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title: "从一个中子的能级读懂核谱"
description: "用氧-17 的三个评估能级推导自旋—轨道分裂，检验单中子模型，再判断哪些电四极跃迁允许发生。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/nuclear-bridge/spectra-and-selection/"
last_modified: "2026-10-27"
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[核物理](https://sandboxphysics.com/zh/stories/nuclear-bridge/)

L2 · 第 3 章

# 从一个中子的能级读懂核谱

Sandbox Physics · 2026-10-27

在氧-16 核芯外加一个中子，得到的氧-17 提供了一份很简短的核结构线索：最低的三个正宇称态并没有等间距排列。先问这个中子占据什么轨道，再用评估能量检查解释，能看清壳模型擅长什么，也能找到需要改进的地方。

## 开始前需要什么

前一章的有限球形势阱、轨道角动量和束缚态。知道自旋是一种内禀角动量即可；本章介绍总角动量、宇称与电四极选择规则。

[回看先修概念](https://sandboxphysics.com/zh/stories/nuclear-bridge/finite-wells-and-spin-orbit/)

- 从角动量相加推导单粒子的自旋—轨道分裂。
- 区分参数标定、独立预测和跃迁选择规则。

## 先认出核芯外的中子

氧-16 的基态自旋为零。先把它当作不激发的核芯，新增中子便承担氧-17 的总角动量。在这个近似里，$0d_{5/2}$ 表示径向节点数为零、轨道角动量为二、总角动量为二点五的状态。字母 s、p、d 依次对应轨道角动量零、一、二。

中子的自旋量子数为 $s=1/2$。轨道角动量与它相加，通常得到两种总角动量 $j=\ell\pm1/2$；当轨道角动量为零时，只剩 $j=1/2$。空间反演把坐标翻向相反方向，轨道波函数得到因子 $(-1)^\ell$，这就是这里的宇称。s、d 轨道都具有正宇称。

单粒子图像是一种组态解释。实际核态还会混入核芯激发与其他组态；要定量判断一个态有多像单中子，还需转移反应和谱强度等证据。

来源：TUNL · M. Goeppert Mayer

## 为什么同一个 d 轨道会分成两支

先设球对称中心势，再加入 $-\kappa\mathbf L\!\cdot\!\mathbf S/\hbar^2$，取 $\kappa>0$。这个负号采用核物理里较大总角动量伙伴较低的约定。把总角动量 $\mathbf J=\mathbf L+\mathbf S$ 平方，交叉项就给出了自旋—轨道项的本征值。

d 轨道的两支是 $j=5/2$ 与 $j=3/2$。代入后，能量分别移动 $-\kappa$ 与 $3\kappa/2$，间隔是 $5\kappa/2$。两支分别有六个和四个磁子态，合起来仍是原来 d 轨道的十个状态。相互作用把简并分开，没有增加状态数。

$$
2\mathbf L\cdot\mathbf S=\mathbf J^2-\mathbf L^2-\mathbf S^2
$$

角动量平方算符分别用相应量子数乘以量子数加一取本征值。

$$
\Delta E_j=-\frac{\kappa}{2}\left[j(j+1)-\ell(\ell+1)-\frac34\right]
$$

强度的单位是能量；括号内的量没有量纲。这个式子只处理角动量部分，径向积分已吸收到强度里。

d 轨道负自旋轨道作用示意。总态数与按简并数加权的平均能量保持不变。

来源：M. Goeppert Mayer

## 完整例题：对准两条线，再看第三条

打开 TUNL 的 1993 年评估表 17.10。氧-17 的 $5/2^+$ 基态取零；$1/2^+$ 态在 $870.73\pm0.10\,\mathrm{keV}$；$3/2^+$ 态在 $5084.8\pm0.9\,\mathrm{keV}$。原表把能量写成 MeV、误差写成 keV，抄表时要分别换算。

用最简单的谐振子中心势，$0d$ 与 $1s$ 属于同一个主壳，未加自旋—轨道项时能量相同。把低 d 态设为参考零点，三个预测激发能就是 $0,\ \kappa,\ 5\kappa/2$。用两个 d 态的间隔确定 $\kappa=2033.92\,\mathrm{keV}$。

现在看没有参与标定的 s 态。原始评估值是 $870.73\,\mathrm{keV}$，模型值是 $2033.92\,\mathrm{keV}$，模型减评估值的残差为 $+1163.19\,\mathrm{keV}$。误差达到 MeV 尺度，远大于评估能量的不确定度。这里需要改进中心势的径向结构和多体关联，不能靠已经对准的 d 间隔宣称整个谱都正确。

高处的 $3/2^+$ 态还是中子非束缚共振，评估宽度为 $96\pm5\,\mathrm{keV}$。这里仅用它的中心能量做现象学标定；宽度和中心位置的误差是不同的量。求解真实共振还要允许中子流向远处。

来源：TUNL

## 两条能级之间，可以发出什么光

电磁跃迁要带走能量，也要带走角动量。电四极辐射的多极阶数为二，常写作 E2。初末态的角动量与这个阶数必须拼成一个三角形，同时宇称保持不变。

例如 $2^+\rightarrow0^+$ 通过检验；$4^+\rightarrow0^+$ 相差四单位角动量，不能发出一个 E2 光子；$0^+\rightarrow0^+$ 虽然自旋差为零，三角形的另一边却不够长，同样被禁止。

允许条件只筛出可能的矩阵元。跃迁有多快，还取决于核态波函数与电四极算符；真实高激发态也可能放出中子。能级图里的允许箭头不等于测得的分支强度。忽略很小的核反冲时，光子能量近似等于两能级之差。

$$
|J_i-J_f|\leq2\leq J_i+J_f,\qquad \pi_i=\pi_f
$$

初末态还必须都为整数自旋或都为半整数自旋。三角关系的两端都要检查。

来源：M. Hjorth-Jensen

## 把推理带进实验

### [保留标定点，检查剩下的能级](https://sandboxphysics.com/zh/labs/nuclear-spectroscopy/)

1. 选择“氧核外的一个中子”，找到表中的参考零点、标定点与比较点。先遮住模型列，自己算出 s 态的预测。
2. 连续减小自旋—轨道强度，观察两个 d 态怎样靠近。解释强度为零时，为什么这个谐振子模型的三个 sd 能级合并。
3. 保存比较结果，指出哪一项是原始评估值、哪一项由模型计算，以及哪一个残差真正检验了模型。

## 练习与解释性答案

1. 取 $\ell=1$、$\kappa=0.8\,\mathrm{MeV}$。两支的位移、简并度和间隔各是多少？

   展开解释

   $j=3/2$ 支位移 $-0.4\,\mathrm{MeV}$，有四个磁子态；$j=1/2$ 支位移 $+0.8\,\mathrm{MeV}$，有两个。间隔为 $1.2\,\mathrm{MeV}$。按简并度加权，平均位移为零，与未分裂轨道的中心一致。

2. 只依据角动量和宇称，$1/2^+\rightarrow5/2^+$ 与 $1/2^+\rightarrow1/2^+$ 哪一个允许 E2？这能决定寿命吗？

   展开解释

   第一个满足自旋差为二、两自旋之和为三，且宇称不变。第二个自旋之和只有一，小于二。第一个通过必要条件，但寿命还要用电四极矩阵元计算，并计入其他衰变通道。

[上一章：有限深的核势怎样留下离散能级](https://sandboxphysics.com/zh/stories/nuclear-bridge/finite-wells-and-spin-orbit/) [下一章：配对的核子与转动的原子核](https://sandboxphysics.com/zh/stories/nuclear-bridge/pairing-and-collectivity/)

## 来源与复算范围

评估能级与已发表反应测量保留来源版本和不确定度。模型曲线、示意图与合成散射记录分别注明。离线基准文件逐项列出实际复算的范围。

1. [M. Goeppert Mayer, On Closed Shells in Nuclei. II, Physical Review 75, 1969 (1949)](https://doi.org/10.1103/PhysRev.75.1969)

   壳闭合的自旋轨道解释。课程推导角动量本征值；谐振子参数仅供示意，不作为完整实验壳谱。

2. [TUNL, Energy Levels of A = 17 Nuclei, 1993TI07, Table 17.10](https://nucldata.tunl.duke.edu/nucldata/HTML/A%3D17/17_10_1993.pdf)

   选取氧 17 的能级、自旋宇称、能量误差及 5.0848 MeV 中子非束缚共振的宽度。原始数值与单中子模型拟合分列。

3. [M. Hjorth-Jensen, Nuclear TALENT, Electromagnetic transitions and beta decay (2017)](https://nucleartalent.github.io/NuclearStructure/doc/pub/decays/html/decays.html)

   多极算符、约化跃迁概率与角动量选择规则。选择规则只判断矩阵元是否允许，强度还需波函数和算符。