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title: "正常散射与第二声：热为什么会像波一样来回振荡"
description: "区分守恒动量的正常散射和不守恒的电阻性散射，推出热的阻尼波方程，算出第二声速度、频率窗口和热光栅翻负的时刻。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/phonon-heat-transport/normal-scattering-and-second-sound/"
last_modified: "2026-10-30"
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[声子导热](https://sandboxphysics.com/zh/stories/phonon-heat-transport/)

L3 · 第 5 章

# 正常散射与第二声：热为什么会像波一样来回振荡

Sandbox Physics · 2026-10-30

扩散中，热只能从热处流向冷处。可是如果声子之间的碰撞大多不改变它们的总动量，热流本身就有了“惯性”：热条纹里的声子整体冲向冷条纹，冲过头，再折回来。这时温度像声波一样振荡，叫第二声。这一章用一个两种散射率的灰体模型推出第二声的方程，算出它的速度和出现的条件，并用热光栅实验看冷热条纹怎样互换位置。

## 开始前需要什么

需要第二章的声子玻尔兹曼方程、第四章的热光栅，以及二阶常系数线性微分方程（阻尼振子）的解。晶体动量的概念会在文中解释。

- 说出正常散射和电阻性散射的区别，以及为什么只有后者产生热阻。
- 从两种散射率的灰体模型推出热的阻尼波方程，并说出第二声速度为什么是声速除以根号三。
- 判断给定周期和散射时间时热光栅是否振荡，并算出信号最低点的时间。

## 两种散射：守恒动量与不守恒动量

Lee 等人在讨论石墨烯中的声子流体力学时，把声子散射分成两类。正常散射在声子之间重新分配能量和动量，但总的晶体动量不变；倒逆散射、杂质散射和边界散射会改变总动量，统称电阻性散射。

只有电阻性散射能让热流衰减。正常散射很快时，声子分布迅速趋向一个整体漂移的平衡分布：各方向的声子数不再相同，而是整体朝某个方向偏，携带一定的热流。正常散射保持这份热流，只有电阻性散射能消耗它。

Lee 等人指出，要看到声子流体力学，正常散射必须远比电阻性散射频繁。对 100 K 附近的石墨烯，他们算出的正常散射率约为每秒十的十次方量级，比金刚石高约两个数量级，这正是石墨烯和石墨适合观察第二声的原因。

来源：S. Lee

## 两种散射率的灰体模型

沿用第四章，只看一个空间傅里叶分量 $e^{iqx}$。记 $F(\mu,t)$ 为方向余弦 $\mu$ 上的声子能量（以温度为单位），$\theta$ 是它对方向的平均，即当地温度，$J$ 是它的一阶矩，即热流除以 $Cv$。

电阻性散射以时间 $\tau_R$ 把分布拉向静止的平衡 $\theta$；正常散射以时间 $\tau_N$ 把分布拉向漂移平衡 $\theta+3\mu J$，后者携带与当前分布相同的热流，所以正常散射不改变 $J$。实验的求解器在 64 个方向上精确积分这个方程。

长周期时这个模型回到扩散，扩散率 $\alpha=v^2\tau_R/3$，只含电阻性散射时间。

$$
\frac{\partial F}{\partial t}+iqv\mu F=-\frac{F-\theta}{\tau_R}-\frac{F-\theta-3\mu J}{\tau_N},\qquad \theta=\tfrac12\int_{-1}^{1}F\,d\mu,\quad J=\tfrac12\int_{-1}^{1}\mu F\,d\mu
$$

与真实材料相比，这里所有声子只有一个速度和两个散射时间。它是能把两种散射的作用分开的最简单模型。

来源：S. Lee · A. A. Maznev

## 正常散射极快时：热的阻尼波方程

对方程取零阶矩和一阶矩。零阶矩给出能量守恒：$\dot\theta=-iqvJ$。一阶矩里出现 $\mu^2$ 的平均；当正常散射极快时，分布就是漂移平衡 $\theta+3\mu J$，这个平均等于 $\theta/3$，于是 $\dot J=-iqv\theta/3-J/\tau_R$。

消去 $J$ 就得到一个阻尼振子方程，也就是电报方程。波速 $c=v/\sqrt3$。Lee 等人也写道，对三维德拜固体，第二声速度约为声速除以根号三。

初始条纹没有热流，$\dot\theta(0)=0$。当 $cq>1/(2\tau_R)$ 时解是振荡的，振幅包络按 $e^{-t/(2\tau_R)}$ 衰减，信号在半个振荡周期 $t=\pi/\omega'$ 处到达最低点并变负。

$$
\ddot\theta+\frac{\dot\theta}{\tau_R}+c^{2}q^{2}\theta=0,\qquad c=\frac{v}{\sqrt3}
$$

当 $\tau_R$ 很短时，惯性项可以忽略，方程回到扩散，$\alpha=c^2\tau_R=v^2\tau_R/3$。

$$
\theta(t)=e^{-t/(2\tau_R)}\left[\cos\omega' t+\frac{\sin\omega' t}{2\tau_R\,\omega'}\right],\qquad \omega'=\sqrt{c^{2}q^{2}-\frac{1}{4\tau_R^{2}}}
$$

这个解的导数正比于 $-\sin\omega' t$，所以第一个极小值正好在 $t=\pi/\omega'$，值为 $-e^{-\pi/(2\tau_R\omega')}$。

来源：S. Lee

## 第二声的频率窗口

Lee 等人给出第二声出现的条件：振荡频率 $\Omega$ 要高于电阻性散射率、低于正常散射率，即 $1/\tau_R<\Omega<1/\tau_N$。频率太低，热流在一个周期内就被电阻性散射耗尽，回到扩散；频率太高，正常散射来不及建立漂移平衡，声子各自飞行。

在热光栅里 $\Omega=cq=2\pi c/L$，所以窗口对应一段周期范围。还要注意一个更细的界限：电报方程要真正振荡，需要 $cq>1/(2\tau_R)$，比窗口的下限宽一倍。

灰体模型有一个必须说明的缺陷：完全不散射时，振幅按 $\sin(qvt)/(qvt)$ 变化，它也会变负，最低约为 −0.217。这是因为所有声子速度相同、同步飞行。Huberman 等人在 50 K 下把石墨的散射全部关掉做的计算里，凹陷消失了，因为真实声子速度分布很宽。所以在灰体模型里，单凭信号变负并不能证明第二声；要看它随周期和散射时间怎样变化。

来源：S. Lee · S. Huberman

## 完整例题：“第二声”预设

题目：实验的“第二声：条纹互换”预设取声子速度 $v=10\,\mu\mathrm m/\mathrm{ns}$、周期 $L=10\,\mu\mathrm m$、$\tau_R=5\,\mathrm{ns}$、$\tau_N=0.01\,\mathrm{ns}$。这些都是为了看清现象而设的数，不对应某种材料。求波速、振荡频率、频率窗口，以及电报方程给出的最低点时间和最低值。

波速 $c=10/\sqrt3=5.774\,\mu\mathrm m/\mathrm{ns}$，波数 $q=2\pi/10=0.6283\,\mu\mathrm m^{-1}$，$\Omega=cq=3.628\,\mathrm{ns^{-1}}$。窗口是 $0.2<\Omega<100\,\mathrm{ns^{-1}}$，$\Omega$ 落在其中。

$\omega'=\sqrt{3.628^2-0.1^2}=3.626\,\mathrm{ns^{-1}}$，最低点在 $t=\pi/\omega'=0.866\,\mathrm{ns}$，值为 $-e^{-0.1\times0.866}=-0.917$。冷热条纹几乎完全互换。

实验的 64 方向求解器保留了有限的 $\tau_N$，给出的最低值是 −0.876，出现在 0.871 ns。比电报方程浅一些，是因为 0.01 ns 的正常散射还不算无限快。

这个差别可以算出来。正常散射有限时，分布还剩一点二阶矩（$\mu^2$ 的项），它被散射以时间 $\tau$ 拉回，$1/\tau=1/\tau_N+1/\tau_R$。把这一项保留到最低阶，阻尼多出一个随 $q^2$ 增长的部分：$\gamma=1/(2\tau_R)+\tfrac{2}{15}v^2\tau q^2$。这里多出的是 $0.0525\,\mathrm{ns^{-1}}$，$\gamma=0.1525\,\mathrm{ns^{-1}}$，最低值变成 $-e^{-0.1525\times0.867}=-0.876$，与求解器一致。周期越短，这部分阻尼越重要，所以实验拟合阻尼波时也带上它。

来源：S. Lee · S. Huberman

## 到实验里试一试

### [让冷热条纹互换](https://sandboxphysics.com/zh/labs/transient-thermal-grating/)

1. 选“第二声：条纹互换”预设。看舞台上的条纹在 1 ns 附近怎样冷热互换，读出光栅振幅的最低值。
2. 看右侧的方向图：两条纹之间的橙色曲线明显偏向一侧，说明那里的声子在整体漂移。
3. 把电阻性散射时间逐步调短，找到振荡消失、最低值不再为负的位置，与本章的阻尼条件比较。

### [区分第二声和自由飞行](https://sandboxphysics.com/zh/labs/transient-thermal-grating/)

1. 选“自由飞行：一个小凹陷”预设，记下最低值；再选“电阻性散射太强：没有波”预设，记下最低值。
2. 用本章的说法解释：为什么灰体模型的自由飞行也会让信号稍稍变负，而这不是第二声。

## 练习与解答

1. 取 $v=10\,\mu\mathrm m/\mathrm{ns}$、$\tau_R=5\,\mathrm{ns}$、$\tau_N=0.01\,\mathrm{ns}$。频率窗口对应的光栅周期范围是多少？

   展开解答

   由 $\Omega=2\pi c/L$，下限 $\Omega=1/\tau_R$ 对应 $L=2\pi c\tau_R=181\,\mu\mathrm m$，上限 $\Omega=1/\tau_N$ 对应 $L=0.363\,\mu\mathrm m$。周期在这两者之间时可以看到第二声。

2. 同样的参数下，电报方程真正振荡要求周期小于多少？

   展开解答

   要求 $cq>1/(2\tau_R)$，即 $L<4\pi c\tau_R=363\,\mu\mathrm m$，比窗口下限对应的周期长一倍。

3. 若一种三维德拜固体的声速是 6351 m/s，按 Lee 等人的近似，它的第二声速度约是多少？

   展开解答

   $6351/\sqrt3=3667\,\mathrm{m/s}$。这只是德拜模型的近似；石墨的第二声速度介于慢横波和快横波之间，不能用这个公式估计。

4. 为什么正常散射本身不产生热阻，却是第二声的必要条件？

   展开解答

   正常散射守恒晶体动量，把分布拉向携带同样热流的漂移平衡，所以不消耗热流，不产生热阻。但正是它让所有声子一起漂移，热流才有了惯性，温度才能像波一样振荡。没有它，各个声子各自飞行，只剩扩散或自由飞行。

[上一章：瞬态热光栅：用干涉条纹测量热扩散](https://sandboxphysics.com/zh/stories/phonon-heat-transport/transient-thermal-grating/) [下一章：界面热阻：热流在两种材料的交界处为什么会跳变](https://sandboxphysics.com/zh/stories/phonon-heat-transport/interface-thermal-resistance/)

## 来源与复算范围

1. [A. A. Maznev, J. A. Johnson and K. A. Nelson, Onset of nondiffusive phonon transport in transient thermal grating decay, Physical Review B 84, 195206 (2011), arXiv:1108.3770v2](https://arxiv.org/abs/1108.3770)

   通读全文（arXiv 第 2 版）。引言部分：动理学理论给出的几十纳米平均自由程、把灰体近似称为过度简化、理论上常用的两块黑体壁之间的平板、由泵浦光交叉角决定的光栅周期，以及硅在 1 到 10 µm 周期下约 0.3 到 30 ns 的光栅衰减时间。摘要指出，硅的有效热导率在周期大到 10 µm 时仍有明显下降。课程没有引用这篇论文的公式编号。

2. [S. Lee, D. Broido, K. Esfarjani and G. Chen, Hydrodynamic phonon transport in suspended graphene, Nature Communications 6, 6290 (2015), doi:10.1038/ncomms7290](https://doi.org/10.1038/ncomms7290)

   读过正文和方法部分，没有打开补充材料。这里用到：正常散射守恒晶体动量，倒逆散射等电阻性过程不守恒；第二声需要一个介于电阻性散射率和正常散射率之间的频率窗口；三维德拜固体中第二声速度约为声速除以根号三；以及预测的石墨烯第二声速度约 2000 到 3000 m/s。课程没有引用这篇论文的公式编号。

3. [S. Huberman, R. A. Duncan, K. Chen, B. Song, V. Chiloyan, Z. Ding, A. A. Maznev, G. Chen and K. A. Nelson, Observation of second sound in graphite at temperatures above 100 K, Science (2019), doi:10.1126/science.aav3548, arXiv:1901.09160v1](https://arxiv.org/abs/1901.09160)

   据 arXiv 第 1 版通读全文，包括补充材料。这里用到：515 nm 泵浦、532 nm 探测光外差检测的瞬态光栅装置；扩散时间常数等于周期平方除以四倍 π 平方再除以扩散率；300 K 下 37.5 µm 周期测得 11 cm²/s，以及短周期时比扩散更慢的衰减（图 1）；85 K 时信号翻负和由第一个极小值得到的约 3200 m/s 速度（图 2）；104 K 和 125 K 仍有振荡、150 K 和 50 K 时消失（图 3）；预测的 50 到 250 K 窗口（图 4）；第一性原理给出的 3650 m/s；以及补充材料中 7.5 µm 曲线在约 1.2 ns 处的极小值和振荡期间约 0.2 K 的光栅振幅。没有把《科学》正式发表版与 arXiv 第 1 版逐行对照。