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title: "瞬态热光栅：用干涉条纹测量热扩散"
description: "两束激光在样品表面画出冷热条纹，条纹衰减得多快就给出热扩散率；周期变短时衰减变慢，说明长自由程声子不再扩散。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/phonon-heat-transport/transient-thermal-grating/"
language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/phonon-heat-transport/transient-thermal-grating/"
last_modified: "2026-10-30"
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[声子导热](https://sandboxphysics.com/zh/stories/phonon-heat-transport/)

L2 · 第 4 章

# 瞬态热光栅：用干涉条纹测量热扩散

Sandbox Physics · 2026-10-30

要测量几微米距离上的导热，不必做微型加热器和温度计。让两束短激光脉冲在样品表面交叉，干涉条纹被吸收后就成了一排冷热相间的条纹；条纹随热量扩散而变平，再用第三束光测它的衍射，就能读出衰减速度。这种方法叫瞬态热光栅。条纹周期由交叉角决定，可以连续调节。这一章说明怎样从衰减时间得到扩散率，以及周期缩短时测得的扩散率为什么会下降。

## 开始前需要什么

需要第一章的热扩散率和克努森数，一维热扩散方程，以及正弦函数的二阶导数。不需要光学背景：干涉条纹的周期公式会直接给出。

- 由泵浦光波长和交叉角算出光栅周期。
- 由扩散方程推出正弦光栅按指数衰减，并由衰减时间求热扩散率。
- 解释短周期时表观扩散率下降的原因，并说明怎样用留出的周期检验模型。

## 用两束光画出冷热条纹

两束波长为 $\lambda$ 的泵浦光以夹角 $\theta$ 交叉，在样品表面形成正弦形的干涉条纹。Maznev 等人给出它的周期（见下式）。样品吸收光后，亮纹处升温、暗纹处不升温，于是得到一个沿表面按 $\cos(qx)$ 变化的温度分布，$q=2\pi/L$。

Huberman 等人测石墨时用 515 nm 的脉冲泵浦，用 532 nm 的连续光探测。温度条纹通过热膨胀让表面起伏，起伏像一个反射光栅，使探测光发生衍射。衍射光与一束参考光叠加，这种外差探测给出的信号正比于表面起伏的振幅 $u(t)$，而且保留符号：条纹的冷热位置互换时，信号变负。

石墨的面外热导率约为面内的三百分之一，所以在条纹被抹平之前，热量几乎只沿表面传播。表面起伏正比于温升沿深度的积分，测到的信号只反映面内的一维导热。

$$
L=\frac{\lambda}{2\sin(\theta/2)}
$$

交叉角越大，周期越短。周期只由光学几何决定，与样品无关。

波长 $\lambda$ 的两束泵浦光以夹角 $\theta$ 交叉，在表面干涉，留下周期 $L=\lambda/(2\sin(\theta/2))$ 的温度条纹。条纹让表面起伏，探测光被起伏衍射。扩散时条纹振幅按 $e^{-t/\tau}$ 衰减，$\tau=L^2/(4\pi^2\alpha)$。原创示意图，未按比例。

来源：A. A. Maznev · S. Huberman

## 扩散让正弦条纹按指数衰减

把 $T=\theta(t)\cos(qx)$ 代入一维扩散方程。余弦的二阶导数等于它自身乘以 $-q^2$，所以条纹形状不变，只有振幅衰减，满足一个一阶常微分方程。

这正是热光栅的好处：正弦条纹是扩散方程的本征解，不需要知道加热区的边界，也不需要解空间分布，一个时间常数就概括了全部信息。Huberman 等人写出的时间常数与下式相同。

$$
\frac{d\theta}{dt}=-\alpha q^{2}\theta\quad\Longrightarrow\quad\theta(t)=\theta(0)\,e^{-t/\tau_d},\qquad \tau_d=\frac{1}{\alpha q^{2}}=\frac{L^{2}}{4\pi^{2}\alpha}
$$

反过来，由测得的衰减时间可以算出表观扩散率 $\alpha_{\mathrm{app}}=L^2/(4\pi^2\tau_d)$。

来源：S. Huberman · A. A. Maznev

## 周期变短时，衰减比扩散慢

Huberman 等人在 300 K 下测了 3.7 到 37.5 µm 的周期。长周期给出的扩散率是 11 cm²/s；周期变短时，表观扩散率 $L^2/(4\pi^2\tau_d)$ 不再是常数，衰减比扩散方程预言的慢，而衰减曲线仍然是指数形。他们把这解释为尺寸效应：携带热量的声子的自由程已经可以和条纹周期相比。

Maznev 等人从理论上解释了为什么会变慢。长自由程的低频声子从热条纹直接飞进冷条纹，越过了好几个条纹，热量在空间上被抹平的方式不再是扩散；按他们的分析，这些声子对条纹衰减的贡献被压低了。他们算出，对室温硅来说，这种有效热导率的下降在周期大到 10 µm 时仍然明显。

灰体模型给出一个极端情形：完全不散射时，振幅按 $\sin(qvt)/(qvt)$ 变化，衰减时间与周期成正比，而不是与周期的平方成正比。实验中的“自由飞行”预设就是这种情形。

来源：S. Huberman · A. A. Maznev

## 拟合与留出检验

实验中的每条记录都是模型曲线加上带种子的高斯噪声。对它做指数拟合，得到衰减速率和标准误差，再换算成表观扩散率。Huberman 等人的做法类似：从信号衰减到最大值 80% 的时刻开始拟合原始数据。

实验同时扫描七个周期。其中五个用来拟合两个候选模型：所有周期共用一个扩散率的傅里叶模型，以及下一章的阻尼波模型；另外两个周期留出不用。模型只有在能把留出的记录预测到噪声水平以内时，才算解释了数据。留出检验比“拟合得好”更严格，因为参数越多的模型越容易把训练数据拟合好。阻尼很强的阻尼波就是扩散，所以阻尼波通过检验本身不说明有第二声；实验还会数出拟合的波在几个扫描周期上真的摆到零以下。

来源：S. Huberman · A. A. Maznev

## 完整例题：石墨和硅的时间尺度

题目：Huberman 等人用 515 nm 泵浦，在 300 K 下测得周期 37.5 µm 时石墨的扩散率为 11 cm²/s。求这个周期对应的交叉角和衰减时间；再求周期 3.7 µm 时的交叉角，以及傅里叶定律预言的衰减时间。最后对灰体硅（$D=0.797\,\mathrm{cm^2/s}$）算 1 µm 和 10 µm 周期的衰减时间。

37.5 µm：$\sin(\theta/2)=0.515/(2\times37.5)$，$\theta=0.787^\circ$。衰减时间 $\tau_d=(37.5\,\mu\mathrm m)^2/(4\pi^2\times11\,\mathrm{cm^2/s})=32.4\,\mathrm{ns}$。

3.7 µm：$\theta=7.98^\circ$，傅里叶定律预言 $\tau_d=0.315\,\mathrm{ns}$。周期缩短约十倍，时间缩短约百倍。实测的衰减更慢，所以表观扩散率低于 11 cm²/s。

灰体硅：1 µm 时 $\tau_d=0.318\,\mathrm{ns}$，10 µm 时 $31.8\,\mathrm{ns}$。这与 Maznev 等人给出的“1 到 10 µm 周期对应约 0.3 到 30 ns”一致。

来源：S. Huberman · A. A. Maznev · Ioffe Institute

## 到实验里试一试

### [从普通扩散到短周期](https://sandboxphysics.com/zh/labs/transient-thermal-grating/)

1. 选“普通扩散”预设。看记录曲线是否贴着蓝色傅里叶虚线下降，读出“指数拟合得到的扩散率 / 傅里叶值”。
2. 选“短周期：衰减变慢”预设。先预测这个比值会大于还是小于 1，再读数核对。
3. 在中间那张图里看七个周期的拟合扩散率，找出从哪个周期开始明显偏离傅里叶值。

### [拖动舞台改变周期](https://sandboxphysics.com/zh/labs/transient-thermal-grating/)

1. 左右拖动舞台，把周期从长调到短，同时观察舞台上的泵浦交叉角怎样变化。
2. 选“长周期：回到傅里叶”预设，确认比值回到 1 附近。

## 练习与解答

1. 用 515 nm 泵浦得到 10 µm 的周期，交叉角是多少？

   展开解答

   $\theta=2\arcsin\bigl(0.515/(2\times10)\bigr)=2.95^\circ$。实验的详细数值里也给出这个角度。

2. 灰体硅在 10 µm 周期下衰减时间为 31.8 ns。周期减半后，按傅里叶定律衰减时间变成多少？

   展开解答

   衰减时间与周期的平方成正比，周期减半，时间变为四分之一，约 7.94 ns。

3. 设石墨在 3.7 µm 周期下测得的衰减时间为 0.40 ns（这是为练习假设的数）。表观扩散率是多少？是长周期值的几成？

   展开解答

   $\alpha_{\mathrm{app}}=(3.7\times10^{-6})^2/(4\pi^2\times0.40\times10^{-9})\,\mathrm{m^2/s}=8.67\,\mathrm{cm^2/s}$，是 11 cm²/s 的 $0.788$。

4. 扩散过程中，热光栅的信号能不能变成负值？

   展开解答

   不能。扩散解 $\theta(0)e^{-t/\tau_d}$ 永远与初值同号。Huberman 等人也指出，扩散中热只能从热处流向冷处，冷热条纹不可能互换位置。信号翻负是非扩散输运的标志，下一章讨论。

[上一章：薄膜导热：在弹道与扩散之间](https://sandboxphysics.com/zh/stories/phonon-heat-transport/ballistic-and-diffusive-films/) [下一章：正常散射与第二声：热为什么会像波一样来回振荡](https://sandboxphysics.com/zh/stories/phonon-heat-transport/normal-scattering-and-second-sound/)

## 来源与复算范围

1. [Ioffe Institute, NSM Archive: Thermal properties of Silicon (Si) and Mechanical properties, elastic constants, lattice vibrations of Silicon (Si)](http://www.ioffe.ru/SVA/NSM/Semicond/Si/thermal.html)

   两页都通读过（力学页在同一目录的 mechanic.html）。用到的 300 K 数值：比热 0.7 J/(g K)、热导率 1.3 W/(cm K)、热扩散率 0.8 cm²/s、密度 2.329 g/cm³，以及沿 [100] 方向的声速 8.43 km/s（纵波）和 5.84 km/s（横波）。课程把两个声速合成一个德拜平均声速，这一步是我们自己做的，不是页面给出的数值。

2. [A. A. Maznev, J. A. Johnson and K. A. Nelson, Onset of nondiffusive phonon transport in transient thermal grating decay, Physical Review B 84, 195206 (2011), arXiv:1108.3770v2](https://arxiv.org/abs/1108.3770)

   通读全文（arXiv 第 2 版）。引言部分：动理学理论给出的几十纳米平均自由程、把灰体近似称为过度简化、理论上常用的两块黑体壁之间的平板、由泵浦光交叉角决定的光栅周期，以及硅在 1 到 10 µm 周期下约 0.3 到 30 ns 的光栅衰减时间。摘要指出，硅的有效热导率在周期大到 10 µm 时仍有明显下降。课程没有引用这篇论文的公式编号。

3. [S. Huberman, R. A. Duncan, K. Chen, B. Song, V. Chiloyan, Z. Ding, A. A. Maznev, G. Chen and K. A. Nelson, Observation of second sound in graphite at temperatures above 100 K, Science (2019), doi:10.1126/science.aav3548, arXiv:1901.09160v1](https://arxiv.org/abs/1901.09160)

   据 arXiv 第 1 版通读全文，包括补充材料。这里用到：515 nm 泵浦、532 nm 探测光外差检测的瞬态光栅装置；扩散时间常数等于周期平方除以四倍 π 平方再除以扩散率；300 K 下 37.5 µm 周期测得 11 cm²/s，以及短周期时比扩散更慢的衰减（图 1）；85 K 时信号翻负和由第一个极小值得到的约 3200 m/s 速度（图 2）；104 K 和 125 K 仍有振荡、150 K 和 50 K 时消失（图 3）；预测的 50 到 250 K 窗口（图 4）；第一性原理给出的 3650 m/s；以及补充材料中 7.5 µm 曲线在约 1.2 ns 处的极小值和振荡期间约 0.2 K 的光栅振幅。没有把《科学》正式发表版与 arXiv 第 1 版逐行对照。