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title: "采样、卷绕与分辨率：少采一行会怎样"
description: "k 空间步长决定视野，最大空间频率决定像素。推出隔行采样为什么让头像折成两半，只采中心为什么变模糊，以及少采行时噪声怎样变化。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/mri-spatial-encoding/sampling-aliasing-and-resolution/"
last_modified: "2026-10-29"
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[磁共振空间编码](https://sandboxphysics.com/zh/stories/mri-spatial-encoding/)

L3 · 第 5 章

# 采样、卷绕与分辨率：少采一行会怎样

Sandbox Physics · 2026-10-29

第四章说扫描时间几乎全由相位编码行数决定。想省时间，最直接的办法是少采几行。但 k 空间里每个样本的位置都有用：相邻样本的间距决定视野，最外面的样本决定像素。本章推导两种最简单的少采方式会怎样改变图像：隔行采样让图像缩成半个视野、两份副本叠在一起；只采中心让图像变模糊。最后看噪声，说明“少采”在信噪比上要付什么代价。

## 开始前需要什么

需要第四章的 k 空间、相位编码和扫描时间，以及离散傅里叶变换的基本性质：采样间隔与周期互为倒数。

- 由 k 空间步长和最大空间频率推出视野和像素宽度，预测视野太小时卷绕的位置和宽度。
- 推导隔行采样后的图像是两个错开半个视野、各半强度的副本之和。
- 说明只采中心行时分辨率怎样下降，并算出少采行后每个像素的噪声。

## 步长决定视野，范围决定像素

离散的 k 空间样本相隔 $\Delta k$。对应的图像在空间上以 $1/\Delta k$ 为周期重复，所以视野 $\mathrm{FOV}=1/\Delta k$。视野外的水不会消失，而是被折到视野另一侧。这和第三章读出方向的折叠是同一件事，只是发生在相位编码方向。

另一方面，最外一行的空间频率 $k_{\max}$ 决定能分辨的最细条纹。$N$ 行覆盖 $N\Delta k$ 的范围，像素宽度 $\Delta y=1/(N\Delta k)=\mathrm{FOV}/N$。MIT 讲义的完整重建用的是 $-128<k_x,k_y<128$ 的全部样本。

k 空间重建实验的“视野太小：卷绕”预设把视野从 256 mm 缩到 180 mm。头部体模高 230 mm，所以上下各有 25 mm 落在视野外，各自从对侧边缘折回来；体模宽 184 mm，左右两边也各折回 2 mm。

$$
\mathrm{FOV}=\frac{1}{\Delta k},\qquad \Delta y=\frac{1}{N\Delta k}=\frac{\mathrm{FOV}}{N}
$$

步长与视野互为倒数，采样范围与像素互为倒数。

$$
y_{\mathrm{image}}=y-\mathrm{FOV}\cdot\operatorname{round}\!\left(\frac{y}{\mathrm{FOV}}\right)
$$

位置在视野外的水出现在减去整数个视野后的位置。

每次激发记录 k 空间的一行：相位编码梯度选定 $k_y$，读出梯度扫过 $k_x$。实线是采集的行，虚线是跳过的行，对应隔行采样。行距 $\Delta k=1/\mathrm{FOV}$ 决定视野，范围 $N\Delta k$ 决定像素。原创示意图。

来源：MIT 6.3000 Signal Processing · M. Lustig

## 隔行采样：两个半强度的副本

MIT 讲义提了一个问题：如果只测偶数列，图像会变成什么样？把“只留偶数行、奇数行补零”写成乘上一个因子。第 $n$ 行乘 $\tfrac12(1+e^{i\pi n})$：偶数行得 1，奇数行得 0。

因子 $e^{i\pi n}=e^{i2\pi k_y(\mathrm{FOV}/2)}$ 正是平移定理里把物体挪动半个视野的相位。所以补零后的图像是原图与平移半个视野的副本的平均：每份副本只有一半强度，彼此错开半个视野。视野 256 mm 时副本错开 128 mm，头顶的一半叠在头底，头底的一半叠在头顶。

Lustig 等人把这种结果称为相干混叠：等间隔欠采样并补零，得到一组平移副本的叠加，原信号与副本同样可能，无法区分。基准程序在完整无噪的数据上验证了上面的恒等式，每个像素误差不超过 $9.7\times10^{-17}$。

$$
m_{R=2}(y)=\tfrac12\left[m(y)+m\!\left(y+\tfrac{\mathrm{FOV}}{2}\right)\right]
$$

每隔 $R$ 行采一行时，是 $R$ 份错开 $\mathrm{FOV}/R$ 的副本的平均。

来源：MIT 6.3000 Signal Processing · M. Lustig

## 只采中心：图像变模糊

另一种省时间的办法是只采中心那些行。行距不变，所以视野不变，不会折叠；但 $k_{\max}$ 缩小了，相位编码方向的像素变宽。只采中心 16 行（加速 4 倍）时，$y$ 方向的分辨率从 4 mm 变成 $256/16=16\,\mathrm{mm}$，而读出方向仍是 4 mm。

体模底部有三个直径 8 mm 的小圆点，圆心沿 $x$ 相距 16 mm。16 mm 的竖直分辨率比圆点直径大一倍，每个圆点被上下抹开，峰值变低。实验读数显示小圆点对比度只剩完整扫描的 48.2%，图像误差 31.6%。

Lustig 等人指出，图像的大部分能量集中在 k 空间原点附近，这正是只采中心时大尺度明暗还在的原因；丢掉的高频样本携带的是边缘和细节。

$$
\Delta y_{\mathrm{centre}}=\frac{1}{N_{\mathrm{lines}}\,\Delta k}=\frac{\mathrm{FOV}}{N_{\mathrm{lines}}}
$$

只采中心时，像素宽度由保留下来的行数决定。

来源：MIT 6.3000 Signal Processing · M. Lustig

## 少采行的噪声代价

下面是本课程自己的推导，用的是实验里的归一化：离散傅里叶变换取酉变换，即正反变换各除以 $\sqrt N$。酉变换保持总能量，所以每个 k 空间样本带有标准差为 $\sigma$ 的独立噪声时，完整扫描图像的每个像素也带标准差为 $\sigma$ 的噪声。

只采比例为 $f$ 的行并补零，噪声能量只剩 $f$ 倍，每个像素的噪声方差变成 $f\sigma^2$。信号怎样变化取决于采哪些行。隔行采样时每份副本只剩一半强度，噪声标准差只降到 $1/\sqrt2$，信噪比降为原来的 $1/\sqrt2$。只采中心时大块区域的亮度不变，噪声标准差减半（$f=1/4$），大块区域的信噪比反而翻倍，代价是像素变成四倍高。

基准程序用 8 个随机种子检验了 $f\sigma^2$ 这条预测：补零图像的实测噪声方差与预测之比是 1.0013。

$$
\operatorname{Var}\!\left[\tilde m(\mathbf r)\right]=f\,\sigma^2
$$

$\tilde m$ 是补零重建的图像。酉变换下，$f$ 是采集的行数占全部行数的比例。

来源：MIT 6.3000 Signal Processing · M. Lustig

## 完整例题：180 mm 的视野

题目：在 k 空间重建实验中把视野设为 180 mm，矩阵仍是 $64\times64$。求 k 空间步长、像素宽度，以及头顶那 25 mm 折到哪里。

步长 $\Delta k=1/0.18\,\mathrm m=5.56\,\mathrm{m^{-1}}$，像素 $180/64=2.81\,\mathrm{mm}$。像素比 256 mm 视野时更细，扫描时间却不变，仍是 64 行、2.13 分钟。

视野覆盖 $-90$ 到 $+90\,\mathrm{mm}$。头顶在 $+115\,\mathrm{mm}$，减去一个视野后出现在 $115-180=-65\,\mathrm{mm}$。所以头顶 90 到 115 mm 那一段叠在图像底部 $-90$ 到 $-65\,\mathrm{mm}$ 的位置，恰好盖住 $y=-85\,\mathrm{mm}$ 处的三个小圆点。要避免卷绕，视野至少要 230 mm，此时像素是 3.59 mm。

来源：MIT 6.3000 Signal Processing · M. Lustig

## 到实验里试一试

### [比较两种少采方式](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mri-k-space-reconstruction/)

1. 先选“隔行采样：头像折叠”。预测：图像里有两个错开 128 mm 的头，每个只有一半亮。对照图像检验，并记下误差 49.8% 和小圆点对比度 54.9%。
2. 再选“只采中心：一片模糊”。它比隔行采样少采一半的行，却没有折叠。看小圆点在竖直方向被抹开，读出对比度 48.2%。
3. 选“视野太小：卷绕”，找到从头顶折到底部的那段，确认它盖在小圆点上；再把视野滑块拉到 232 mm，卷绕应当消失。

## 练习与解答

1. 视野 256 mm，每 4 行采 1 行并补零，图像是什么样子？

   展开解答

   是 4 份错开 $256/4=64\,\mathrm{mm}$ 的副本的平均，每份只有四分之一强度。实验里把“每几行采一行”滑块拉到 4 就能看到。

2. 视野 256 mm，只采中心 32 行，相位编码方向的分辨率是多少？三个 8 mm 的小圆点会怎样？

   展开解答

   分辨率 $256/32=8\,\mathrm{mm}$，与圆点直径相当，圆点仍会被抹宽一些，但比只采 16 行时清楚得多。

3. 隔行采样省了一半时间。为了把信噪比补回完整扫描的水平，需要把这次扫描重复几次再平均？

   展开解答

   信噪比降为 $1/\sqrt2$，平均 $n$ 次提高 $\sqrt n$ 倍，所以要重复 2 次，总时间回到完整扫描。这还没有去掉折叠，折叠要靠第六章的方法。

[上一章：k 空间：一行一行测出图像的傅里叶变换](https://sandboxphysics.com/zh/stories/mri-spatial-encoding/k-space-and-fourier-imaging/) [下一章：欠采样重建：为什么随机跳行能补救，规则跳行不能](https://sandboxphysics.com/zh/stories/mri-spatial-encoding/undersampling-and-regularized-reconstruction/)

## 来源与复算范围

1. [MIT 6.3000 Signal Processing, Magnetic Resonance Imaging lecture handout (6 May 2025), data and examples from E. Adalsteinsson](https://sigproc.mit.edu/_static/spring25/lectures/MRI-handout.pdf)

   通读全文。第 9 页：质子旋磁比取 42.58 MHz/T。第 11—13 页：梯度场、相位积分，以及把 k 定义为梯度对时间的积分。第 15—18 页：k 空间数据、复图像及其幅值。第 19 页：256 行、每行 2 s，约 8.5 分钟。第 20—21 页：只保留 k 空间的偶数列。第 24—36 页：两个线圈展开折叠，包括灵敏度无法区分折叠像素的那一对线圈。本课程沿用讲义中傅里叶核的符号约定。

2. [M. Lustig, D. Donoho and J. M. Pauly, Sparse MRI: the application of compressed sensing for rapid MR imaging, Magnetic Resonance in Medicine 58, 1182–1195 (2007), doi:10.1002/mrm.21391](https://doi.org/10.1002/mrm.21391)

   通读全文。图 1 与压缩感知的三个条件；图 2（256 点稀疏信号、8 倍欠采样）；式 1（干扰的标准差）及附录 B 中的推导（正文称为 Appendix II）；单层 2DFT 的干扰大 D^{1/4} 倍的说明；式 2（变换点扩散函数）；式 3—4（带约束的重建）；附录 A 式 A1—A3（拉格朗日形式与非线性共轭梯度，80 到 200 次迭代）；结果与讨论（脑部 2.4 倍、血管造影 5 倍从 22 s 缩到 4.4 s、低对比结构丢失）。在体图像只做描述，不复现。