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title: "材料的记忆，怎样把潮汐循环变成热"
description: "从Maxwell材料方程推导复剪切模量、被动耗散符号和每圈做功，并用有单位的例子连接潮汐响应。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/ocean-worlds/from-a-maxwell-material-to-tidal-lag/"
last_modified: "2026-10-28"
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[从材料记忆走到潮汐加热与海洋世界](https://sandboxphysics.com/zh/stories/ocean-worlds/)

AC12 · L1

# 材料的记忆，怎样把潮汐循环变成热

Sandbox Physics · 2026-10-28

黏弹性加热取决于应力和应变之间的时间关系。把弹簧与黏性元件串联，就得到一个可以完整求解的模型；它已经能够区分可回收的储能与不可逆的功。先推导材料的谐波响应，再把它放进有自引力的天体。

## 开始前需要什么

需要小应变弹性、时间导数、基础复数，以及正弦平方的平均值。

## 先规定剪切实验，再引入复数

考虑一次微小的简单剪切。两面的相对横向位移除以间距，得到无量纲的工程剪应变。剪应力是单位面积上的力，单位帕。弹性元件中，应力等于剪切模量乘应变；牛顿黏性元件中，应力等于黏度乘应变率，因此黏度的单位是帕秒。

Maxwell排列把两种元件串联。它们承受相同应力，总应变则等于两份应变之和。把弹性应变求导，再加上黏性应变率，就得到下面的材料方程。特征时间是黏度除以弹性模量。载荷变化远快于这个时间时，材料来不及流动，主要表现为弹性；变化很慢时，黏性元件可以逐渐流动。

这是一种小应变、线性、单一松弛时间模型。真实卫星中的冰可能随深度改变温度和晶粒大小，并具有多种松弛机制。这个模型的好处是每一步预测都来自明确的材料定律；即使给它一个看似合理的黏度，也不等于完整描述了冰的流变。

$$
\dot\gamma=\frac{\dot\sigma}{\mu_E}+\frac{\sigma}{\eta},\qquad \tau_M=\frac{\eta}{\mu_E}
$$

这里采用工程剪应变；若改用应变张量分量，剪应力与该分量之间还差一个二倍因子。

对应阅读：Beuthe, Tides on Europa: the membrane paradigm, arXiv:1410.4735v1

## 解出一个振荡，并固定符号

把真实正弦振荡写成复振幅乘正虚指数后的实部。求时间导数，就变成乘以虚数单位和角频率。将它代入材料方程，解出应力与应变之比，再给分子分母乘以复共轭，就能把储能项与耗散项分开。

在这套约定下，被动材料的模量虚部为正。若施加余弦应变，应力里会带有负正弦项。把应力乘应变率并对一圈取平均，正余弦交叉项消失，正弦平方平均为二分之一，于是得到正的平均功率密度。

逆响应的虚部符号相反。外力给定、位移作为响应时，柔顺体的位移滞后外力，响应的虚部为负。这就是Love数图中把负虚部画成正耗散大小的原因。换一种时间指数约定，会同时翻转这些符号，但不会改变真实发热。

$$
\mu^*(\omega)=\mu_E\frac{i\omega\tau_M}{1+i\omega\tau_M}=\mu_E\frac{x^2+i x}{1+x^2},\qquad x=\omega\tau_M
$$

在已经规定的时间约定下，实部对应储能，正虚部对应耗散。

$$
\left\langle\sigma\dot\gamma\right\rangle=\frac{\omega}{2}\operatorname{Im}\mu^*\,|\widehat\gamma|^2\geq0
$$

这是单个工程剪切分量、单位体积的平均功率。

对应阅读：Beuthe, Tides on Europa: the membrane paradigm, arXiv:1410.4735v1

## 带单位算一遍

取弹性剪切模量三点五吉帕、黏度约三百一十六万亿帕秒。相除得到约九万零三百五十一秒，也就是二十五点一小时。合成天体的公转周期约十七万八千七百二十秒，即四十九点六小时，因此角频率与Maxwell时间的乘积约为三点一八。角频率不是周期的倒数，两者还差一个整圈的因子。

若工程剪应变振幅是一百万分之一，这个频率下的平均功率密度约为每立方米十七点六纳瓦。这是一个局部材料实验例子，不是整颗卫星的体积平均发热；真实潮汐应变随位置变化，还包含多个张量分量。下一章会积分相应的形变场。

现在保持弹性模量和施加应变不变，把黏度加倍。由于原先的无量纲频率已经大于一，材料会更接近弹性，损耗模量反而减小。如果初始黏度很低，同样的改动却可能增大损耗。判断黏度怎样改变发热，需要先与载荷时间尺度比较。

$$
\tau_M=9.0351\times10^4\,\mathrm{s},\quad n=3.51565\times10^{-5}\,\mathrm{s^{-1}},\quad n\tau_M\simeq3.18
$$

保存的默认例子采用十的十四点五次方帕秒黏度，以及声明过的合成轨道。

$$
\mu^*=(3.18439+1.00251i)\,\mathrm{GPa},\qquad\langle q\rangle=\frac{3.51565\times10^{-5}}2(1.00251\times10^9)(10^{-6})^2=1.7622\times10^{-8}\,\mathrm{W\,m^{-3}}
$$

先代入角频率、以帕表示的损耗模量，以及工程剪应变振幅，再将应变振幅平方，得到每立方米十七点六纳瓦。

对应阅读：Beuthe, Tides on Europa: the membrane paradigm, arXiv:1410.4735v1

## 把材料滞后接到重力响应

卫星不是一块受剪切的方砖。自引力会抵抗形变，几何形状还会重新分配应变。径向Love数把表面位移与外潮汐势除以表面重力后的长度比较；重力Love数则比较诱导势与施加势。两者都无量纲，在谐波潮汐下都可以是复数。

默认冰壳的径向响应滞后约十六点九度。这一结果同时包含自引力和有限壳厚，不能只看一个自由流动元件的相位。最大整体耗散对应的黏度，也不是简单令Maxwell时间等于角频率的倒数；完整响应的分母会移动峰的位置。

2025年土卫六分析从无线电跟踪估计的是重力响应。把它进一步换成黏度，需要比这里丰富得多的内部模型。阅读时可沿着同一顺序：先认清观测响应和不确定性，再看材料与结构假设，最后才是推断的内部。

$$
\widehat u_r(R)=h_2\frac{\widehat W(R)}{g},\qquad \widehat\Phi_{\rm induced}(R)=k_2\widehat W(R)
$$

势的单位为平方米每平方秒，除以重力加速度后得到长度。

对应阅读：Beuthe, Tides on Europa: the membrane paradigm, arXiv:1410.4735v1 · Petricca et al., Titan’s strong tidal dissipation precludes a subsurface ocean, Nature 648 (2025)

保存的数值例子、单位与方法

合成不可压缩、同密度天体。施潮天体质量为五乘十的二十六次方千克，轨道半长轴三十万千米。四个弹性牵引条件确定壳位移，复Maxwell对应确定滞后与发热；这些数值是预测，只有明确标为拟合的行使用观测式合成噪声。

| 弹性模量与黏度 | $\mu_E=3.50\,\mathrm{GPa},\quad\eta=10^{14.5}\,\mathrm{Pa\,s}$ |
| --- | --- |
| 材料松弛时间 | $\tau_M=9.03508\times10^4\,\mathrm{s}$ |
| 物理公转周期与无量纲频率 | $P=1.78720\times10^5\,\mathrm{s},\quad n\tau_M=3.17642$ |
| 径向响应相位滞后 | $\delta=16.8764^{\circ}$ |

场景扣掉稳态潮汐并放大周期径向形状。每种材料与壳厚分别在参考偏心率下归一显示增益，比较真实振幅请使用米制读数。外部做功和体积耗散的独立积分核对总功率。

## [把弯曲和耗散分开观察](https://sandboxphysics.com/zh/labs/tidal-locking/)

1. 先预测理想弹性会怎样改变位移曲线与回线，再切换并解释结果。
2. 固定默认壳厚，在高级控件中扫描黏度，寻找耗散峰，再与最大耗散预设和频率图比较。

## 练习与解释性答案

1. 采用本章的时间约定，被动位移响应的虚部应为正还是负？

   展开解释

   应为负。余弦外力对应的滞后位移带有正正弦项；写成复振幅乘正虚指数的实部时，复振幅的虚部必须为负。模量属于逆关系，因此符号相反。

2. 理想弹性预设为什么形状仍在变，平均加热却为零？

   展开解释

   应力与应变同相。循环前半段储存在弹性中的能量会在后面交回，闭合的力—位移路径面积为零。仅仅看到运动，还不能说明发生耗散。

3. 把同一材料放到短十倍的载荷周期下，哪个无量纲量改变？不知道原先区间，能否判断发热增减？

   展开解释

   角频率以及它与Maxwell时间的乘积都增大十倍。损耗模量在峰前上升、峰后下降，而且给定应变和给定外力时功率规律也不同，必须先交代载荷与响应。

[上一篇：冰冷的卫星，为什么会一边变形一边发热？](https://sandboxphysics.com/zh/stories/ocean-worlds/how-tides-warm-an-icy-world/) [下一篇：从边界应力，推到有限厚度冰壳的Love数](https://sandboxphysics.com/zh/stories/ocean-worlds/derive-a-finite-thickness-love-response/)

## 来源与计算范围

1. [Beuthe, Tides on Europa: the membrane paradigm, arXiv:1410.4735v1](https://arxiv.org/html/1410.4735v1)

   固定为2014年10月17日预印本，Icarus正式发表DOI10.1016/j.icarus.2014.10.027。附录A式105–116给出有限厚度均匀不可压缩壳；附录C讨论Maxwell对应原理，附录E推导功与功率，附录G规定偏心率和光学天平动潮汐。图8–9、12–13展示近似与热模型依赖。核读相关正文和附录；本站的同密度Maxwell例子比真实卫星简单得多。

2. [Petricca et al., Titan’s strong tidal dissipation precludes a subsurface ocean, Nature 648 (2025)](https://www.nature.com/articles/s41586-025-09818-x)

   正式版2025年12月17日，DOI10.1038/s41586-025-09818-x，CC BY 4.0。核读出版方存档全文PMC12711566及Methods。图1给出重力响应估计，图2比较有条件的内部后验，图3是推断内部的示意图。图1误差棒为三倍标准差，图2椭圆为一倍标准差。原文正虚部表示其耗散约定；本站用正时间虚指数，被动Love响应的虚部为负。