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title: "泡泡怎样冒出来，又怎样填满空间"
description: "从指数增长的成核率出发，推导旧相还剩多少，以及为什么平均泡泡间距由泡壁速度除以 β 决定。"
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last_modified: "2026-11-12"
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[宇宙相变引力波](https://sandboxphysics.com/zh/stories/phase-transition-gravitational-waves/)

# 泡泡怎样冒出来，又怎样填满空间

Sandbox Physics · 2026-11-12

一阶相变要等新相的泡泡把空间填满才结束。如果成核率随时间以速率$\beta$指数增长，还留在旧相里的空间比例会按双重指数下降，泡泡最后的间距是$(8\pi)^{1/3}\xi_w/\beta$。这一章把两个结果都推出来，再拿一份含 2803 个泡泡的合成记录检验。

## 开始前需要什么

需要指数、对数和球体积公式。文中有一个积分，用换元法算出，每一步都写出来。上一章给了物理图像。

## 单位、成核率和旧相

只看相变期间宇宙里的一小块区域，时间又足够短，可以先不管膨胀。时间$t$从参考时刻$t_*$算起。在$t'$时刻成核的泡泡，泡壁以恒定速度$\xi_w$（以光速为单位）向外推，之后某时刻的半径就是$\xi_w(t-t')$。旧相叫假真空，新相叫破缺相。

泡泡只能在还没被占的假真空里冒出来。记$\Gamma(t)$为假真空中单位体积、单位时间冒出的泡泡数。很多热相变临近结束时，这个成核率涨得极快，第一步近似可以写成以$\beta$为速率的指数。

$$
\Gamma(t)=\Gamma_*\,e^{\beta(t-t_*)}
$$

常数$\Gamma_*$是参考时刻的成核率。$\beta$越大，相变进行得越快。比值$\beta/H_*$拿它和当时的哈勃膨胀率$H_*$比；为 LISA 研究的模型里，这个比值通常在十到几百之间。

对应阅读：Caprini et al., Detecting gravitational waves from cosmological phase transitions with LISA: an update, arXiv:1910.13125v2 / JCAP (2020), doi:10.1088/1475-7516/2020/03/024 · Caprini et al., Gravitational waves from first-order phase transitions in LISA: reconstruction pipeline and physics interpretation, arXiv:2403.03723v2 / JCAP 10 (2024) 020

## 数一数一个点被吞掉了几次

任取一个点。在$t'$出生的泡泡，只要中心离这个点不超过$\xi_w(t-t')$，到$t$时刻就把它包住了。先不管“后来的泡泡不能生在先来的泡泡里面”这个限制，把所有“虚拟”泡泡都算上：盖住这个点的期望个数，就是成核率乘以那个球的体积，再对出生时刻积分。

泡泡中心随机散布，盖住这个点的虚拟泡泡个数服从泊松分布。这个点还在假真空里，等于这个个数是零，概率为$e^{-I}$。生在真实泡泡里面的虚拟泡泡，所在之处本来就已是破缺相，不会改变这个点有没有被盖住。在这个模型里，这条捷径给出精确结果。

$$
I(t)=\int_{-\infty}^{t}\Gamma(t')\,\frac{4\pi}{3}\,\xi_w^3(t-t')^3\,dt'=\frac{8\pi\,\xi_w^3\,\Gamma_*}{\beta^4}\,e^{\beta(t-t_*)}
$$

令$s=\beta(t-t')$，积分变成$\Gamma_*e^{\beta(t-t_*)}\,(4\pi\xi_w^3/3\beta^4)\int_0^\infty s^3e^{-s}ds$，最后那个积分等于$3!=6$。

$$
h(t)=e^{-I(t)}=\exp\!\left[-e^{\beta(t-t_*)}\right]\quad\text{when}\quad \Gamma_*=\frac{\beta^4}{8\pi\xi_w^3}
$$

选$t_*$使$I(t_*)=1$，就定下了$\Gamma_*$。在$t=t_*$时，约$e^{-1}=37\%$的空间还是假真空；再过一个$1/\beta$，只剩$e^{-e}=6.6\%$。

对应阅读：Caprini et al., Detecting gravitational waves from cosmological phase transitions with LISA: an update, arXiv:1910.13125v2 / JCAP (2020), doi:10.1088/1475-7516/2020/03/024 · Original benchmark tutorial materials (standard-library Python)

## 从成核率到泡泡间距

真实的泡泡只在剩下的假真空里出生，所以最终的泡泡数密度是$n_b=\int\Gamma(t)\,h(t)\,dt$。令$x=\beta(t-t_*)$，被积函数变成$e^{x}\exp(-e^{x})$，对全体$x$积分正好是 1。平均间距就是每个泡泡所占体积的立方根。

算一个例子。取$\beta/H_*=50$、$\xi_w=0.9$，得$H_*R_*=2.929\times0.9/50=0.0527$：泡泡合并时约为哈勃半径的百分之五。若$\beta/H_*=300$，同样的泡壁给出$H_*R_*=0.00879$。

LISA 模板把$\xi_w$换成$\max(\xi_w,c_s)$，$c_s=1/\sqrt3$是相对论性等离子体的声速。泡壁慢的时候，它推出去的流体扰动以接近声速跑在前面，起作用的长度由声速决定。

$$
n_b=\frac{\Gamma_*}{\beta}=\frac{\beta^3}{8\pi\xi_w^3},\qquad R_*=n_b^{-1/3}=(8\pi)^{1/3}\,\frac{\xi_w}{\beta}
$$

这就是模板里用的平均泡泡间距。前面的系数$(8\pi)^{1/3}=2.93$直接来自指数成核率；成核率随时间的变化方式不同，这个系数也会变。

对应阅读：Caprini et al., Detecting gravitational waves from cosmological phase transitions with LISA: an update, arXiv:1910.13125v2 / JCAP (2020), doi:10.1088/1475-7516/2020/03/024 · Caprini et al., Gravitational waves from first-order phase transitions in LISA: reconstruction pipeline and physics interpretation, arXiv:2403.03723v2 / JCAP 10 (2024) 020

## 用一份合成记录检验

我们离线随机生成了一份这样的泡泡记录：周期性盒子边长 40 个$\xi_w/\beta$，随机种子 77。按上面的成核率在各处提出候选泡泡，只有中心还在假真空里的才保留。记录里存下穿过显示切片的 517 个泡泡。

盒子里平均应有$40^3/8\pi=2546$个泡泡，这一份有 2803 个，多了一成。这不是程序出错：少数很早出生的泡泡会长得很大，盒子里有没有落进这样一个，计数就差很多。换 8 个种子，平均比值是$0.984\pm0.036$，和 1 相符。

整个盒子测得的假真空比例，在每个采样时刻都和$h(t)$相差不超过 0.039。单个切片测得的比例涨落更大，最多差 0.103，因为一张切片包含的独立泡泡更少。实验室把两者都画出来，标明是合成数据，旁边是解析曲线。

![一份合成泡泡记录的假真空占比随时间变化，与系综期望曲线对照](https://sandboxphysics.com/_astro/fraction.DB--Bems.svg)

一份合成蒙特卡罗记录：种子 $77$，边长 $40\,v_w/\beta$ 的周期盒子里共 $2803$ 个泡泡。空心圆统计整个盒子，实心圆只统计一个切片。曲线是成核率按指数增长、泡壁匀速时的系综期望 $\exp[-e^{\beta(t-t_*)}]$。 [查看完整图像](https://sandboxphysics.com/_astro/fraction.DB--Bems.svg)

对应阅读：Original benchmark tutorial materials (standard-library Python) · Caprini et al., Detecting gravitational waves from cosmological phase transitions with LISA: an update, arXiv:1910.13125v2 / JCAP (2020), doi:10.1088/1475-7516/2020/03/024

## 练习与解释性答案

1. 在什么时刻$\beta(t-t_*)$，正好还有一半空间是假真空？

   展开解释

   令$\exp(-e^{x})=1/2$，得$e^{x}=\ln2$，$x=\ln(\ln2)=-0.367$。一半体积在参考时刻之前不久就转变了。双重指数很陡，剩下的部分在大约两个$1/\beta$之内就转完。

2. 泡壁速度$\xi_w=0.4$，$\beta/H_*=100$。按模板规则求$H_*R_*$，并说明它为什么比$(8\pi)^{1/3}\times0.4/100$大。

   展开解释

   泡壁比声速慢，规则里用$c_s=0.577$：$H_*R_*=2.929\times0.577/100=0.0169$。直接用$0.4$会得到$0.0117$。慢泡壁推到前面的流体扰动以接近声速运动，决定声波图样的正是这个扰动。

3. 朋友只用一个种子跑蒙特卡罗，泡泡比预期多了 15%。是成核程序写错了吗？

   展开解释

   不一定。早出生的泡泡能长到和盒子差不多大，一个盒子里独立的“大事件”很少，计数的涨落比简单的平方根估计大。检验程序要用一组种子比较平均值，就像这里做的那样，再拿体积比例和$h(t)$比。

## 动手检验预测

### [拖动示踪泡泡，回看相变过程](https://sandboxphysics.com/zh/labs/phase-transition-gravitational-waves/)

1. 先预测：在假真空比例图里，青色的切片数据点会在哪里穿过一半？再看默认演示。
2. 拖动示踪泡泡上的金色手柄，退回到$\beta(t-t_*)=-1$，粗略数一数切片里还有多大比例是紫色。
3. 把$\beta/H_*$从 50 改成 300。比例尺变短了：同一幅画面现在只占哈勃半径小得多的一部分。

[上一篇：宇宙早期若冒过泡泡，会留下怎样的引力波](https://sandboxphysics.com/zh/stories/phase-transition-gravitational-waves/what-a-bubbling-early-universe-leaves-in-gravitational-waves/) [下一篇：泡壁怎样推动等离子体](https://sandboxphysics.com/zh/stories/phase-transition-gravitational-waves/how-bubble-walls-push-the-plasma/)

## 来源与计算范围

1. [Caprini et al., Gravitational waves from first-order phase transitions in LISA: reconstruction pipeline and physics interpretation, arXiv:2403.03723v2 / JCAP 10 (2024) 020](https://arxiv.org/abs/2403.03723v2)

   读的是 arXiv v2 的 LaTeX 源文件：摘要与引言、第 2.2.1 节（声波双折幂律、振幅、平均泡间距与红移因子）、第 3 节和附录 A（双参数 LISA 噪声与响应），以及第 5 节开头关于参数重建的部分。噪声公式把光学测量拐点印成 2e-3 mHz；我们的资料用 2 mHz，并同时给出两种结果。图 2 只读了图注。

2. [Caprini et al., Detecting gravitational waves from cosmological phase transitions with LISA: an update, arXiv:1910.13125v2 / JCAP (2020), doi:10.1088/1475-7516/2020/03/024](https://arxiv.org/abs/1910.13125v2)

   只读了 LaTeX 源的两处：声波信号一节（signal.tex 约第 180 至 260 行），以及均方根流体速度和动能占比的定义（prelim.tex 第 171 至 182 行）。只用来对比早期的激波形成时间定义。

3. [Original benchmark tutorial materials (standard-library Python)](https://sandboxphysics.com/stories/phase-transition-gravitational-waves/materials/README.md)

   我们的脚本、三个固定基准、四个失败案例和预期输出。它计算已发表的参数化模板、效率拟合和噪声模型；不求解爱因斯坦方程或流体方程，也不含浏览器引擎代码、论文原文或 LISA 数据。

## 继续阅读

宇宙相变引力波 · 阅读路径

### 从泡泡成核到 LISA 可能看到的谱

1. [文章 **宇宙早期若冒过泡泡，会留下怎样的引力波**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/phase-transition-gravitational-waves/what-a-bubbling-early-universe-leaves-in-gravitational-waves/)
2. [当前页面 **泡泡怎样冒出来，又怎样填满空间**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/phase-transition-gravitational-waves/how-bubbles-appear-and-fill-space/)
3. [文章 **泡壁怎样推动等离子体**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/phase-transition-gravitational-waves/how-bubble-walls-push-the-plasma/)
4. [文章 **从声波寿命算到今天的引力波谱**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/phase-transition-gravitational-waves/from-sound-lifetime-to-the-spectrum-today/)
5. [文章 **独立复算一份基准声波谱**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/phase-transition-gravitational-waves/recompute-a-benchmark-sound-wave-spectrum/)
6. [文章 **读懂 LISA 声波模板和它的边界**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/phase-transition-gravitational-waves/read-the-lisa-sound-wave-template-and-its-limits/)