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title: "磁共振成像：从 Bloch 动力学到 k 空间、欠采样与扩散编码"
description: "跟着水的磁化，从进动和自旋回波走到梯度、k 空间、欠采样重建和扩散编码。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/mri-spatial-encoding/"
last_modified: "2026-10-30"
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[磁共振空间编码](https://sandboxphysics.com/zh/stories/mri-spatial-encoding/)

FR35 · 连续互动课程

# 磁共振成像：从 Bloch 动力学到 k 空间、欠采样与扩散编码

Sandbox Physics · 2026-10-29

磁共振扫描仪从来不拍照。它记录的是进动的水在线圈里感应出的电压，每个像素都由这段电压算出来。这门课一步步说明怎么算：进动和弛豫的磁化，把位置变成频率的梯度，一行一行填满的 k 空间，少采几行要付的代价，以及测量水走了多远的一对梯度。每个公式都算出数来，并用可以动手的模拟检验。

[从进动开始](https://sandboxphysics.com/zh/stories/mri-spatial-encoding/precession-and-relaxation/) 先动手试试

每次激发记录 k 空间的一行：相位编码梯度选定 $k_y$，读出梯度扫过 $k_x$。实线是采集的行，虚线是跳过的行，对应隔行采样。行距 $\Delta k=1/\mathrm{FOV}$ 决定视野，范围 $N\Delta k$ 决定像素。原创示意图。

## 从一个转动的箭头，到图像、捷径和扩散

第一章跟着水的磁化进动和弛豫，第二章说明自旋回波怎样找回不均匀磁场似乎抹掉的信号。第三章加上梯度，让位置变成频率，线圈信号变成傅里叶变换。第四章每次激发填一行 k 空间，说明扫描时间花在哪里。第五章问少采几行会怎样，第六章用多个线圈、或用随机跳行加稀疏拟合来补救。第七章用一对梯度脉冲测量水走了多远。最后一章读 2007 年的 Sparse MRI 论文。

需要导数、三角函数和矢量的概念。复数、傅里叶变换和随机行走在第一次用到时再介绍。 [FR35](https://github.com/yangzichao/sandboxphysics/issues/65)

1. 01 · L1

   ## [质子磁化怎样进动、翻倒和恢复](https://sandboxphysics.com/zh/stories/mri-spatial-encoding/precession-and-relaxation/)

   从磁矩受到的力矩出发写出 Bloch 方程，算出 3 T 下的进动频率、90° 脉冲需要的射频场，以及 T1、T2 两种弛豫。

2. 02 · L2

   ## [自旋回波怎样找回消失的信号](https://sandboxphysics.com/zh/stories/mri-spatial-encoding/spin-echo-and-t2/)

   磁场稍不均匀，信号就比 T2 衰减得快。推导 180° 脉冲怎样让相位重新对齐，区分 T2\* 与 T2，并看运动为什么留下损失。

3. 03 · L2

   ## [梯度怎样把位置变成频率](https://sandboxphysics.com/zh/stories/mri-spatial-encoding/gradients-make-position-into-frequency/)

   加一个随位置线性变化的磁场，每处的水就以不同频率进动。推出线圈信号是物体的傅里叶变换，算出视野、像素、折叠和镜像。

4. 04 · L2

   ## [k 空间：一行一行测出图像的傅里叶变换](https://sandboxphysics.com/zh/stories/mri-spatial-encoding/k-space-and-fourier-imaging/)

   两个方向的梯度给出二维空间频率。用相位编码逐行填满 k 空间，算出扫描时间、像素和每一步梯度，并看懂 k 空间数据长什么样。

5. 05 · L3

   ## [采样、卷绕与分辨率：少采一行会怎样](https://sandboxphysics.com/zh/stories/mri-spatial-encoding/sampling-aliasing-and-resolution/)

   k 空间步长决定视野，最大空间频率决定像素。推出隔行采样为什么让头像折成两半，只采中心为什么变模糊，以及少采行时噪声怎样变化。

6. 06 · L3

   ## [欠采样重建：为什么随机跳行能补救，规则跳行不能](https://sandboxphysics.com/zh/stories/mri-spatial-encoding/undersampling-and-regularized-reconstruction/)

   规则跳行把图像折成相同的副本，只有多个线圈才能拆开。随机跳行把缺失变成类似噪声的干扰，再用稀疏先验把干扰去掉。附线圈拆分例题和权重选择方法。

7. 07 · L3

   ## [扩散编码：一对梯度怎样测出水分子走了多远](https://sandboxphysics.com/zh/stories/mri-spatial-encoding/diffusion-encoding/)

   两个方向相反的梯度脉冲让不动的水回到同相，移动过的水留下相位差。由随机行走推出回波的指数衰减，算出 b 值，并看膜怎样让表观扩散系数随时间变化。

8. 08 · L4

   ## [读 Lustig、Donoho 和 Pauly 2007 年的 Sparse MRI 论文](https://sandboxphysics.com/zh/stories/mri-spatial-encoding/reading-lustig-2007/)

   带着第五、六章的公式读压缩感知 MRI 的奠基论文：三个前提、点扩散函数与式 [1]、采样设计、重建和结果，复算干扰公式和 16 倍的结论。

## 沿途的实验

[01 **把位置听成音高** 把两根水管放进梯度场，记录线圈电压，看每根水管变成一个音调；再故意让图像折叠、镜像和变糊。](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mri-frequency-encoding/) [02 **一行一行填满 k 空间** 一次采一条相位编码行，把头部体模记录下来；再等间隔或随机地跳行，比较补零与稀疏小波拟合。](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mri-k-space-reconstruction/) [03 **测量水走了多远** 用两个梯度脉冲让随机游走的水分子先绕相位再解开，然后加上膜，看拟合出的扩散系数怎样下降。](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mri-diffusion-encoding/)

三个实验运行的都是模型，不是扫描仪数据。频率编码用闭式公式算出均匀水管的线圈信号，并与对许多小团水积分 Bloch 方程的结果核对；k 空间实验从一个由椭圆组成的教学体模的精确傅里叶变换取样；扩散编码让几千个随机行走的水分子穿过一对梯度。每个实验都把独立检验与模型输出并列，不作任何临床断言。第一、二章还用到站内已有的自由感应衰减和反转恢复两个实验。

## 来源与复算范围

1. [MIT 6.3000 Signal Processing, Magnetic Resonance Imaging lecture handout (6 May 2025), data and examples from E. Adalsteinsson](https://sigproc.mit.edu/_static/spring25/lectures/MRI-handout.pdf)

   通读全文。第 9 页：质子旋磁比取 42.58 MHz/T。第 11—13 页：梯度场、相位积分，以及把 k 定义为梯度对时间的积分。第 15—18 页：k 空间数据、复图像及其幅值。第 19 页：256 行、每行 2 s，约 8.5 分钟。第 20—21 页：只保留 k 空间的偶数列。第 24—36 页：两个线圈展开折叠，包括灵敏度无法区分折叠像素的那一对线圈。本课程沿用讲义中傅里叶核的符号约定。

2. [F. Bloch, Nuclear induction, Physical Review 70, 460 (1946), doi:10.1103/PhysRev.70.460](https://doi.org/10.1103/PhysRev.70.460)

   据扫描件通读全文。式 11（极化矢量的进动）、式 32（纵向弛豫时间）、式 33—35（由等效场不均匀定义横向弛豫时间，并估出约 1e-4 s）、式 37 与式 38a—c（含两个弛豫时间的方程组）、式 40—42（旋转坐标系变量）。Bloch 用高斯单位，磁场记作 H；课程改用国际单位和 B 重写。

3. [J. Hrabe, G. Kaur and D. N. Guilfoyle, Principles and limitations of NMR diffusion measurements, Journal of Medical Physics 32(1), 34–42 (2007), doi:10.4103/0971-6203.31148](https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC3003887/)

   在 PubMed Central 通读全文。引言：Hahn 1950 年的观察、Stejskal 与 Tanner 的脉冲梯度及式 1—3。式 4—10（二项式随机游走，式 7 定义 D，式 8 与式 10 为 Einstein 关系）。式 11（Larmor 频率，质子取 2π × 42.576 MHz/T）。式 12—14（格点游走的信号、式 13 的 b 值和离散形式的 Stejskal–Tanner 公式）与式 15—17（连续极限）。“注意事项”一节：成像梯度、局部梯度、对扩散时间的依赖和组织分区。文中引用的 1950 年和 1965 年原始论文没有打开。

4. [F. Szczepankiewicz and J. Hutter, Diffusion MRI acquisition basics, problems and answers, ISMRM 2019 educational session](https://www.ismrm.org/dmff-uploads/2s.pdf)

   通读全文。问题 A1 及解答（式 2—4）：两个 40 mT/m、10 ms、起点相隔 50 ms 的脉冲给出 0.53 ms/µm²，三个轴同时施加时 b 变为三倍。问题 A2 及解答（式 1、式 5—7）：b 是 q 平方对时间的积分，以及矩形脉冲的闭式结果。B 部分：自旋回波扩散序列的回波时间分配。文中 γ 取 2.68 × 10⁸ 每秒每特斯拉。

5. [M. Lustig, D. Donoho and J. M. Pauly, Sparse MRI: the application of compressed sensing for rapid MR imaging, Magnetic Resonance in Medicine 58, 1182–1195 (2007), doi:10.1002/mrm.21391](https://doi.org/10.1002/mrm.21391)

   通读全文。图 1 与压缩感知的三个条件；图 2（256 点稀疏信号、8 倍欠采样）；式 1（干扰的标准差）及附录 B 中的推导（正文称为 Appendix II）；单层 2DFT 的干扰大 D^{1/4} 倍的说明；式 2（变换点扩散函数）；式 3—4（带约束的重建）；附录 A 式 A1—A3（拉格朗日形式与非线性共轭梯度，80 到 200 次迭代）；结果与讨论（脑部 2.4 倍、血管造影 5 倍从 22 s 缩到 4.4 s、低对比结构丢失）。在体图像只做描述，不复现。