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title: "晶体里的热由谁携带，声子能飞多远"
description: "从硅的比热、声速和热导率反推声子平均自由程，约 38 nm；再用克努森数判断一段距离上的导热是扩散还是飞行。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/phonon-heat-transport/heat-carriers-and-mean-free-path/"
last_modified: "2026-10-30"
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[声子导热](https://sandboxphysics.com/zh/stories/phonon-heat-transport/)

L1 · 第 1 章

# 晶体里的热由谁携带，声子能飞多远

Sandbox Physics · 2026-10-30

在硅这样的半导体和绝缘晶体里，热量主要由晶格振动携带。把振动看成一群以声速飞行、不时相撞的粒子，也就是声子，就能用三个查得到的数——比热、声速和热导率——算出一个声子两次碰撞之间平均飞多远。室温硅的答案约 38 nm。这一章算出这个数，说明它为什么只是一个粗略的尺度，并用它判断什么时候傅里叶定律还能用。

## 开始前需要什么

需要比热、速度和扩散的基本概念，以及一点量纲分析。不需要量子力学：本章把声子当作携带能量、以声速飞行、会相互碰撞的粒子。

- 说出绝缘晶体和半导体里携带热量的主要是晶格振动，也就是声子。
- 用动理学公式，从比热、声速和热导率反推平均自由程和碰撞间隔。
- 用克努森数判断一段距离上的导热属于扩散、过渡还是弹道。

## 热量由晶格振动携带

金属里自由电子是主要的热载流子；在电介质和半导体里，热主要由声子携带。Maznev 等人的论文开篇就这样写。声子是晶格振动的能量量子：一个频率为 $\omega$ 的振动模式，每个量子携带能量 $\hbar\omega$，并以群速度传播。长波声子的群速度就是声速。

温度高的地方振动更剧烈，声子更多。声子从热区飞向冷区，途中与其他声子、杂质和边界碰撞，把能量一站一站地交出去。这样一幅“粒子气体”的图景，足以解释本课程的大部分现象。

来源：A. A. Maznev

## 动理学公式：比热、声速和自由程

设单位体积的比热为 $C$，声子速度为 $v$，两次碰撞之间平均飞行的距离为 $\Lambda$，叫平均自由程。穿过一个截面的声子，带着大约一个自由程之外的温度；在温度梯度 $dT/dx$ 下，它们携带的能量差正比于 $C\Lambda\,dT/dx$，再乘以速度。

把所有方向平均，速度在 $x$ 方向的分量平方的平均值是 $v^2/3$，于是得到下面的动理学公式。第二章会从声子玻尔兹曼方程严格推出它，包括这个三分之一。

$$
\kappa=\tfrac13\,C\,v\,\Lambda,\qquad D=\frac{\kappa}{C}=\tfrac13\,v\,\Lambda
$$

热导率 $\kappa$ 和热扩散率 $D$。三个量中知道两个，就能求出第三个。

来源：A. A. Maznev · Ioffe Institute

## 硅的数字

Ioffe 研究所的半导体数据表给出 300 K 下硅的比热 0.7 J/(g K)、密度 2.329 g/cm³、热导率 1.3 W/(cm K)。比热乘密度，得到单位体积比热 $C=1.63\times10^{6}\,\mathrm{J\,m^{-3}\,K^{-1}}$。

同一数据表给出沿 [100] 方向的纵波声速 8.43 km/s 和横波声速 5.84 km/s。一个纵波支、两个横波支，按德拜模型取三者的平均（见下式），得到一个声速 $v=6351\,\mathrm{m/s}$。这个平均是我们的建模选择，不是数据表里的数。

代入动理学公式，平均自由程 $\Lambda=3\kappa/(Cv)=37.7\,\mathrm{nm}$，碰撞间隔 $\tau=\Lambda/v=5.93\,\mathrm{ps}$。作为检验，$D=\kappa/C=0.797\,\mathrm{cm^2/s}$，与数据表单独列出的 0.8 cm²/s 一致。

$$
\frac{3}{v^{3}}=\frac{1}{v_L^{3}}+\frac{2}{v_T^{3}}
$$

德拜平均：低频态密度与速度的三次方成反比，所以三个支按速度三次方的倒数相加。

声子在两次碰撞之间大约飞行一个平均自由程 $\Lambda$。膜比 $\Lambda$ 厚得多时（左），热靠许多短步穿过，傅里叶定律成立。克努森数 $\mathrm{Kn}=\Lambda/L$ 接近 1 时（右），许多声子不经散射，从热壁直接飞到冷壁。原创示意图，未按比例。

来源：Ioffe Institute · A. A. Maznev

## 一个数字不够：自由程有一个很宽的分布

Maznev 等人指出，用单一自由程描述所有声子，也就是所谓灰体近似，是一种过度简化。真实晶体里低频声子散射很弱，自由程可以比平均值长得多；无论考察多短的距离，总有一部分低频声子在这段距离上直接飞过去。

他们引用 Henry 和 Chen 的计算：室温硅中自由程超过 1 µm 的声子贡献了约 40% 的热导率。所以 37.7 nm 只是一个动理学尺度，用来估计灰体模型何时开始出问题；真实硅在微米尺度上就已经偏离傅里叶定律，第四章会看到这一点。

本课程的三个实验都采用灰体模型，因为它能把弹道、扩散和波动这几种行为单独拿出来看清楚。凡是用到灰体数值的地方，课程都会注明它们只是示意。

来源：A. A. Maznev

## 克努森数：飞行还是扩散

把自由程和要跨越的距离 $L$ 相比，得到克努森数 $\mathrm{Kn}=\Lambda/L$。克努森数远小于 1 时，声子在途中碰撞许多次，热按扩散方程传播；远大于 1 时，声子几乎不碰撞，从一端直接飞到另一端，叫弹道输运；接近 1 时处在两者之间。

两种时间尺度的比值正好由克努森数决定。扩散跨过 $L$ 需要约 $L^2/D$，直线飞过去需要 $L/v$。

$$
\frac{L^{2}/D}{L/v}=\frac{3L}{\Lambda}=\frac{3}{\mathrm{Kn}}
$$

克努森数越小，扩散比直飞慢得越多。这个式子用到了 $D=v\Lambda/3$。

来源：A. A. Maznev · Ioffe Institute

## 完整例题：热量怎样穿过 1 µm 的硅

题目：室温硅中，热量要穿过 $L=1\,\mu\mathrm m$。用上面的灰体数值，求克努森数、扩散时间、直飞时间，以及两者之比。

克努森数 $\mathrm{Kn}=37.7\,\mathrm{nm}/1000\,\mathrm{nm}=0.0377$，属于扩散区。扩散时间 $L^2/D=(10^{-6}\,\mathrm m)^2/(7.97\times10^{-5}\,\mathrm{m^2/s})=12.5\,\mathrm{ns}$；直飞时间 $L/v=157\,\mathrm{ps}$。

两者之比 $12.5\,\mathrm{ns}/157\,\mathrm{ps}=79.6$，正好等于 $3/\mathrm{Kn}$。在灰体图景里，1 µm 对硅来说已经足够“厚”，傅里叶定律适用。上一节说过，真实硅里还有一部分长自由程声子，它们在这个距离上并不扩散，所以这个结论对真实硅偏乐观。

来源：Ioffe Institute · A. A. Maznev

## 到实验里试一试

### [在膜厚接近自由程时读出克努森数](https://sandboxphysics.com/zh/labs/phonon-ballistic-diffusive-film/)

1. 选“厚度接近平均自由程”预设。读出克努森数，看声子包是一次飞过去，还是在膜里来回碰撞。
2. 先预测：膜厚加到 800 nm 时，稳态薄膜热导率与体材料之比会接近多少？再选“厚膜：回到傅里叶定律”预设核对。

### [把自由程缩短十倍](https://sandboxphysics.com/zh/labs/phonon-ballistic-diffusive-film/)

1. 选“同一薄膜，自由程很短”预设：膜厚仍为 40 nm，自由程改为 4 nm，$\mathrm{Kn}=0.1$。看声子包的轨迹怎样变得曲折。
2. 比较这个预设与第一个预设的稳态热导率之比，说明是什么让同一厚度的薄膜重新接近傅里叶定律。

## 练习与解答

1. 室温下一层 100 nm 的硅膜，用灰体自由程算出的克努森数是多少？它属于哪个区域？

   展开解答

   $\mathrm{Kn}=37.7/100=0.377$，处在扩散和弹道之间的过渡区。膜厚已经只有自由程的两倍多一点。

2. 热量穿过 10 µm 的硅，扩散需要多久？直线飞过去需要多久？

   展开解答

   扩散时间 $L^2/D=10^{-10}/(7.97\times10^{-5})\,\mathrm s=1.25\,\mu\mathrm s$；飞行时间 $L/v=1.57\,\mathrm{ns}$。二者之比约 796，等于 $3/\mathrm{Kn}$。

3. 某种硅合金的比热和声速与纯硅相同，但热导率只有一半。它的灰体自由程是多少？

   展开解答

   自由程与热导率成正比：$\Lambda=3\kappa/(Cv)$。热导率减半，自由程也减半，为 $18.8\,\mathrm{nm}$。

4. 证明扩散时间与飞行时间之比等于 $3/\mathrm{Kn}$。

   展开解答

   扩散时间 $L^2/D$，飞行时间 $L/v$，相除得 $Lv/D$。代入 $D=v\Lambda/3$，得 $3L/\Lambda=3/\mathrm{Kn}$。

[下一章：声子玻尔兹曼方程：从飞行和碰撞推出傅里叶定律](https://sandboxphysics.com/zh/stories/phonon-heat-transport/phonon-boltzmann-equation/)

## 来源与复算范围

1. [Ioffe Institute, NSM Archive: Thermal properties of Silicon (Si) and Mechanical properties, elastic constants, lattice vibrations of Silicon (Si)](http://www.ioffe.ru/SVA/NSM/Semicond/Si/thermal.html)

   两页都通读过（力学页在同一目录的 mechanic.html）。用到的 300 K 数值：比热 0.7 J/(g K)、热导率 1.3 W/(cm K)、热扩散率 0.8 cm²/s、密度 2.329 g/cm³，以及沿 [100] 方向的声速 8.43 km/s（纵波）和 5.84 km/s（横波）。课程把两个声速合成一个德拜平均声速，这一步是我们自己做的，不是页面给出的数值。

2. [A. A. Maznev, J. A. Johnson and K. A. Nelson, Onset of nondiffusive phonon transport in transient thermal grating decay, Physical Review B 84, 195206 (2011), arXiv:1108.3770v2](https://arxiv.org/abs/1108.3770)

   通读全文（arXiv 第 2 版）。引言部分：动理学理论给出的几十纳米平均自由程、把灰体近似称为过度简化、理论上常用的两块黑体壁之间的平板、由泵浦光交叉角决定的光栅周期，以及硅在 1 到 10 µm 周期下约 0.3 到 30 ns 的光栅衰减时间。摘要指出，硅的有效热导率在周期大到 10 µm 时仍有明显下降。课程没有引用这篇论文的公式编号。