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title: "有限深的核势怎样留下离散能级"
description: "从径向边界条件求束缚阈值，推导自旋轨道分裂与简并数，建立壳模型的第一层图像。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/nuclear-bridge/finite-wells-and-spin-orbit/"
language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/nuclear-bridge/finite-wells-and-spin-orbit/"
last_modified: "2026-10-27"
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[核物理](https://sandboxphysics.com/zh/stories/nuclear-bridge/)

L2 · 第 2 章

# 有限深的核势怎样留下离散能级

Sandbox Physics · 2026-10-27

中子被核束缚时，它的波在核内振荡，在核外衰减。能量只有取某些值，内外两段才能平滑接上。壳层的离散结构就从这个接缝出现；再让自旋与轨道角动量相互作用，原来的能级会分开。

## 开始前需要什么

第一章的结合能与分离能。知道波有波长，能接受导数表示斜率；本章解释径向波、离心势垒和角动量相加。

[回看先修概念](https://sandboxphysics.com/zh/stories/nuclear-bridge/binding-and-scales/)

- 用边界条件推导最低球形束缚态出现的阈值。
- 算出自旋轨道伙伴的能量差，并检查总态数保持不变。

## 先定义中子在哪里运动

把核芯中心作为原点，$r$ 是中子与核芯的距离，向外为正。势能在核外取零，半径 $R$ 内取常数 $-V_0$，其中 $V_0>0$。这是一口有限深球形势阱。暂时把核芯看成不变的球，忽略自旋、吸收和核芯激发。

两个物体都能运动时，径向运动用约化质量 $\mu=m_nM_c/(m_n+M_c)$。把波函数分成角向与径向两部分，再定义 $u(r)=r\mathcal R(r)$，三维方程就变成下面的一维径向方程。角动量量子数 $\ell$ 决定离心项；它在靠近原点时升高，抑制高角动量波进入核内。

$$
-C\frac{d^2u}{dr^2}+\left[V(r)+\frac{C\ell(\ell+1)}{r^2}\right]u=Eu,\qquad C=\frac{\hbar^2}{2\mu}
$$

距离用 $\mathrm{fm}$、能量用 $\mathrm{MeV}$ 时，$C$ 的单位为 $\mathrm{MeV\,fm^2}$。原点要求 $u(0)=0$，束缚态在无穷远衰减。

来源：David Tong

## 接上波函数，也接上斜率

先算 $\ell=0$。把束缚态能量写成 $E=-S$，其中 $S>0$。核内波形是正弦，核外是指数衰减；原点正则性排除了余弦，远处可归一化排除了指数增长。

势能在边界有限跳变，波函数及其一阶导数仍须连续。把导数除以函数本身，未知振幅便消掉，留下 $k\cot(kR)=-\kappa$。求能量的任务变成：找出满足这个方程的 $S$。

最低束缚态刚出现时，$S$ 从正侧趋近零，外部衰减常数也趋近零。第一支正弦解于是满足 $kR\to\pi/2$。临界深度以下，吸引势虽然存在，却还留不住一个正规束缚态。

$$
u_{\rm in}=A\sin(kr),\quad u_{\rm out}=Be^{-\kappa r},\quad k^2=\frac{V_0-S}{C},\quad\kappa^2=\frac{S}{C}
$$

内外使用同一个能量。正弦曲率由阱深减去束缚能决定，外部曲率由束缚能决定。

$$
k\cot(kR)=-\kappa,\qquad V_{0,\mathrm{crit}}=\frac{C\pi^2}{4R^2}
$$

临界公式仅指最低的零角动量球形束缚态。高角动量需要另外处理离心项。

来源：David Tong

## 完整例题：把半径放大一倍

设核芯无限重，取 $C=20.72125\,\mathrm{MeV\,fm^2}$，这是中子运动的舍入示例。半径 $R=3\,\mathrm{fm}$ 时，临界阱深约 $5.68\,\mathrm{MeV}$。若把半径改成 $6\,\mathrm{fm}$，临界值降为约 $1.42\,\mathrm{MeV}$。

这个四倍差别来自波的弯曲代价。大范围内，同一最低驻波可以弯得更缓，动能更小，较浅的阱也能束缚。这里的数字来自边界条件，并没有把半径与阱深调到某个真实核素的谱。

对于真实核，中子还会激发核芯，也受到其他核子的剩余相互作用。球形平均场给出一组基底；实验激发能还包含关联与集体运动的影响，后面两章会分别讨论。

## 自旋为什么把一个轨道分成两个

中子有自旋 $s=1/2$。轨道角动量和自旋相加，总角动量可取 $j=\ell+1/2$ 或 $j=\ell-1/2$，后者要求 $\ell\ge1$。用 $\mathbf j^2=(\mathbf\ell+\mathbf s)^2$ 展开，就能算出两支的点积。这里角动量算符都按 $\hbar$ 为单位。

若示意相互作用为 $H_{\rm so}=-\xi\,\mathbf\ell\cdot\mathbf s$，取正的能量参数 $\xi$，较大的 $j$ 会下降。每个总角动量有 $2j+1$ 个磁量子态：两支分别容纳 $2\ell+2$ 和 $2\ell$ 个同种核子。加起来仍是原来含自旋的总态数。

以 $\ell=2$、$\xi=2\,\mathrm{MeV}$ 为例，六个 $j=5/2$ 态各下降 $2\,\mathrm{MeV}$，四个 $j=3/2$ 态各上升 $3\,\mathrm{MeV}$，分裂为 $5\,\mathrm{MeV}$。按态数加权的平均位移是零，这是很有用的数值自检。

$$
\langle\mathbf\ell\cdot\mathbf s\rangle=\frac{j(j+1)-\ell(\ell+1)-3/4}{2}=\begin{cases}\ell/2&j=\ell+1/2,\\-(\ell+1)/2&j=\ell-1/2,\end{cases}
$$

两支来自同一个角动量相加规则。零轨道角动量只有一支，自旋轨道位移为零。

$$
E_{\ell-1/2}-E_{\ell+1/2}=\frac{\xi(2\ell+1)}2
$$

这个常系数模型隔离了角动量结构。真实平均场的自旋轨道项还依赖径向分布。

d 轨道负自旋轨道作用示意。总态数与按简并数加权的平均能量保持不变。

来源：M. Goeppert Mayer

## 把推理带进实验

### [把能级分裂与真实氧谱比较](https://sandboxphysics.com/zh/labs/nuclear-spectroscopy/)

1. 先按角动量规则预测两支的容纳数。
2. 选择“氧核外的一个中子”，改变自旋轨道强度，观察两个伙伴的相对位移。
3. 把模型值与氧 17 的评估值和残差分开看。解释为什么调准两个伙伴，仍不保证另一个轨道正确。

## 练习与解释性答案

1. 当 $\ell=1$ 时，两支的 $j$、容纳数与能差各是多少？

   展开解释

   两支为 $j=3/2$ 和 $j=1/2$，分别有四个和两个磁量子态；大 $j$ 支较低，能差为 $3\xi/2$。总共六个态，等于三个轨道方向各有两种自旋。

2. 有限方阱的最低束缚态能量能直接当作真实核的精确分离能吗？

   展开解释

   只有在该核可由固定核芯加一个中子近似、阱参数已由适当资料确定时，才可作有限精度的比较。核芯极化、配对和连续态耦合会改变能量。方阱首先提供边界条件与阈值的清楚例子。

[上一章：称一称原子核，怎样知道它绑得多紧](https://sandboxphysics.com/zh/stories/nuclear-bridge/binding-and-scales/) [下一章：从一个中子的能级读懂核谱](https://sandboxphysics.com/zh/stories/nuclear-bridge/spectra-and-selection/)

## 来源与复算范围

评估能级与已发表反应测量保留来源版本和不确定度。模型曲线、示意图与合成散射记录分别注明。离线基准文件逐项列出实际复算的范围。

1. [David Tong, Quantum Mechanics, Chapter 4, spherical finite potential well](https://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/qm/qmhtml/S4.html)

   径向方程、原点正则条件与有限球形势阱。阈值和尾部曲线是课程在无限重核芯例题中自行推导和计算的结果。

2. [M. Goeppert Mayer, On Closed Shells in Nuclei. II, Physical Review 75, 1969 (1949)](https://doi.org/10.1103/PhysRev.75.1969)

   壳闭合的自旋轨道解释。课程推导角动量本征值；谐振子参数仅供示意，不作为完整实验壳谱。