--- title: "质子磁化怎样进动、翻倒和恢复" description: "从磁矩受到的力矩出发写出 Bloch 方程，算出 3 T 下的进动频率、90° 脉冲需要的射频场，以及 T1、T2 两种弛豫。" canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/mri-spatial-encoding/precession-and-relaxation/" language: "zh-CN" page_type: "story" alternate_languages: en: "https://sandboxphysics.com/stories/mri-spatial-encoding/precession-and-relaxation/" last_modified: "2026-10-29" --- [磁共振空间编码](https://sandboxphysics.com/zh/stories/mri-spatial-encoding/) L1 · 第 1 章 # 质子磁化怎样进动、翻倒和恢复 Sandbox Physics · 2026-10-29 人体里的水含有大量质子，每个质子都是一枚极小的磁针。放进强磁场后，它们的合磁化会像倾斜的陀螺一样绕磁场转动。这一章用 1946 年 Bloch 写下的方程描述这种转动：怎样用一个射频脉冲把磁化翻倒，翻倒后它怎样在线圈里感应出电压，又怎样按两个时间常数 $T_1$、$T_2$ 恢复原状。后面所有成像方法都建立在这几条方程上。 ## 开始前需要什么 需要矢量叉乘、指数函数和一阶线性微分方程的解。复数在第三章才用到，本章不需要。 - 由力矩方程推出进动，并算出给定磁场下的进动频率。 - 用旋转坐标系解释射频脉冲怎样翻转磁化，算出翻转角。 - 写出 T1、T2 两种弛豫的解，并说明为什么横向信号消失得更快。 ## 磁化绕磁场进动 取静磁场沿 $+z$ 方向，记作 $\mathbf B_0=B_0\hat z$。单位体积内所有质子磁矩之和叫磁化 $\mathbf M$，单位是 A/m。质子的磁矩与它的自旋角动量方向相同，比值是旋磁比 $\gamma$。 磁场对磁化施加力矩 $\mathbf M\times\mathbf B$，力矩改变角动量，于是得到 Bloch 论文的式 11。叉乘总与 $\mathbf M$ 垂直，所以磁化的长度不变，只是绕 $\mathbf B_0$ 转圈，这就是进动。转动的角频率叫 Larmor 频率。 质子的 $\gamma/2\pi=42.576\,\mathrm{MHz/T}$。MIT 讲义取 42.58 MHz/T，二者只差舍入。频率与磁场成正比，这一点在第三章会变成成像的关键。 $$ \frac{d\mathbf M}{dt}=\gamma\,\mathbf M\times\mathbf B $$ Bloch 式 11 用国际单位改写。式中只有外加磁场，没有弛豫。 $$ \omega_0=\gamma B_0,\qquad f_0=\frac{\gamma}{2\pi}B_0 $$ 对质子，$\gamma>0$，从 $+z$ 往下看磁化顺时针转动。 磁化绕静磁场以 Larmor 频率 $f_0=\bar\gamma B_0$ 进动，3 T 时为 127.7 MHz。它转动的磁通在接收线圈里感应出被记录的电压。原创示意图。 来源：F. Bloch · J. Hrabe · MIT 6.3000 Signal Processing ## 射频脉冲把磁化翻倒 平衡时磁化沿 $+z$，与磁场平行，不进动，线圈也测不到它。要让它进动，就要先把它推离 $z$ 轴。办法是在垂直方向加一个弱磁场 $B_1$，并让它以 $\omega_0$ 的频率旋转，也就是一个射频脉冲。 换到一个以 $\omega_0$ 绕 $z$ 轴转动的坐标系里看，静磁场的作用被转动抵消，而 $B_1$ 变成静止的。磁化于是只绕 $B_1$ 慢慢转动，角速度 $\omega_1=\gamma B_1$。Bloch 在式 40—42 里正是用这种变量替换，把方程写成系数近似为常数的形式。 脉冲持续 $\tau$ 后，磁化转过的角度叫翻转角。翻转 90° 后磁化全部躺在横向平面里，在实验室坐标系中以 $\omega_0$ 进动，它的磁通在接收线圈中感应出电压。MIT 讲义把这段电压称为得到 MR 图像的原始信号。 $$ \alpha=\gamma B_1\tau $$ 翻转角与脉冲面积 $B_1\tau$ 成正比，与脉冲形状无关，前提是脉冲频率恰好等于 $\omega_0$。 来源：F. Bloch · MIT 6.3000 Signal Processing ## 两种弛豫：T1 和 T2 翻倒的磁化不会永远进动。Bloch 用两条最简单的指数规律描述它的恢复。纵向分量 $M_z$ 以时间常数 $T_1$ 回到平衡值 $M_0$（式 32）；这需要自旋把能量交给周围的分子。横向分量 $M_x$、$M_y$ 以 $T_2$ 衰减（式 37）；这只需要各个质子的相位彼此错开，不涉及能量交换。 Bloch 把造成相位错开的原因归为一个“有效不均匀场” $H'$，得到 $T_2\approx1/(\gamma H')$（式 33）。对彼此静止的相邻原子核，他估出 $H'$ 约 1 高斯、$T_2$ 约 $10^{-4}\,\mathrm s$，并指出 $T_2$ 可以比 $T_1$ 小好几个数量级，假定二者相等可能造成严重错误。 把力矩和两种弛豫加在一起，就是 Bloch 式 38a—c，今天称为 Bloch 方程。下面写出只有静磁场时的解。 $$ \frac{dM_z}{dt}=\frac{M_0-M_z}{T_1},\qquad \frac{dM_{x,y}}{dt}=-\frac{M_{x,y}}{T_2} $$ Bloch 式 32 和式 37。实际方程还要加上第一节的进动项。 $$ M_z(t)=M_0+\bigl[M_z(0)-M_0\bigr]e^{-t/T_1},\qquad |M_{xy}(t)|=|M_{xy}(0)|\,e^{-t/T_2} $$ 纵向向平衡值恢复，横向向零衰减；进动只改变横向分量的方向。 来源：F. Bloch · MIT 6.3000 Signal Processing ## 用数值积分检查方程 解析解可以和数值积分对照。频率编码实验的基准程序用四阶 Runge–Kutta 法直接积分 Bloch 方程：一个共振的矩形脉冲后，算出的翻转角与 $\gamma B_1\tau$ 的差别小于 $10^{-10}$；无脉冲时的进动方向与上面的符号约定一致；横向分量的衰减与指数解吻合。 程序还把每根水管拆成 400 个小块分别积分，再把它们在线圈里的贡献加起来。这样得到的电压与第三章的傅里叶公式相差不到千分之一，说明后面几章用公式代替逐点积分是合理的。 来源：F. Bloch · J. Hrabe ## 完整例题：3 T 扫描仪里的一次激发 题目：在 $B_0=3\,\mathrm T$ 的扫描仪中，用 1 ms 的矩形射频脉冲把磁化翻转 90°。求进动频率、需要的 $B_1$，以及信号的衰减和磁化的恢复。设 $T_2^*=30\,\mathrm{ms}$（与频率编码实验的默认值相同），$T_1=1\,\mathrm s$，这两个值只是为了计算而假定。 进动频率 $f_0=42.576\times3=127.7\,\mathrm{MHz}$，转一圈 7.83 ns，1 ms 内转 127728 圈。翻转角 $\pi/2$ 要求 $B_1=\pi/(2\gamma\tau)=5.87\,\mu\mathrm T$，只有 $B_0$ 的约两百万分之一。弱场能起作用，是因为它与进动同步旋转，效果一圈圈累积起来。 脉冲结束后线圈电压的包络按 $e^{-t/T_2^*}$ 衰减，30 ms 后剩 $e^{-1}=0.368$。与此同时纵向磁化从零开始恢复。如果每 2 s 重复一次激发，下一次脉冲前 $M_z=M_0(1-e^{-2})=0.865M_0$，所以稳定后每次激发的信号约为完全恢复时的 86.5%。 来源：J. Hrabe · MIT 6.3000 Signal Processing ## 到实验里试一试 ### [从信号过零点读出 T1](https://sandboxphysics.com/zh/labs/nmr-inversion-recovery/) 1. 选“完整反转”预设。先预测：完整反转后 $M_z=M_0(1-2e^{-t/T_1})$，读出信号在 $t=T_1\ln2$ 处变号。 2. 找出读出信号由负变正的等待时间，用它估计 T1。 3. 换成“更慢恢复”预设，看变号点往哪边移动，并说明原因。 ### [一根细管，一个音调](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mri-frequency-encoding/) 1. 选“一根细管，一个单音”预设，看线圈记录的实部和虚部：它们是同一频率、相差四分之一周期的两条振荡。 2. 换成“衰减太快，边缘变糊”预设，比较记录的包络衰减得多快。 ## 练习与解答 1. 1.5 T 扫描仪里质子的进动频率是多少？ 展开解答 $f_0=42.576\,\mathrm{MHz/T}\times1.5\,\mathrm T=63.86\,\mathrm{MHz}$，正好是 3 T 时的一半。 2. 一个共振脉冲的 $B_1=5.87\,\mu\mathrm T$，要翻转 180°，脉冲要持续多久？ 展开解答 翻转角与 $B_1\tau$ 成正比。同样的 $B_1$ 翻 90° 需要 1 ms，翻 180° 需要 2 ms，此时 $\gamma B_1\tau=\pi$。 3. 90° 脉冲之后 $M_z=0$。若 $T_1=1\,\mathrm s$，要等多久 $M_z$ 才恢复到 $M_0/2$？ 展开解答 由 $1-e^{-t/T_1}=1/2$ 得 $t=T_1\ln2=0.693\,\mathrm s$。 4. 若 $T_2=80\,\mathrm{ms}$，激发后 50 ms 还剩多少横向磁化？要等多久才降到 1%？ 展开解答 50 ms 后剩 $e^{-50/80}=0.535$。降到 1% 需要 $t=T_2\ln100=368\,\mathrm{ms}$，远短于 $T_1=1\,\mathrm s$ 时纵向恢复所需的时间。 [下一章：自旋回波怎样找回消失的信号](https://sandboxphysics.com/zh/stories/mri-spatial-encoding/spin-echo-and-t2/) ## 来源与复算范围 1. [MIT 6.3000 Signal Processing, Magnetic Resonance Imaging lecture handout (6 May 2025), data and examples from E. Adalsteinsson](https://sigproc.mit.edu/_static/spring25/lectures/MRI-handout.pdf) 通读全文。第 9 页：质子旋磁比取 42.58 MHz/T。第 11—13 页：梯度场、相位积分，以及把 k 定义为梯度对时间的积分。第 15—18 页：k 空间数据、复图像及其幅值。第 19 页：256 行、每行 2 s，约 8.5 分钟。第 20—21 页：只保留 k 空间的偶数列。第 24—36 页：两个线圈展开折叠，包括灵敏度无法区分折叠像素的那一对线圈。本课程沿用讲义中傅里叶核的符号约定。 2. [F. Bloch, Nuclear induction, Physical Review 70, 460 (1946), doi:10.1103/PhysRev.70.460](https://doi.org/10.1103/PhysRev.70.460) 据扫描件通读全文。式 11（极化矢量的进动）、式 32（纵向弛豫时间）、式 33—35（由等效场不均匀定义横向弛豫时间，并估出约 1e-4 s）、式 37 与式 38a—c（含两个弛豫时间的方程组）、式 40—42（旋转坐标系变量）。Bloch 用高斯单位，磁场记作 H；课程改用国际单位和 B 重写。 3. [J. Hrabe, G. Kaur and D. N. Guilfoyle, Principles and limitations of NMR diffusion measurements, Journal of Medical Physics 32(1), 34–42 (2007), doi:10.4103/0971-6203.31148](https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC3003887/) 在 PubMed Central 通读全文。引言：Hahn 1950 年的观察、Stejskal 与 Tanner 的脉冲梯度及式 1—3。式 4—10（二项式随机游走，式 7 定义 D，式 8 与式 10 为 Einstein 关系）。式 11（Larmor 频率，质子取 2π × 42.576 MHz/T）。式 12—14（格点游走的信号、式 13 的 b 值和离散形式的 Stejskal–Tanner 公式）与式 15—17（连续极限）。“注意事项”一节：成像梯度、局部梯度、对扩散时间的依赖和组织分区。文中引用的 1950 年和 1965 年原始论文没有打开。