---
title: "称一称原子核，怎样知道它绑得多紧"
description: "从质量差算结合能，再用分离能区分整个核的稳定与最后一个中子的束缚。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/nuclear-bridge/binding-and-scales/"
language: "zh-CN"
page_type: "story"
alternate_languages:
  en: "https://sandboxphysics.com/stories/nuclear-bridge/binding-and-scales/"
last_modified: "2026-10-27"
---

[核物理](https://sandboxphysics.com/zh/stories/nuclear-bridge/)

L1 · 第 1 章

# 称一称原子核，怎样知道它绑得多紧

Sandbox Physics · 2026-10-27

把质子和中子组成原子核，得到的质量通常比把它们分开放着小。少掉的静质量对应结合时释放的能量。称核的质量，因此能回答一个看不见核内部也能问的问题：把它拆开，要花多少能量？

## 开始前需要什么

质量守恒的日常经验、能量和乘法。这里介绍质量与静能的关系；先不需要量子力学。

- 从质量过剩表算出氘的结合能。
- 解释平均结合能与最后一个中子的分离能为什么回答不同的问题。

## 质量差就是拆开的代价

用 $Z$ 表示质子数，$N$ 表示中子数，总核子数为 $A=N+Z$。先设想把这些自由核子都放在无限远处，彼此不相互作用。它们的总静能高于核基态，差值就是结合能 $B$。约定束缚核的结合能取正值。

质量单位可以用千克，核物理更常用统一原子质量单位 $\mathrm{u}$；能量常用电子伏特及其百万倍 $\mathrm{MeV}$。$1\,\mathrm{u}\,c^2\simeq 931.494\,\mathrm{MeV}$。这里的 $c$ 是光速，这个换算把秤上的差值换成能量。

原子质量表包含电子。若用氢原子的质量代替质子质量，并在另一边用同样多电子的中性原子，电子静质量会抵消。本章计算氘的结合能，氢与氘电子结合能的同位素差别很小，可以忽略。较重核的电子结合能修正可能达到千电子伏特乃至更大，必须按所需精度处理。

$$
B=\left[Zm_p+Nm_n-M_{\mathrm{nuc}}(Z,N)\right]c^2
$$

自由核子静能减去核的基态静能。所有质量必须采用同一约定。

来源：Wang et al.

## 完整例题：表里只差两千多

AME2020 质量表把质量写成“整数质量数加上一个小差值”。这个差值乘光速平方，叫质量过剩 $\Delta$，单位是 $\mathrm{keV}$。它可以是正数；这和核是否束缚是两回事，因为参照物是统一质量单位，不是自由核子。

冻结表中，中子的质量过剩为 $8071.31806\,\mathrm{keV}$，氢为 $7288.971064\,\mathrm{keV}$，氘为 $13135.722895\,\mathrm{keV}$。把一个氢原子和一个中子合起来，质量数恰好等于氘的质量数，整数部分抵消，只需相加再相减。

结果约为 $2224.566\,\mathrm{keV}=2.224566\,\mathrm{MeV}$。这是把氘拆成质子和中子的能量。反过来俘获时，这份能量由辐射和反冲带走。表中给出的结合能每核子约为 $1112.2831\,\mathrm{keV}$，乘二与前面的计算在舍入精度内相符。

$$
B_d\simeq\Delta({}^{1}\mathrm H)+\Delta(n)-\Delta({}^{2}\mathrm H)=2224.566229\,\mathrm{keV}
$$

最后几位只用于复算表中数字，展示答案按输入精度舍入。该式忽略氢与氘电子结合能的同位素差别。

来源：Wang et al.

## 最后一个中子可能已经绑得很松

把总结合能除以核子数，得到平均结合能。它适合比较不同大小的核，却会把最后一个中子的处境平均掉。要问“再拿走一个中子难不难”，应比较相邻同位素：质子数不变，中子数少一个。所需能量叫单中子分离能 $S_n$。

举一个自行设定的例子：某核结合能 $160\,\mathrm{MeV}$，少一个中子的邻核为 $159.5\,\mathrm{MeV}$。最后一个中子只绑住 $0.5\,\mathrm{MeV}$。即便总结合能很大，它仍可能拥有很长的波函数尾部。第八章会把这句话算成一个长度。

相邻核的分离能常呈奇偶交替，因为核子之间会形成配对相关。比较相差两个中子的结合能可以减弱这种交替，突出随中子数缓慢变化的趋势。壳闭合附近的突然变化，则提示后加的中子要进入更高的轨道。

$$
S_n(Z,N)=B(Z,N)-B(Z,N-1),\qquad S_{2n}(Z,N)=B(Z,N)-B(Z,N-2)
$$

正的分离能表示移走相应中子需要能量；判断多粒子衰变还需检查其他开放通道。

来源：Wang et al.

## 一张质量表还不能画出核内部

同一个总结合能，可能来自不同的内部组织。核子可以主要在平均势里逐个运动，也能形成配对、振动和转动。质量约束的是能量，电磁跃迁与散射会补上波函数和空间分布的信息。下一章先建立最简单的图像：让一个中子在有限深的球形势阱里运动。

读数据时先认清三个标签：核素、能量零点、误差。评估表把许多测量整理成推荐值；有些质量来自外推，AME 用井号标出。把一个外推值当成独立实测点，会让壳结构看上去比证据更确定。

来源：NNDC

## 换一种探针，会读到另一种结构

质量给出能量差，电子散射则能读出电磁响应。现有的形状因子实验以一个质子为靶：改变电子的能量与探测角，在固定动量转移下分别确定电性和磁性响应。这里研究的是质子本身的响应，不能把图直接当成整个原子核的三维密度。

中子壳填充实验又是另一个尺度。它在球形平均势中填入中子，并由同一组波函数算出密度。到第五章，我们让中子从外面入射钙核，研究弹性通道中的核相互作用。先认清探针、靶和观测量，才知道每幅图到底在回答哪个问题。

来源：M. N. Rosenbluth

## 把推理带进实验

### [从一个壳层填满的位置开始](https://sandboxphysics.com/zh/labs/nuclear-shell-filling/)

1. 先预测：一个轨道能容纳多少中子，和它的角动量有什么关系？
2. 改变中子数，找出填满后下一个中子进入哪个轨道。
3. 把看到的壳隙与分离能可能出现的跳变联系起来。这里只比较平均场的组织方式。

### [分开质子的两种电磁响应](https://sandboxphysics.com/zh/labs/nuclear-form-factor/)

1. 先预测：保持动量转移不变，还能怎样改变探测角？
2. 在现有实验中采集固定动量转移扫描，比较电性与磁性响应。
3. 解释这里的质子靶，和中子壳填充实验里的原子核有什么不同。

## 练习与解释性答案

1. 某核结合能为 $180\,\mathrm{MeV}$，少一个中子的邻核为 $178\,\mathrm{MeV}$，少两个中子的邻核为 $174\,\mathrm{MeV}$。两个分离能各是多少？

   展开解释

   单中子分离能为 $2\,\mathrm{MeV}$，双中子分离能为 $6\,\mathrm{MeV}$。后一过程同时改变了两个核子，不能把当前的单中子分离能简单乘二。

2. 若某核平均结合能很大，是否能据此判断它的最后一个中子一定绑得很紧？

   展开解释

   不能。平均结合能把整个核的束缚平均到每个核子；最后一个中子的分离能由相邻同位素的总能量差决定。要回答后一个问题，必须再知道邻核的质量。

[下一章：有限深的核势怎样留下离散能级](https://sandboxphysics.com/zh/stories/nuclear-bridge/finite-wells-and-spin-orbit/)

## 来源与复算范围

评估能级与已发表反应测量保留来源版本和不确定度。模型曲线、示意图与合成散射记录分别注明。离线基准文件逐项列出实际复算的范围。

1. [M. N. Rosenbluth, High Energy Elastic Scattering of Electrons on Protons, Physical Review 79, 615 (1950)](https://doi.org/10.1103/PhysRev.79.615)

   现有质子形状因子实验采用单光子 Born 运动学与固定动量转移的 Rosenbluth 分离。来源文档和数值模型仍归 Issue 22 原任务。

2. [Wang et al., The AME2020 atomic mass evaluation (II), Chinese Physics C 45, 030003 (2021)](https://www-nds.iaea.org/amdc/ame2020/mass_1.mas20.txt)

   2021 年 3 月 3 日质量表的格式说明及中子、氢、氘三行。质量过剩与平均结合能单位均为 keV，井号表示外推值。课程冻结三行数值及原始不确定度。

3. [NNDC, NuDat 3 user guide and terms of use](https://www.nndc.bnl.gov/nudat3/guide/)

   数据库内容、单位、使用条款与版本更新。NuDat 给出评估推荐值，所报误差不包含教学模型的失配。