--- title: "Tomlinson 模型如何解释黏滑" description: "用弹簧牵着一个质点划过余弦能量曲线，推出黏滑参数、能量谷消失的折点和折点处的力，并与 Sang 等人的 NaCl 拟合对照。" canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/nanofriction/stick-slip-and-the-tomlinson-model/" language: "zh-CN" page_type: "story" alternate_languages: en: "https://sandboxphysics.com/stories/nanofriction/stick-slip-and-the-tomlinson-model/" last_modified: "2026-10-30" --- [纳米摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/stories/nanofriction/) L2 · 第 2 章 # Tomlinson 模型如何解释黏滑 Sandbox Physics · 2026-10-30 上一章估计出，弹簧要伸长将近两个晶格周期，才能与表面的最大拉力抗衡。本章把这个估计变成一个只有一个变量的模型：针尖是一个质点，表面是一条余弦能量曲线，弹簧把针尖连到匀速移动的扫描器上。这个模型由 Prandtl 和 Tomlinson 在 1920 年代提出，至今仍是理解原子摩擦的出发点。 ## 开始前需要什么 第一章的三个尺度；带弹簧和阻尼力的牛顿第二定律；函数极值的一阶、二阶导数条件。 - 写出 Prandtl–Tomlinson 模型的能量和运动方程，说出仪器测的是哪个力。 - 由总能量的曲率推出黏滑参数，并说明为什么它小于 1 时没有黏滑。 - 求出折点的位置和折点处的力，并用它们解释锯齿线的形状。 ## 弹簧牵着的一个质点 Vanossi 等人这样描述 Prandtl–Tomlinson 模型：一个质量为 $m$ 的点状针尖在一维正弦势上被拖动，势代表针尖与晶体基底的相互作用；一根刚度为 $k$ 的弹簧把针尖连到以速度 $v$ 匀速移动的支架上。 总能量是两部分之和：基底的周期势，加上弹簧的弹性能。我们把余弦写成 $-U_0\cos(2\pi x/a)$，这样能量谷正好在格点 $x=na$ 上，与 Sang 等人的式 (3) 一致；Vanossi 等人的式 (1) 用 $+U_0$，只是坐标原点移了半个周期。 模型不描述能量怎样真正传进基底，所有耗散都用一个黏性力 $-m\gamma\dot x$ 代替。仪器读到的是弹簧力 $F=k(X-x)$，动摩擦力是它的时间平均。 $$ U(x,X)=-U_0\cos\frac{2\pi x}{a}+\frac{k}{2}(x-X)^{2},\qquad X=vt,\qquad m\ddot x+m\gamma\dot x=-\frac{\partial U}{\partial x} $$ 支架位置 $X$ 按 $vt$ 匀速前进；$\gamma$ 是阻尼率。本章先令温度为零，第四章再加上热噪声。 Prandtl–Tomlinson 图像。位置为 $x$ 的针尖处在周期为 $a$、幅度为 $U_0$ 的余弦能量曲线上；刚度为 $k$ 的弹簧把它连到位于 $X=vt$ 的扫描器。仪器读到的力是 $F=k(X-x)$。原创示意图，未按比例。 来源：A. Vanossi · Y. Sang ## 黏滑参数：一个谷还是几个谷 针尖停在总能量的极小值处。极小值是否只有一个，要看曲率。基底势的曲率在 $\pm4\pi^2U_0/a^2$ 之间变化，弹簧的曲率恒为 $k$。两者之比就是黏滑参数 $\eta$。 如果 $\eta<1$，总曲率处处为正，对任何支架位置都只有一个极小值。针尖连续地跟着支架走，没有跳跃；速度趋于零时摩擦也趋于零。Vanossi 等人指出，实验上在低载荷下确实观察到了这种摩擦极低的平滑滑动。 如果 $\eta>1$，在一段位置上总曲率为负，能量曲线会同时出现两个或更多的谷。针尖停在一个谷里，直到这个谷消失，然后跳到下一个谷：这就是黏滑。$\eta=1$ 是从平滑滑动到每次滑一个格点的分界。 $$ \frac{\partial^{2}U}{\partial x^{2}}=k\left[1+\eta\cos\frac{2\pi x}{a}\right],\qquad \eta=\frac{4\pi^{2}U_0}{k a^{2}} $$ 方括号里的项在 $1-\eta$ 和 $1+\eta$ 之间变化。Sang 等人用的量 $\Omega_k^2$ 正好等于 $1/\eta$。 来源：A. Vanossi · Y. Sang ## 折点：能量谷在哪里消失 支架前进时，针尖所在的谷越来越浅、越来越斜。谷消失的那一刻，极小值和它前方的极大值合并，一阶导数和二阶导数同时为零。Vanossi 等人把这称为折点灾变；Sang 等人的式 (4) 给出同样的条件。 由二阶导数为零得到折点处的针尖位置 $x_c$；把它代入一阶导数为零，得到弹簧此时的力 $F_c$，以及支架位置 $X_c$。$\eta\gg1$ 时 $x_c\to a/4$，$F_c$ 趋于第一章的上限 $2\pi U_0/a$。 针尖粘住时，它在谷底附近随支架缓慢移动。弹簧与谷底的曲率 $k_s$ 串联，所以力–位移曲线的斜率比 $k$ 小。Sang 等人正是用这个斜率 0.86 N/m 作为实验输入。 $$ \cos\frac{2\pi x_c}{a}=-\frac{1}{\eta},\qquad F_c=\frac{2\pi U_0}{a}\sqrt{1-\eta^{-2}},\qquad X_c=x_c+\frac{F_c}{k} $$ 折点处的针尖位置、弹簧力和支架位置，均从起始谷的中心量起。 $$ \frac{dF}{dX}=\frac{k\,k_s}{k+k_s}=\frac{k\,\eta}{1+\eta},\qquad k_s=\frac{4\pi^{2}U_0}{a^{2}} $$ 粘住阶段力随支架位置上升的斜率：两个弹簧串联。 来源：A. Vanossi · Y. Sang ## 完整例题：Sang 等人的针尖在哪里滑移 题目。$U_0=0.27\,\mathrm{eV}$，$a=0.4\,\mathrm{nm}$，$k=0.93\,\mathrm{N\,m^{-1}}$，零温。求 $\eta$、折点处的针尖位置、弹簧力、支架位置，以及粘住阶段的斜率。 计算。$\eta=4\pi^2\times4.33\times10^{-20}/(0.93\times1.6\times10^{-19})=11.48$。$\cos(2\pi x_c/a)=-0.0871$，$x_c=0.264\,a=0.106\,\mathrm{nm}$。$F_c=0.680\times\sqrt{1-0.0076}=0.677\,\mathrm{nN}$。$X_c=0.106+0.677/0.93=0.833\,\mathrm{nm}=2.08\,a$。粘住斜率 $0.93\times11.48/12.48=0.855\,\mathrm{N\,m^{-1}}$。 对照。Sang 等人从实验读出的斜率是 0.86 N/m，与 0.855 一致到两位有效数字；他们的脚注 21 也说明，用 $U_0=0.27\,\mathrm{eV}$ 时这个斜率对应 $k=0.93\,\mathrm{N\,m^{-1}}$。 检验。课程的零温模拟以 10 nm/s 拖动针尖，针尖越过两谷之间的中点时，支架在 $X=2.086\,a$，只比折点晚 0.0026 个周期。速度增到 100 nm/s 和 1000 nm/s，延迟变成 0.0125 和 0.059 个周期：针尖需要时间离开正在消失的谷，速度每增大十倍，延迟约增大 4.8 倍。这是我们模拟的观察结果，不是论文中的结论。 解释。从静止开始，支架要走 2.08 个周期才第一次滑移；此后每次滑移都在支架相对新谷走到同样位置时发生，所以锯齿的周期正好是 $a$。 来源：Y. Sang · A. Vanossi ## 到实验里试一试 ### [平滑滑动与黏滑的分界](https://sandboxphysics.com/zh/labs/afm-stick-slip-friction/) 1. 先预测：把起伏幅度降到 0.02 eV，$\eta$ 是多少？锯齿线还在吗？ 2. 选“平滑滑动”预设，读出 $\eta$ 和平均摩擦，看“针尖此刻感受到的能量”图里有几个谷。 3. 慢慢把起伏滑块往上拖，找出锯齿刚出现时 $\eta$ 的读数，并用总曲率能否变负来解释。 ### [亲手把针尖拉到折点](https://sandboxphysics.com/zh/labs/afm-stick-slip-friction/) 1. 先预测：拖着扫描器缓慢前进时，能量图里针尖所在的谷会怎样变化？ 2. 选“低温针尖在折点滑移”，在场景里抓住扫描器慢慢向前拖（也可以按方向键），盯住能量图里“前方势垒”的数值。 3. 记下势垒降到接近零时的读数，解释滑移为什么要等到谷消失的那一刻。 ## 练习与解答 1. 把弹簧换成 $k=3\,\mathrm{N\,m^{-1}}$，其他参数不变。$\eta$ 和折点力是多少？弹簧多硬时黏滑会消失？ 展开解答 $\eta=11.48\times0.93/3=3.56$，仍有黏滑。$F_c=0.680\times\sqrt{1-1/3.56^2}=0.652\,\mathrm{nN}$。当 $k=4\pi^2U_0/a^2=10.7\,\mathrm{N\,m^{-1}}$ 时 $\eta=1$，再硬就不再黏滑。 2. “平滑滑动”预设把起伏降到 0.02 eV。黏滑参数是多少？速度趋于零时摩擦会怎样？ 展开解答 $\eta=11.48\times0.02/0.27=0.85<1$。总曲率处处为正，针尖始终只有一个平衡位置，跟着支架连续移动。剩下的只有黏性阻力 $m\gamma v$，速度趋于零时摩擦也趋于零。 3. 为什么针尖粘住时测到的力–位移斜率总比悬臂弹簧常数小？比值由什么决定？ 展开解答 粘住时支架每前进一点，针尖也在谷底附近前进一点，两个“弹簧”串联：悬臂弹簧 $k$ 和谷底曲率 $k_s$。斜率与 $k$ 之比为 $\eta/(1+\eta)$；Sang 等人的参数下是 0.92。 [上一章：单个原子接触点上的摩擦有多大](https://sandboxphysics.com/zh/stories/nanofriction/friction-at-a-single-contact/) [下一章：摩擦等于每次滑移损失的能量](https://sandboxphysics.com/zh/stories/nanofriction/where-the-work-goes/) ## 来源与复算范围 1. [A. Vanossi, N. Manini, M. Urbakh, S. Zapperi and E. Tosatti, Colloquium: Modeling friction: from nanoscale to mesoscale, arXiv:1112.3234v4; Reviews of Modern Physics 85, 529 (2013)](https://arxiv.org/abs/1112.3234v4) 2013 年 4 月 3 日 v4。第 I 节：Coulomb–Amontons 摩擦定律。第 II.A 节：Prandtl–Tomlinson 模型（式 1）、黏滑参数、滑移开始的折点、在折点附近按二分之三次方缩小的势垒、该参数大于 4.604 时的多重滑移，以及低速摩擦等于能量落差的规则。第 II.C 节：带噪声的 Langevin 方程（式 2、3）、拉动速率与跳跃速率之比、热润滑（式 4）、对数规律（式 5），以及与低温实验的分歧。第 II.D 节：Frenkel–Kontorova 链（式 6）与 Aubry 转变。第 II.E 节：超润滑、对这个名称的批评、文中转述的石墨薄片实验（多数取向低于 50 pN，接近相称取向时约 250 pN，以及薄片转回相称取向），图 4 与图 5，以及“摩擦峰的角宽度约为薄片直径的倒数”这条规则。第 III.A 节：热浴，以及没有公认取法的阻尼率。第 III.B 节：模拟能达到的时间与尺寸，以及实验与模拟中黏滑消失速度之间最多六个数量级的差距；文中印出的“每个模拟日约 1 微秒”比它自己的算式小约 9 倍。第 VI 节：结论。我们用自己的模型复算了黏滑参数、折点力和角宽度，没有数字化任何图。 2. [Y. Sang, M. Dubé and M. Grant, Thermal effects on atomic friction, arXiv:cond-mat/0109168v1; Physical Review Letters 87, 174301 (2001)](https://arxiv.org/abs/cond-mat/0109168v1) 2001 年 9 月 10 日 v1。式 (1)：斜坡蠕变：摩擦的下降量正比于温度的三分之二次方乘“速度与温度之比的对数”的三分之二次方。式 (2)、(3)：Langevin 方程，以及极小值落在晶格格点上的余弦针尖势。式 (4)：折点位置。拟合 Gnecco 等人 NaCl 数据得到的参数：晶格周期 0.4 nm，等效刚度 0.86 N/m，起伏 0.27 eV，阻尼率 8.9 乘 10 的 5 次方每秒，针尖质量 8.7 乘 10 的负 12 次方 kg；脚注 21 给出弹簧常数 0.93 N/m。正文把弹簧共振频率印成 52 MHz；用这里的质量和弹簧常数算是 52.0 kHz，所以我们把 MHz 看作笔误。式 (5)：Kramers 速率。式 (6)、(7)：折点附近的曲率与势垒。式 (8)：滑移位置分布。式 (9)：标度速度。式 (10) 至 (12)：平均摩擦的闭合式及其常数，文中给出理论值 0.55 nN，模拟与实验拟合为 0.54 nN，不确定度 0.01 nN。我们用自己的模型复算了标度速度、这些常数和平均摩擦，没有数字化图 1 至图 3。