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title: "k 空间：一行一行测出图像的傅里叶变换"
description: "两个方向的梯度给出二维空间频率。用相位编码逐行填满 k 空间，算出扫描时间、像素和每一步梯度，并看懂 k 空间数据长什么样。"
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language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/mri-spatial-encoding/k-space-and-fourier-imaging/"
last_modified: "2026-10-29"
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[磁共振空间编码](https://sandboxphysics.com/zh/stories/mri-spatial-encoding/)

L2 · 第 4 章

# k 空间：一行一行测出图像的傅里叶变换

Sandbox Physics · 2026-10-29

第三章的一次读出只测到一条线：同一个 $k_y$、一串 $k_x$。要得到二维图像，还要在另一个方向上编码。MRI 的做法是每次激发前先用一个短促的 $y$ 梯度选定 $k_y$，再读出一整行，然后换下一个 $k_y$ 重复。所有行拼起来叫 k 空间，它正是图像的二维傅里叶变换。本章说明每个 k 空间样本测的是什么、扫描时间从哪里来，以及为什么 k 空间数据本身看上去一点也不像图像。

## 开始前需要什么

需要第三章的 k、视野和像素，以及复数的实部、虚部和幅值。二维傅里叶变换在第一节从一维情形推广。

- 说明每个 k 空间样本对应一个条纹图案，并由 k 求出条纹的方向和间距。
- 解释相位编码怎样逐行填满 k 空间，并算出扫描时间和每一步所需的梯度面积。
- 说明 k 空间中心和边缘分别决定图像的哪些特征，以及为什么取幅值图像。

## 两个梯度，两个空间频率

同时有 $x$、$y$ 两个梯度时，位于 $(x,y)$ 的水积累的相位是 $2\pi(k_xx+k_yy)$。MIT 讲义把线圈信号写成下面的二维积分：一个对所有位置都相同的快速振荡，乘上水密度的二维傅里叶变换。

每个样本 $(k_x,k_y)$ 测的是什么？它把水分布与一个条纹图案 $e^{i2\pi(k_xx+k_yy)}$ 比对。这些条纹垂直于矢量 $(k_x,k_y)$，相邻条纹相距 $1/|k|$。$k$ 小，条纹宽，测的是大尺度的明暗；$k$ 大，条纹细，测的是细节和边缘。

$$
s(k_x,k_y)=\iint\rho(x,y)\,e^{-i2\pi(k_xx+k_yy)}\,dx\,dy
$$

MIT 讲义第 12 页的结果去掉共同的进动因子。

$$
k_x(t)=\bar\gamma\int_0^tG_x\,d\tau,\qquad k_y(t)=\bar\gamma\int_0^tG_y\,d\tau
$$

梯度的时间积分决定此刻测到哪个空间频率。

每次激发记录 k 空间的一行：相位编码梯度选定 $k_y$，读出梯度扫过 $k_x$。实线是采集的行，虚线是跳过的行，对应隔行采样。行距 $\Delta k=1/\mathrm{FOV}$ 决定视野，范围 $N\Delta k$ 决定像素。原创示意图。

来源：MIT 6.3000 Signal Processing · M. Lustig

## 相位编码：每次激发填一行

读出梯度沿 $x$，一次读出就扫过一整行 $k_x$。在读出之前加一个持续时间固定、强度可调的 $y$ 梯度，它的面积决定这一行的 $k_y$。读出期间不再有 $y$ 梯度，所以整行 $k_y$ 相同。这一步叫相位编码，因为它只在读出前给不同的 $y$ 位置不同的相位。

第 $m$ 行需要 $k_y=m\Delta k$，相邻两行的梯度面积相差 $\Delta k/\bar\gamma$。纵向磁化要在两次激发之间恢复，所以每行之间隔一个重复时间 $T_R$。MIT 讲义算过：256 行、每行 2 s，一共约 8.5 分钟。

Lustig 等人指出，Cartesian 采样中读出方向总是完整采集的，节省时间只能靠少采相位编码行，而且省下的时间与少采的比例完全成正比。第五、六章讨论的就是少采哪些行、怎样补。

$$
T_{\mathrm{scan}}=N_{\mathrm{lines}}\times T_R
$$

每次激发采一行。读出本身只有几毫秒，扫描时间几乎全花在等磁化恢复上。

来源：MIT 6.3000 Signal Processing · M. Lustig

## k 空间数据不像图像

MIT 讲义展示了一组真实的 k 空间数据：幅值要用对数标尺才看得清，几乎全部能量集中在中心附近；相位看上去杂乱无章。这些测量本身不是图像，它们是图像的傅里叶变换。Lustig 等人也写道，图像的大部分能量集中在 k 空间原点附近。

对 k 空间做逆傅里叶变换得到的图像有实部也有虚部，因为从射频激发到接收之间的信号通路会带来相位延迟。MIT 讲义因此取复图像的幅值作为最终图像。

中心样本 $s(0,0)=\iint\rho\,dx\,dy$ 就是样品里水的总量。物体平移 $\mathbf r_0$ 时，每个样本只乘上相位因子 $e^{-i2\pi\mathbf k\cdot\mathbf r_0}$，幅值不变。这叫平移定理，后面拖动体模时会用到。

$$
\rho(\mathbf r-\mathbf r_0)\;\longleftrightarrow\;s(\mathbf k)\,e^{-i2\pi\mathbf k\cdot\mathbf r_0}
$$

平移只改变 k 空间的相位，不改变幅值。

来源：MIT 6.3000 Signal Processing · M. Lustig

## 体模的精确变换

k 空间重建实验里的头部体模由 9 个均匀椭圆叠加而成，是本课程自己定义的教学体模。均匀椭圆有精确的傅里叶变换，用到一阶 Bessel 函数 $J_1$：它是圆形边界对应的“正弦”，随自变量增大而振荡衰减。因此每个 k 空间样本都直接取自连续物体，没有先画成像素再变换。

基准程序用两种独立方法检验这条公式：把 $J_1$ 与 Bessel 积分直接比较，差别 $2.2\times10^{-9}$；再把每个椭圆切成弦逐条积分，与公式相差不超过 $6.7\times10^{-10}$（以椭圆面积为单位）。

$$
F(\mathbf k)=\rho\,ab\,\frac{J_1(2\pi\kappa)}{\kappa}\,e^{-i2\pi\mathbf k\cdot\mathbf r_0},\qquad \kappa=\sqrt{(ak_u)^2+(bk_v)^2}
$$

半轴 $a$、$b$，中心 $\mathbf r_0$，$k_u$、$k_v$ 是 $\mathbf k$ 在椭圆两轴上的分量。

来源：MIT 6.3000 Signal Processing · M. Lustig

## 完整例题：一次 64 行 64 列的扫描

题目：视野 256 mm，矩阵 $64\times64$，$T_R=2\,\mathrm s$，相位编码梯度每次持续 1 ms。求 k 空间步长、最大空间频率、像素宽度、扫描时间，以及最外一行需要的相位编码梯度。这正是 k 空间重建实验的完整扫描。

步长 $\Delta k=1/0.256\,\mathrm m=3.906\,\mathrm{m^{-1}}$，最大空间频率 $k_{\max}=32\Delta k=125\,\mathrm{m^{-1}}$，像素 $256/64=4\,\mathrm{mm}$。扫描时间 $64\times2\,\mathrm s=128\,\mathrm s=2.13\,\mathrm{min}$；若像 MIT 讲义那样采 256 行，就是 8.53 分钟。

每一步的梯度面积 $\Delta k/\bar\gamma=3.906/(42.576\times10^6)=9.17\times10^{-8}\,\mathrm{T\,s/m}$。持续 1 ms 时，每一步梯度增加 0.0917 mT/m；最外一行要走 32 步，需要 2.94 mT/m。

换一个问题：MIT 讲义问，以 1 mm 分辨率拍一个 10 英寸见方的视野要测多少个 $(k_x,k_y)$。10 英寸是 254 mm，每边 254 个样本，共 $254^2=64\,516$ 个；每行 2 s 时扫描 8.47 分钟。

来源：MIT 6.3000 Signal Processing · M. Lustig

## 到实验里试一试

### [看 k 空间一行一行填满](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mri-k-space-reconstruction/)

1. 在“每行都采：完整扫描”预设下，看 k 空间记录逐行出现，读出扫描时间 2.13 分钟。
2. 在磁体孔内拖动头部。预测：根据平移定理，k 空间记录的对数幅值几乎不变，只有相位改变。对照记录检验。
3. 点击 k 空间记录中靠边缘的一行把它去掉，再点击中心的一行去掉。哪一次图像变化更大？用“中心决定大尺度明暗”解释。

## 练习与解答

1. 视野 200 mm、分辨率 2 mm 需要多少条相位编码行？每行间隔 2 s 时扫描多久？

   展开解答

   需要 $200/2=100$ 行，扫描 $100\times2\,\mathrm s=200\,\mathrm s$，约 3.33 分钟。ISMRM 扩散习题用的也是 $100\times100$ 的矩阵。

2. 物体沿 $y$ 平移 10 mm，$k_y=50\,\mathrm{m^{-1}}$ 那一行的样本相位改变多少？

   展开解答

   相位改变 $2\pi k_y y_0=2\pi\times50\times0.01=\pi$，样本变号，幅值不变。

3. 只采 k 空间最中心的一个样本，能得到什么信息？

   展开解答

   只能得到 $s(0,0)=\iint\rho\,dx\,dy$，即样品中水的总量，没有任何位置信息。这正是没有梯度时线圈测到的东西。

[上一章：梯度怎样把位置变成频率](https://sandboxphysics.com/zh/stories/mri-spatial-encoding/gradients-make-position-into-frequency/) [下一章：采样、卷绕与分辨率：少采一行会怎样](https://sandboxphysics.com/zh/stories/mri-spatial-encoding/sampling-aliasing-and-resolution/)

## 来源与复算范围

1. [MIT 6.3000 Signal Processing, Magnetic Resonance Imaging lecture handout (6 May 2025), data and examples from E. Adalsteinsson](https://sigproc.mit.edu/_static/spring25/lectures/MRI-handout.pdf)

   通读全文。第 9 页：质子旋磁比取 42.58 MHz/T。第 11—13 页：梯度场、相位积分，以及把 k 定义为梯度对时间的积分。第 15—18 页：k 空间数据、复图像及其幅值。第 19 页：256 行、每行 2 s，约 8.5 分钟。第 20—21 页：只保留 k 空间的偶数列。第 24—36 页：两个线圈展开折叠，包括灵敏度无法区分折叠像素的那一对线圈。本课程沿用讲义中傅里叶核的符号约定。

2. [M. Lustig, D. Donoho and J. M. Pauly, Sparse MRI: the application of compressed sensing for rapid MR imaging, Magnetic Resonance in Medicine 58, 1182–1195 (2007), doi:10.1002/mrm.21391](https://doi.org/10.1002/mrm.21391)

   通读全文。图 1 与压缩感知的三个条件；图 2（256 点稀疏信号、8 倍欠采样）；式 1（干扰的标准差）及附录 B 中的推导（正文称为 Appendix II）；单层 2DFT 的干扰大 D^{1/4} 倍的说明；式 2（变换点扩散函数）；式 3—4（带约束的重建）；附录 A 式 A1—A3（拉格朗日形式与非线性共轭梯度，80 到 200 次迭代）；结果与讨论（脑部 2.4 倍、血管造影 5 倍从 22 s 缩到 4.4 s、低对比结构丢失）。在体图像只做描述，不复现。