---
title: "配对的核子与转动的原子核"
description: "从铒-166 的评估能级推导转动谱，与谐振动比较，再用可解配对例题说明单粒子与集体运动怎样共存。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/nuclear-bridge/pairing-and-collectivity/"
language: "zh-CN"
page_type: "story"
alternate_languages:
  en: "https://sandboxphysics.com/stories/nuclear-bridge/pairing-and-collectivity/"
last_modified: "2026-10-27"
---

[核物理](https://sandboxphysics.com/zh/stories/nuclear-bridge/)

L3 · 第 4 章

# 配对的核子与转动的原子核

Sandbox Physics · 2026-10-27

铒-166 的最低几个能级越往上，间距越大。这很像同一个形变物体带上越来越多的角动量。核子之间又倾向于配成总角动量为零的对；把转动和拆开一对核子分开考虑，就能理解为什么一个原子核同时需要集体模型和单粒子图像。

## 开始前需要什么

上一章的总角动量、自旋—轨道伙伴与电四极选择规则。会计算转动动能；本章解释声子、时间反演配对及简并单壳例题。

[回看先修概念](https://sandboxphysics.com/zh/stories/nuclear-bridge/spectra-and-selection/)

- 用第一激发能预测转动带，并用剩余评估值检查恒定惯量。
- 比较转动、四极振动和拆对激发的不同能标。

## 把转动动能写成量子能级

经典物体的转动动能可以写成 $L^2/(2\mathcal I)$，转动惯量 $\mathcal I$ 越大，带上同样角动量需要的能量越小。对轴对称的形变原子核，取垂直于对称轴的转动，把角动量平方换成量子本征值，就得到刚性转子谱。

偶偶核的轴对称基态带取内禀投影 $K=0$。沿轴正向和反向的形状相同，基态带允许的总角动量为 $J=0,2,4,\ldots$。这些态共用一个内禀组态。图中的形变画在随核体的坐标系里；它不表示基态在实验室中有一个固定朝向。

$$
E_J=A J(J+1),\qquad A=\frac{\hbar^2}{2\mathcal I}
$$

各能级的激发能从基态量起。这个近似假设转动惯量在整条带上恒定。

来源：R. F. Casten

## 完整例题：用一条线预测后面三条

ENSDF 2008 年 3 月的铒-166 基态带，前五个能级依次为 $0$、$80.5776$、$264.990$、$545.454$、$911.208\,\mathrm{keV}$。自旋从零开始，每次增加二。先用第一个激发态标定 $A=80.5776/6=13.4296\,\mathrm{keV}$。

接着乘上 $J(J+1)$。转子给出 $268.592$、$564.0432$、$966.9312\,\mathrm{keV}$。与原始评估值相减，三个独立比较点的残差为 $+3.602$、$+18.5892$、$+55.7232\,\mathrm{keV}$。高自旋处越偏越高，提示真实的有效惯量随激发有所变化。

一个容易心算的指标是第四自旋能级与第二自旋能级之比。刚性转子给 $10/3$，评估值约为 $3.29$，谱形相当接近；可是评估误差只有 $0.0020$ 至 $0.006\,\mathrm{keV}$。几千电子伏特的偏差仍然大得多。这个模型解释了排列规律，精确谱学需要更细的动力学。

来源：NNDC

## 若它是在振动，谱会怎么排

现在换一种想法：核形状绕球形平衡点做小幅四极振动。把这组振动量子化，一个振动量子叫一个声子，它携带二单位角动量。谐近似下，每增加一个声子，能量都增加同样的一份。

一个声子给 $2^+$；两个相同的四极声子可以合成 $0^+,2^+,4^+$，在理想谐近似下三者等能。只跟踪每层最大角动量的序列，$4^+$ 与 $2^+$ 的能量比就是二，明显小于铒的评估比值。实验台还列出了被这条最大角动量序列略去的双声子多重态。

真实核的振动会受非谐性和组态混合影响。判断一种集体运动，还可看电四极跃迁强度与四极矩。能量比先给出候选解释；要进一步重建核形状，还得把能量谱与这些电磁观测放在一起。

$$
E_n=n\hbar\omega,\qquad\left.\frac{E_4}{E_2}\right|_{\rm stretched}=2
$$

零点能已从基态参考中减去。能量下标表示所选态的自旋；声子数是另一个量。

来源：R. F. Casten

## 拆开一对核子，代价来自哪里

在一个固定的 $j$ 壳内，磁投影 $m_j$ 和 $-m_j$ 互为时间反演伙伴。吸引性的零角动量配对把这些成对占据的组态混合起来，降低能量。配对描述核子之间的关联，转动描述整体的取向运动，两者可以同时存在于形变核中。

先做最小的可解例题：一个壳有 $2\Omega=2j+1$ 个磁子态，也就有 $\Omega$ 种时间反演对位置。只放入一对核子。若在任意两个成对位置之间的作用矩阵元都是 $-G$，那么所有位置等幅相加的态，每一行都收到 $\Omega$ 项，能量为 $-G\Omega$；与它正交的组合能量为零。

取 $j=5/2$，有三种对位置，设 $G=0.30\,\mathrm{MeV}$。完整配对态的关联能为 $-0.90\,\mathrm{MeV}$。在这个模型里，拆对态没有这份吸引能，代价为 $0.90\,\mathrm{MeV}$。当 $G\rightarrow0$，这份拆对代价消失。它是受限模型的精确结果，参数没有用铒的质量或能谱拟合。

更多核子时，用资深数 $v$ 记录没有组成这种零角动量对的核子数。下面是同一个简并单壳模型的精确能量。真实核的能级有间距，配对也会与形变、转动相互影响；这里先把这一个可解机制看清。

$$
E(n,v)=-\frac G4(n-v)(2\Omega-n-v+2)
$$

粒子数为 $n$，成对位置总数为 $\Omega$，$G$ 为正的吸引强度。允许的资深数与粒子数同奇偶，且不能超过未占据壳空间所允许的范围。

来源：J. Dobaczewski et al.

## 把推理带进实验

### [先预测谱怎样变，再改变惯量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/nuclear-spectroscopy/)

1. 选择“铒核的转动带”。只用第一激发能，手算后面三个能级，再与表中的模型值和残差逐项比较。
2. 先猜惯量加倍会怎样，再把“相对参考值的转动惯量”调到二。说明为什么能量减半，而转动能量比保持不变。
3. 选择“换成振动谱试试”。找到相同的标定能级，解释为什么高处的振动谱很快跟评估值分开；再列出图中没有单独画出的双声子自旋。

## 练习与解释性答案

1. 若 $E_2=120\,\mathrm{keV}$，理想转子和最大角动量谐振序列分别预测怎样的 $E_4$、$E_6$？

   展开解释

   转子乘上 $20/6$ 和 $42/6$，得到 $400$、$840\,\mathrm{keV}$；谐振序列分别含两个、三个声子，得到 $240$、$360\,\mathrm{keV}$。第一条激发线相同，高处间距能把两种解释分开。

2. 一个 $j=7/2$ 简并壳只放两个核子，$G=0.20\,\mathrm{MeV}$。配对基态能量与拆对代价是多少？若把壳填满，能量还会等于零吗？

   展开解释

   此时 $\Omega=4$，一对的能量为 $-G\Omega=-0.80\,\mathrm{MeV}$，拆对代价为 $0.80\,\mathrm{MeV}$。满壳取 $n=8,v=0$，公式仍给 $-0.80\,\mathrm{MeV}$；哈密顿量包括已经占据的对位置的对角吸引。能量零点和相互作用定义必须保持一致。

[上一章：从一个中子的能级读懂核谱](https://sandboxphysics.com/zh/stories/nuclear-bridge/spectra-and-selection/) [下一章：中子遇到核势以后，波去了哪里](https://sandboxphysics.com/zh/stories/nuclear-bridge/complex-potential-scattering/)

## 来源与复算范围

评估能级与已发表反应测量保留来源版本和不确定度。模型曲线、示意图与合成散射记录分别注明。离线基准文件逐项列出实际复算的范围。

1. [NNDC, ENSDF adopted levels and gammas for erbium-166](https://www.nndc.bnl.gov/ensnds/166/Er/adopted.pdf)

   冻结评估版本中的基带能级，数据文件注明评估日期与误差。仅保存选取的数值事实；模型曲线和图形自行生成。

2. [J. Dobaczewski et al., Odd-even staggering, degenerate-shell seniority model](https://users.fuw.edu.pl/~dobaczew/oes-25w/node7.html)

   简并单壳配对的可解极限。固定相互作用和受限壳空间用于理解配对，不代替核素质量评估。

3. [R. F. Casten, Lectures on Nuclear Structure, NNPSS 2013](https://archive.int.washington.edu/NNPSS/2013/lectures/Casten1.pdf)

   集体转动序列与内禀形变。刚性转子和谐振动子是两个极限，课程用评估基带残差检验适用范围。