验正负，再相信轨迹](https://sandboxphysics.com/zh/labs/planet-disk-migration/)

1. 比较外迁与饱和预设。
2. 找出正的共转项与负的波项。
3. 用只保留引力检查零外力矩极限。

## 练习与答案

相同负力矩施加两倍时间，半长轴一定减少两倍吗？

只在半径、力矩和频率变化很小的短区间内近似成立。恒定力矩下，角动量线性变化；半长轴正比于角动量平方，实际盘力矩也会随位置改变。

近圆孤立行星算出内迁，盘做功却为正，先查哪里？

先查力矩方向、坐标朝向，以及气体所受力矩和行星所受力矩是否混淆。圆轨道极限下负力矩必须对应负做功。有限偏心率和相互作用会破坏瞬时两体关系，应先在恰当极限中比较。

[上一篇：行星为什么能离开诞生的位置](https://sandboxphysics.com/zh/stories/planet-migration/why-planets-move/) [下一篇：为什么扩散能让迁移换向](https://sandboxphysics.com/zh/stories/planet-migration/diffusion-and-torque-reversals/)

## 来源与计算范围

1. [Paardekooper, Baruteau & Kley, arXiv:1007.4964v1 (2010; MNRAS 2011)](https://arxiv.org/html/1007.4964v1)

   第3至5.7节：力矩尺度、扩散函数、有效绝热指数与修正拟合；式3至7、19、22至23、30至31、40、45至53，图2至3、6至8。二维低质量拟合，软化长度有明确取值。

2. [Cresswell & Nelson, arXiv:0811.4322v1 (2008)](https://arxiv.org/pdf/0811.4322v1)

   偏心率阻尼、迁移时间与小偏心率波时间处方；这里只用共面极限，并限制偏心率小于盘厚比的零点七倍。

3. [Fendyke & Nelson, arXiv:1310.0351v1 (2013; MNRAS 2014)](https://arxiv.org/pdf/1310.0351v1)

   共转力矩随偏心率减弱的指数拟合，指数为负。这里依其原始研究取负号，并标出 Izidoro 等式9所印正号的差别。

4. [Ogilvie & Lubow, astro-ph/0111265v1 (2001; MNRAS 2002)](https://arxiv.org/pdf/astro-ph/0111265v1)

   线性二维尾迹几何：不同方位阶数的波发生相位聚合。场景只使用运动学相位曲线，不重建密度或亮度。

5. [REBOUND 5.2.2 and IAS15](https://github.com/hannorein/rebound/blob/c34134716cd484ed9cdb9f7d54ef8d859bdf547d/README.md)

   IAS15 参考积分，精度参数为十的负十次方。可选生成脚本固定 REBOUND 5.2.2，公开教程不复制该包代码。