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title: "几组不同的核势，为什么都能拟合散射"
description: "用冻结的合成中子计数比较多个核势，推导泊松偏差，并用后向角度和剖面似然研究参数退化。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/nuclear-bridge/inverse-scattering/"
last_modified: "2026-10-27"
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[核物理](https://sandboxphysics.com/zh/stories/nuclear-bridge/)

L3 · 第 6 章

# 几组不同的核势，为什么都能拟合散射

Sandbox Physics · 2026-10-27

五个前向角度的计数，可以同时容许一口浅势阱和一口深势阱。数据精确限制了出射波的某些组合，却未必分别确定势深度、半径与吸收。要继续了解核的内部，下一步应测那些候选预言分开的角度。

## 开始前需要什么

上一章的复光学势、散射矩阵与微分截面。需要基本概率；本章解释泊松计数、似然与干扰参数。全部数值来自明确标记的教学合成记录。

[回看先修概念](https://sandboxphysics.com/zh/stories/nuclear-bridge/complex-potential-scattering/)

- 从保存的计数构造核势参数的似然。
- 用留出角度与深度剖面分辨拟合精度、参数不确定度和模型多解。

## 先固定一份谁也不能改写的计数

设一台探测器在不同方向接收散射中子。每个角度只覆盖一个很窄的接收范围，束流、靶厚度、接收立体角与探测效率合并成有效曝光量。给定核势，就能从微分截面算出每个角度的预期计数。

例题固定质心能量 $1.2\,\mathrm{MeV}$，有效曝光量 $\mathcal E=1.5\,\mathrm{sr}\,\mathrm{fm}^{-2}$。在二十、三十、四十、五十、六十度处，保存的合成计数依次是 $101,83,68,70,42$。它们由上一章的势阱产生，伪随机种子为三七零七。生成后的计数保持不动，每个候选都解释同一份记录。

预期计数可以是小数，单次观测只能是整数。比如二十度的预期约为九十点六，保存值为一百零一；这种偏离就是计数涨落。记录还包含五个较大角度，起初把它们留作模型检验。

$$
\lambda_i(V,W,R)=\mathcal E\left|f(\theta_i;V,W,R)\right|^2,\qquad n_i\sim\operatorname{Poisson}(\lambda_i)
$$

预期计数由同一个散射模型给出。曝光量的单位与微分截面互相抵消，最终计数无量纲。

来源：A. M. Moro

## 把曲线像不像变成可计算的问题

泊松分布给出取得整数计数 $n_i$ 的概率。假设各角度独立，把这些概率相乘就是似然。不同核势改变预期值，也改变这份记录出现的概率。拟合就是寻找似然较大的参数。

直接比较很小的概率不方便，可以取对数，再与“每个预期都恰好等于所见计数”的最大值比较。两倍对数差叫泊松偏差。它越小，所选模型越贴近同一组计数。这个统计量在零计数处也有定义。

误差棒用于快速看图。例题画出的误差棒取计数加一的平方根后除以曝光量，只是一个可见的涨落尺度；在小计数处，它不等于精确的泊松置信区间。拟合直接使用整数计数的泊松概率。

$$
\mathcal L=\prod_i\frac{e^{-\lambda_i}\lambda_i^{n_i}}{n_i!},\qquad D=2\sum_i\left[\lambda_i-n_i+n_i\ln\frac{n_i}{\lambda_i}\right]
$$

对数使独立角度的贡献相加。当观测计数为零时，约定对数那一项取零。

$$
n_i=0\quad\Longrightarrow\quad D_i=2\lambda_i
$$

一个角度没看到事件，也能排斥在那里预言大量事件的模型。

## 完整例题：三口势阱的前向图样

固定入射能量，搜索势深度、吸收深度和半径。一个局部拟合给出 $(V,W,R)=(36.55,5.00,5.165)$，前两项以兆电子伏计，最后一项以飞米计。五角度偏差为二点七九八。另一口很浅的势阱 $(10.75,1.10,5.420)$，偏差为二点八零四；一口很深的势阱 $(77.35,8.00,5.180)$，偏差也只有二点八二六。

这三组参数差别很大，拟合好坏却几乎相同。前向振幅里混合了多个分波的相位与大小，改变深度以后，可以借助半径和吸收补偿。有限角度的模平方又丢失了一部分相位信息，反推内部势便容易留下多种解释。

这里展示的是网格搜索加局部细化找到的几个解。候选之间相差多少，能说明多解有多严重；要给参数报一个标准差，还需要研究整个似然形状、实验涨落与模型误差。把候选范围直接写成置信区间会混淆这些问题。

来源：David Tong

## 把探测器转到候选分开的地方

原来留出的角度为 $80^\circ,100^\circ,120^\circ,140^\circ,160^\circ$，计数依次是 $26,5,3,0,0$。把这些点加入同一个偏差统计量，上面三口势阱的偏差分别升到约三十四、九十六与四十。浅势候选在前向表现很好，却在新角度付出了很大代价。

再用全部十个角度重新拟合，找到 $V=43.65\,\mathrm{MeV},\ W=3.30\,\mathrm{MeV},\ R=4.350\,\mathrm{fm}$，偏差约为八点零。这个解更接近生成记录的势阱，计数涨落仍会把最优参数推离生成值。扩大角度并未证明势阱唯一：另一些重新调整后的浅势解仍能给出较好的十角度拟合。

实验设计因此有一个具体目标：先列出尚能解释数据的候选，再寻找它们预言相差大、仪器又能可靠测量的位置。补测一个恰当角度，可能比在原来的角度上多积累很多相似事件更有用。增加入射能量也能提供独立信息，但本例把能量固定，以便只比较角度的作用。

## 沿着一个参数看剩下多少自由

若最关心势深度 $V$，可以每次固定它，再让半径和吸收自由寻找最佳值。这样得到一条深度剖面。半径与吸收在这个问题里叫干扰参数：它们必须参与拟合，却不是这次想单独报告的量。

例题在同一个有限网格上比较五角度与十角度的剖面，每条曲线都减去自己的最低值。谷底代表仍然合适的深度；多个谷底表示尚有不同解释。较宽的测量范围会改变谷底，但不会自动把似然变成单峰。

网格间距与局部极值会影响数值。尤其记录中有零计数，不能未经检验就把某个固定偏差阈值当作置信区间。若要报告区间，应细化优化，并按同样的采集过程重复生成记录，检查区间覆盖生成参数的频率。

$$
D_{\rm prof}(V)=\min_{W,R}D(V,W,R),\qquad\frac{\mathcal L_{\rm prof}(V)}{\mathcal L_{\max}}=e^{-[D_{\rm prof}(V)-D_{\min}]/2}
$$

剖面似然保留每个深度下最有利的其他参数。页面计算的是离散网格近似，谷底的高度与位置需随网格细化再检查。

## 把推理带进实验

### [先作预言，再拆开一组拟合](https://sandboxphysics.com/zh/labs/nuclear-optical-potential/)

1. 比较“前向图样几乎相同”“浅势也能拟合”“深势也能拟合”。记下五角度偏差，先预测后向哪里会分开。
2. 拖动探测器到后向，勾选全部十个角度。先观察原候选的偏差变化，再选择“用后向角度分辨”重新拟合。
3. 展开势深度剖面，找出五角度和十角度曲线的多个谷底。导出记录，确认原始计数、生成参数、候选与剖面各自保存。

## 练习与解释性答案

1. 一个角度的观测计数为零。两个模型分别预言 $\lambda=0.5$ 与 $\lambda=8$，各贡献多少泊松偏差？

   展开解释

   分别贡献一与十六。零计数同样带有信息，它对“这里本来应当有很多事件”的模型更不利。

2. 扩大测量角度后，旧的浅势候选被排斥了。能据此宣布所有浅势都被排斥吗？

   展开解释

   不能。旧候选只是一组具体的深度、半径与吸收。固定在浅势范围后，还要重新优化其他参数，查看剖面或再次搜索。例题里确实存在另一个较浅的十角度局部拟合。

[上一章：中子遇到核势以后，波去了哪里](https://sandboxphysics.com/zh/stories/nuclear-bridge/complex-potential-scattering/) [下一章：找出真正烧掉氘的那些碰撞](https://sandboxphysics.com/zh/stories/nuclear-bridge/thermal-rates/)

## 来源与复算范围

评估能级与已发表反应测量保留来源版本和不确定度。模型曲线、示意图与合成散射记录分别注明。离线基准文件逐项列出实际复算的范围。

1. [A. M. Moro, FRESCO notes, section 3.1, Optical Model](https://fresco.org.uk/moro/frnotes/node4.html)

   公式 1–8：弹性通道波、分波截面与复势吸收。本站方阱实现固定中性入射粒子和质心能量。

2. [David Tong, Applications of Quantum Mechanics, scattering theory](https://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/aqm/aqmten.pdf)

   分波振幅、光学定理、相移与匹配。中子散射例题固定质心能量，采用无自旋中心势。