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title: "读一张氘反应数据表，再复算热平均"
description: "沿 LUNA 数据列往下读，分清已发表拟合与新拟合，再检验有限范围内的热反应率复算。"
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last_modified: "2026-10-27"
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[核物理](https://sandboxphysics.com/zh/stories/nuclear-bridge/)

L4 · 第 9 章

# 读一张氘反应数据表，再复算热平均

Sandbox Physics · 2026-10-27

一个热反应率，可以一路追到明确的测量，也可以自己复算它的数值量级。请同时打开 Mossa 等人在 Nature 587（2020）发表的论文，DOI 为 10.1038/s41586-020-2878-4。这里核读的作者接收稿在第 21、22 页列出数值表。我们沿这两张表和方法部分式 2 往下算；完整重做合作组分析，还需要额外数据与标定信息。

## 开始前需要什么

前一章的麦克斯韦积分和相关误差例子。会读数据表，能分清实测量与拟合预测，并理解相对残差。

[回看先修概念](https://sandboxphysics.com/zh/stories/nuclear-bridge/shell-evolution-and-halos/)

- 认清每列数据的参考系、单位和误差含义。
- 用独立积分检查已发表中心反应率的量级。
- 准确说明外推与统计假设还留下哪些问题。

## 先读实测行

扩展数据表 1 有四列：质心系能量、S 因子、统计标准误差、系统标准误差，共十三行。转录时保留四列，不把两种误差合并后丢掉原值。冻结数值文件还保存作者稿地址与 SHA256，日后可以辨认当时核读的具体文件。

例如 $99.5\,\mathrm{keV}$ 这一行，$S=0.850\,\mathrm{eV\,b}$，统计和系统误差分别为 $0.008\,\mathrm{eV\,b}$ 与 $0.021\,\mathrm{eV\,b}$。方差相加后，边缘标准误差约为 $0.0225\,\mathrm{eV\,b}$；它没有告诉你这一行与下一行怎样相关。

这张表已经是处理后的截面信息，不是逐个探测到的光子。可以用它拟合已发表 S 因子。若想从头重做探测效率、背景扣除，则需要表中没有提供的采集与标定记录。

来源：V. Mossa et al.

## 把两条拟合曲线分清

看图 1 时，先找到 LUNA 的实心点，再找已发表平滑拟合。方法部分式 2 是三次多项式，还使用了其他数据集。实验台另外对所选 LUNA 行做二次拟合。实线和虚线的输入不同，回答的问题也稍有不同。

自己拟合时，要保存点的选择、基函数、权重和系数协方差。这里把统计方差与扣除假定 2.4% 共同项后剩余的系统方差作为独立权重，再单独传播共同刻度。这个分拆用于教学，因为原表没有完整协方差矩阵。

残差始终相对于原始中心值计算。测量区间里残差小，说明曲线在这些点附近描述得还可以。温度降低后，反应贡献可能移到最低测量点以下；那段曲线怎样延伸，需要另问。

来源：V. Mossa et al.

## 带着物理单位复算积分

可复算基准对已发表三次多项式积分，采用前章列出的核质量和国际单位换算。计算在对数能量上用 Simpson 求积，分辨低能尾部。另一个独立测试则在均匀能量网格上直接积分“截面乘速度乘麦克斯韦密度”。变量和被积函数写法都不同，两者相合，可以检查代码是否算对。

在 $T=0.1\,\mathrm{GK}$ 时，复算得到 $5.75182\,\mathrm{cm^3\,mol^{-1}\,s^{-1}}$，扩展数据表 2 印出的中心值为 $5.74\,\mathrm{cm^3\,mol^{-1}\,s^{-1}}$，相差约 0.206%。检查的七个温度从 $0.001\,\mathrm{GK}$ 到 $1\,\mathrm{GK}$，最大相对差约为 0.594%。

这个差异原样保留在下载文件中，目前没有把它归因于某个已确认原因。比较给出了中心反应率量级的有限检查；两种独立求积还作了更严格的数值比较。它没有重现已发表拟合的完整协方差，也没有复算表中上下限。

$$
\Delta_R(T)=\frac{R_{\rm recalculated}(T)}{R_{\rm table}(T)}-1
$$

相对残差没有量纲。逐个温度保存它，才能避免只挑一个相合的数值，把别处更大的偏离漏掉。

来源：R. Longland et al.

## 再问答案由哪些能量贡献

回到热平均被积函数：拟合 S 因子乘上两个指数权重。把第一个到最后一个所选测量能量之间涂上阴影，分别计算阴影内与全部贡献的积分。两者之比，说明这个模型的反应率有多少落在取样能区内。

在 100 MK 时，仅用 LUNA 点得到的二次拟合，约有 47% 的反应率在实测跨度内，中心反应率约为 5.38，低于单独积分已发表三次式的结果。再降温，反应贡献移到首个点以下。几条在测量区间内都还合适的平滑曲线，延伸到低能时可能给出不同积分。

逐点误差带也不足以决定反应率误差。每个能量上的误差大小相同，两条曲线仍可能有不同的跨能量相关性。共同归一化会把整个积分推向同一边，独立涨落却能部分抵消。应传播系数协方差，或先抽取整条相干曲线，再逐条积分。

## 把结论放回实际检查的范围

测量属于已发表实验结果。二次拟合和协方差分拆，是针对已发表数值做的教学再分析。独立求积检验了代码中的热平均。数据之外的反应模型、等离子体效应与完整核合成计算，仍需各自研究。

换一道反应时，先写核素对、能量参考系和数据版本，拟合前找出共同标定。保存选点、参数协方差和被积函数，报告反应率时同时报告能区覆盖。另一个读者拿到这些信息，才有办法重复计算，也能看出新增测量最该放在哪里。

## 把推理带进实验

### [让同一张数据表面对两个温度](https://sandboxphysics.com/zh/labs/stellar-reaction-rates/)

1. 保存默认计算，在下载记录里找到十三行原始测量。
2. 比较二次拟合反应率与另列的已发表三次式参考，说明两者拟合输入有什么不同。
3. 选择“年轻恒星”，根据区间外贡献，解释为什么条件拟合误差还不足以描述低温预测。

## 练习与解释性答案

1. 表中逐个能量列出了系统误差，却没有非对角协方差。可以把这些误差都当成独立的吗？

   展开解释

   不能直接这样推断。同一束流电流、靶密度或效率标定，会让多次测量一起变化。表中给出的是各点的边缘误差大小。完整传播需要相关性、共同干扰参数，或明确写出的敏感性分析；这里采用的共同项就是一种教学假设。

2. 同单位下，已发表值为 $5.74$，复算值为 $5.75182$。相对残差是多少？这次相合说明了什么？

   展开解释

   比值减一约为 $0.00206$，也就是 0.206%。它支持这个温度、这条三次式下的中心反应率量级。仅凭这个数，不能确定完整协方差、外推准确性或宇宙丰度预测。

## 下载数值与计算

- [冻结的实测 S 因子与已发表反应率表](https://sandboxphysics.com/data/nuclear-bridge/rates/published-data.json)
- [复算反应率、残差与模型定义](https://sandboxphysics.com/data/nuclear-bridge/rates/benchmarks.json)
- [包含原始表格的作者接受稿](https://www.pure.ed.ac.uk/ws/portalfiles/portal/166986970/mossa_nature_R2.pdf)
- [复算脚本](https://github.com/yangzichao/sandboxphysics/blob/main/scripts/frontier/fr07/reproduce-rates.mjs)

[上一章：走近中子滴线，壳层和半径为什么会变](https://sandboxphysics.com/zh/stories/nuclear-bridge/shell-evolution-and-halos/)

## 来源与复算范围

评估能级与已发表反应测量保留来源版本和不确定度。模型曲线、示意图与合成散射记录分别注明。离线基准文件逐项列出实际复算的范围。

1. [V. Mossa et al., The baryon density of the Universe from an improved rate of deuterium burning, Nature 587, 210–213 (2020)](https://doi.org/10.1038/s41586-020-2878-4)

   作者接受稿公式 2–3、扩展数据表 1–2：质子氘俘获的实测 S 因子与热反应率。本站对子集的拟合与论文的多数据集拟合分别标示。

2. [R. Longland et al., Charged-particle thermonuclear reaction rates: I. Monte Carlo method and statistical distributions (2010), arXiv:1004.4136v1](https://arxiv.org/pdf/1004.4136v1)

   热反应率的概率分布，以及共同归一化误差的相关性。课程针对选定拟合自行推导一阶协方差传播。