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title: "热电转换的能量账：声子热导为什么决定效率"
description: "给一条热电臂记一笔能量账：导热、珀尔帖热和焦耳热各占多少，最大效率公式从哪里来，以及为什么降低声子热导能提高效率。"
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language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/phonon-heat-transport/thermoelectric-energy-ledger/"
last_modified: "2026-10-30"
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[声子导热](https://sandboxphysics.com/zh/stories/phonon-heat-transport/)

L2 · 第 7 章

# 热电转换的能量账：声子热导为什么决定效率

Sandbox Physics · 2026-10-30

热电材料两端有温差时会产生电压，接上负载就能发电，没有任何运动部件。它的效率由一个无量纲的优值决定，而优值的分母是热导率：一部分热量不经过发电，直接从热端漏到冷端。这一章给一条热电臂记一笔完整的能量账，从账目推出常用的最大效率公式，再说明这个公式在什么时候会高估，以及前几章讲的声子导热为什么与它有关。

## 开始前需要什么

需要欧姆定律、焦耳热和卡诺效率，以及第三、六章关于薄膜和界面减少声子热流的结论。不需要半导体物理。

- 列出一条热电臂热端的吸热项：导热、珀尔帖热和回流的一半焦耳热。
- 由能量账推出输出功率和效率，并找到效率最高时的负载电阻。
- 说明优值的含义、常用效率公式的适用条件，以及降低声子热导对效率的作用。

## 塞贝克电压和珀尔帖热

一段导体两端温差为 $\Delta T$ 时，开路电压为 $S\Delta T$，$S$ 叫塞贝克系数。电流 $I$ 流过温度为 $T$ 的接头时，还会带走或放出珀尔帖热 $STI$。发电时，热端的珀尔帖热就是被“搬进”电路、准备变成电功的那部分热。

与此同时有两项损失。一是热传导：热导为 $K$ 的热电臂，不管有没有电流，都有 $K\Delta T$ 的热直接从热端流到冷端。二是焦耳热 $I^2R$，它产生在臂的内部。

来源：H. S. Kim · Wikipedia: Thermoelectric materials

## 热端的能量账

Kim 等人用恒定物性模型写出热端吸收的热量：导热，加上珀尔帖热，减去流回热端的一半焦耳热。物性不随温度变化时，焦耳热正好一半流向热端、一半流向冷端。

接上负载 $R_L$，记 $m=R_L/R$。电流 $I=S\Delta T/\bigl(R(1+m)\bigr)$，输出功率 $P=I^2R_L$，效率就是输出功率除以热端吸热。

$$
Q_h=K\Delta T+S\,T_h\,I-\tfrac12I^{2}R,\qquad P=I^{2}R_L,\qquad \eta=\frac{P}{Q_h}
$$

能量守恒要求 $Q_h-P$ 等于冷端放出的热，可以用来检查账目。

来源：H. S. Kim

## 优值与最大效率公式

把效率对 $m$ 求极大，最优负载比是 $m=\sqrt{1+Z\bar T}$，其中 $Z=S^2/(\rho\kappa)$，$\bar T$ 是两端温度的平均值。代回去得到下面的最大效率公式。维基百科指出，它的第一个因子正是卡诺效率，热电器件作为热机不可能超过它；第二个因子由优值决定，优值趋于无穷大时趋于 1。

材料的优值写作 $zT=\sigma S^2T/\kappa$。分子 $\sigma S^2$ 叫功率因子，取决于电子；分母 $\kappa$ 包括电子和声子携带的热。

如果只想要最大输出功率而不在乎效率，负载应与内阻相等；这时效率比最大效率略低。

$$
\eta_{\max}=\frac{T_h-T_c}{T_h}\cdot\frac{\sqrt{1+Z\bar T}-1}{\sqrt{1+Z\bar T}+T_c/T_h}
$$

维基百科和 Kim 等人都强调，它只在物性不随温度变化时严格成立。

来源：H. S. Kim · Wikipedia: Thermoelectric materials

## 公式什么时候会高估

Kim 等人用随温度变化的实测物性做数值计算，与常用公式比较。热端 700 °C 时，常用公式把 SnSe 的效率高估了两倍以上；原因是 SnSe 的优值随温度变化很大，用平均温度下的一个数代替整条曲线不再可靠。他们还指出，物性随温度变化时还有汤姆孙热，焦耳热流回热端的比例也不再是一半。

维基百科给出另一个现实的参照：商用热电制冷器的性能系数在 0.3 到 0.6 之间，约为传统压缩式制冷器的六分之一。

来源：H. S. Kim · Wikipedia: Thermoelectric materials

## 声子在哪里进入这笔账

优值的分母里有声子热导。在不降低功率因子的前提下，把声子热导减半，优值就接近翻倍。第三章看到，40 nm 的灰体硅膜只能传导体材料预言热流的 43%；第六章看到，在 200 nm 的叠层里，一个界面就占了 80% 的温降。

这些都是降低声子热导的办法，而课程的模型只描述声子。真实材料里，边界和界面同样会散射电子，可能连功率因子一起降低；一种做法是否真能提高优值，要看电子和声子各受多大影响，回答它还需要电子的模型。

来源：H. S. Kim · Wikipedia: Thermoelectric materials

## 完整例题：一条热电臂的能量账

题目：一条热电臂截面 1 mm²、长 1 mm，塞贝克系数 200 µV/K，电阻率 $10^{-5}\,\Omega\,\mathrm m$，热导率 1.5 W/(m K)，热端 400 K，冷端 300 K。这些物性是为练习假设的，并且不随温度变化。求最大效率，并在最优负载下列出能量账。

$Z=(2\times10^{-4})^2/(10^{-5}\times1.5)=2.667\times10^{-3}\,\mathrm{K^{-1}}$，$Z\bar T=0.933$，最优负载比 $m=\sqrt{1.933}=1.390$。卡诺效率 0.25，最大效率 $\eta_{\max}=0.25\times0.390/(1.390+0.75)=0.0456$。

内阻 $R=0.01\,\Omega$，热导 $K=1.5\times10^{-3}\,\mathrm{W/K}$，开路电压 0.02 V，电流 $I=0.02/(0.01\times2.390)=0.8367\,\mathrm A$。热端账目：导热 0.150 W，珀尔帖热 $200\times10^{-6}\times400\times0.8367=0.0669\,\mathrm W$，减去一半焦耳热 0.00350 W，共 $Q_h=0.2134\,\mathrm W$。

输出功率 $P=I^2mR=0.00973\,\mathrm W$，$P/Q_h=0.0456$，与公式一致。账目显示，热端吸收的热约七成是导热，直接漏到冷端，这正是降低热导能提高效率的原因。

来源：H. S. Kim · Wikipedia: Thermoelectric materials

## 到实验里试一试

### [让界面挡住声子](https://sandboxphysics.com/zh/labs/interface-thermal-resistance/)

1. 选“薄叠层：界面热阻占主导”预设，读出界面跳变占总温差的比例。
2. 把叠层厚度逐步调大，看这个比例怎样下降；想一想，为了挡住声子热流，热电材料里的界面要排得多密。

### [薄膜把声子热导降到多少](https://sandboxphysics.com/zh/labs/phonon-ballistic-diffusive-film/)

1. 选“厚度接近平均自由程”预设，读出稳态薄膜热导率与体材料之比。
2. 假设电子完全不受影响，按本章的公式估算：只把声子热导乘上这个比例，例题中的优值会变成多少？再想想这个假设为什么过于乐观。

## 练习与解答

1. 例题中的热电臂若接上与内阻相等的负载，输出功率和效率是多少？

   展开解答

   电流 $I=0.02/0.02=1.00\,\mathrm A$，功率 $I^2R=0.0100\,\mathrm W$，热端吸热 $0.150+0.0800-0.00500=0.225\,\mathrm W$，效率 0.0444。功率比最优效率时略大，效率略低。

2. 若热导率减半、其他物性不变，例题的最大效率变为多少？

   展开解答

   $Z\bar T$ 翻倍为 1.867，$\sqrt{2.867}=1.693$，$\eta_{\max}=0.25\times0.693/(1.693+0.75)=0.0709$，约为原来的 1.56 倍。

3. 例题的最大效率是卡诺效率的百分之几？

   展开解答

   $0.0456/0.25=18.2\%$。即使在这个假设的理想物性下，大部分可用的热量仍然以导热和焦耳热的形式损失。

4. 为什么恒定物性模型中，焦耳热正好一半回到热端？

   展开解答

   物性不变时，臂内各处单位长度产生的焦耳热相同，温度分布在线性之外多出一个对称的抛物线，热从中间向两端各流走一半。Kim 等人指出，物性随温度变化时这个比例会偏离一半。

[上一章：界面热阻：热流在两种材料的交界处为什么会跳变](https://sandboxphysics.com/zh/stories/phonon-heat-transport/interface-thermal-resistance/) [下一章：读 Huberman 等人 2019 年的石墨第二声论文](https://sandboxphysics.com/zh/stories/phonon-heat-transport/reading-huberman-2019/)

## 来源与复算范围

1. [H. S. Kim, W. Liu, G. Chen, C.-W. Chu and Z. Ren, Relationship between thermoelectric figure of merit and energy conversion efficiency, PNAS 112(27), 8205 (2015), doi:10.1073/pnas.1510231112](https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC4500231/)

   在 PubMed Central 读过正文；推导所在的 SI 附录没有打开。这里用到：恒定物性模型给出的常用最大效率公式，即卡诺效率乘以一个取决于平均温度下优值的因子；吸热量等于导热加珀尔帖热再减去一半焦耳热；负载比及其最优值；以及常用公式把 SnSe 在热端 700 °C 时的效率高估两倍以上，原因是它的物性随温度变化很大。没有引用公式编号。

2. [Wikipedia, Thermoelectric materials, revision 1375991214 (21 September 2026)](https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Thermoelectric_materials&oldid=1375991214)

   部分阅读：导言，以及优值、器件效率和功率因子几节。这里用到：zT 等于电导率乘塞贝克系数平方再乘温度、除以热导率；最大效率公式以卡诺效率为第一个因子，只在物性不随温度变化时严格成立；商用热电制冷器的性能系数为 0.3 到 0.6。材料各节没有读。维基百科是二手来源。