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title: "梯度怎样把位置变成频率"
description: "加一个随位置线性变化的磁场，每处的水就以不同频率进动。推出线圈信号是物体的傅里叶变换，算出视野、像素、折叠和镜像。"
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language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/mri-spatial-encoding/gradients-make-position-into-frequency/"
last_modified: "2026-10-29"
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[磁共振空间编码](https://sandboxphysics.com/zh/stories/mri-spatial-encoding/)

L2 · 第 3 章

# 梯度怎样把位置变成频率

Sandbox Physics · 2026-10-29

只有均匀磁场时，线圈只能告诉我们样品里一共有多少水，说不出水在哪里。让磁场沿 $x$ 方向线性增大，每个位置的水就以自己的频率进动，就像一排音高不同的琴弦同时发声。这一章推导线圈信号与水的分布之间的关系，它正好是傅里叶变换；再由采样间隔算出视野和像素宽度，并解释梯度反向、采样太慢和衰减太快时图像会出什么问题。

## 开始前需要什么

需要第一章的 Larmor 频率和 T2\* 衰减。本章第一次用到复数和傅里叶变换，第二节会从头介绍需要的部分。

- 写出梯度场中进动频率随位置的变化，并算出给定梯度下每毫米对应的频率差。
- 由相位积分推出线圈信号是水分布的傅里叶变换，定义 k。
- 由接收带宽、梯度和采样点数算出视野与像素，并预测折叠和镜像的位置。

## 梯度让磁场随位置变化

在 $B_0$ 上再叠加一个梯度场，$z$ 方向的磁场就沿 $x$ 线性变化，斜率 $G_x$ 的单位是 mT/m。MIT 讲义写出二维情形 $B_z=B_0+xG_x+yG_y$。这个附加场比 $B_0$ 小得多：5 mT/m 的梯度在 10 cm 外只加 0.5 mT。

进动频率与磁场成正比，所以每个位置有自己的频率。扣掉所有位置共有的 $\gamma B_0$ 之后，剩下的频率偏移与位置成正比。只要量出一个信号分量的频率，就知道它来自哪里。

$$
\Delta f(x)=\bar\gamma\,G_x\,x,\qquad \bar\gamma=\frac{\gamma}{2\pi}=42.576\,\mathrm{MHz/T}
$$

相对 $f_0$ 的频率偏移。5 mT/m 时每毫米对应 212.9 Hz。

梯度让磁场、也就是进动频率沿 $x$ 增大。每个位置的水发出自己的音调，$\Delta f=\bar\gamma G_x x$：5 mT/m 时每毫米 212.9 Hz。原创示意图，未按比例。

来源：MIT 6.3000 Signal Processing · J. Hrabe

## 线圈信号是傅里叶变换

先介绍一点复数。把横向磁化画成平面上的箭头，用一个复数表示它：实部是 $x$ 分量，虚部是 $y$ 分量。转过角度 $\varphi$ 的单位箭头写成 $e^{-i\varphi}=\cos\varphi-i\sin\varphi$。接收机用两路相差 90° 的通道同时测量，正好得到这个复数的实部和虚部。

位于 $x$ 的水在时刻 $t$ 的相位是频率对时间的积分。线圈把所有位置的箭头加起来，权重是该处水的密度 $\rho(x)$。扣掉共同的 $\gamma B_0t$ 后，MIT 讲义得到下面的结果：信号与 $\rho(x)$ 的傅里叶变换只差一个记号 $k$。

$k$ 是梯度对时间的积分乘 $\bar\gamma$，单位是 1/m，叫空间频率。梯度打开多久、多强，决定了这一刻测到的是哪个空间频率。

$$
s(t)=\int\rho(x)\,e^{-i2\pi k(t)\,x}\,dx,\qquad k(t)=\bar\gamma\int_0^t G_x(\tau)\,d\tau
$$

弛豫和噪声先不计。符号约定与 MIT 讲义相同。

$$
\rho(x_p)\approx\Delta k\sum_n s_n\,e^{+i2\pi k_n x_p}
$$

由采样值 $s_n=s(k_n)$ 做逆离散傅里叶求和，得到位置 $x_p$ 处的水密度。

来源：MIT 6.3000 Signal Processing · J. Hrabe

## 采样决定视野和像素

实际序列先打一个反向的预散相梯度，把 $k$ 推到负的最大值；再打读出梯度，让 $k$ 匀速扫过零点到正的最大值。梯度面积回到零的那一刻所有箭头对齐，这就是梯度回波，位于读出的正中。

接收机每隔 $\Delta t=1/\mathrm{BW}$ 采一个点，BW 是接收带宽。相邻两点相差 $\Delta k=\bar\gamma G\Delta t$。离散傅里叶求和给出的图像以 $1/\Delta k$ 为周期重复，这个周期就是视野 FOV；$N$ 个采样点把视野分成 $N$ 个像素。

换一种说法：视野是带宽能容纳的距离。带宽 BW 覆盖 $\pm\mathrm{BW}/2$ 的频率偏移，除以每米的频率差，就是视野。

$$
\mathrm{FOV}=\frac{1}{\Delta k}=\frac{\mathrm{BW}}{\bar\gamma G},\qquad \Delta x=\frac{\mathrm{FOV}}{N}
$$

梯度越强或带宽越窄，视野越小；采样点越多，像素越细。

来源：MIT 6.3000 Signal Processing · J. Hrabe

## 三种让剖面出错的方式

梯度反向：重建程序默认梯度为正，按正的 $k$ 排列样本。梯度若实际为负，$k$ 的符号全部反了，图像左右镜像，$+35\,\mathrm{mm}$ 处的水管出现在 $-35\,\mathrm{mm}$。

采样太慢：视野外的水频率超出 $\pm\mathrm{BW}/2$，采样后与视野内某个频率无法区分，于是被搬回视野内，位置相差整数个视野。这就是折叠。

衰减太快：记录被 $e^{-t/T_2^*}$ 加权，读出前段权重大、后段权重小。这相当于在频率上把每个点抹成宽度 $1/(\pi T_2^*)$ 的 Lorentz 峰，边缘变糊。频率编码实验的基准程序检验了镜像、折叠和离散点扩散函数，并验证了 Parseval 定理：样本的总能量与重建图像的总能量相等。

来源：MIT 6.3000 Signal Processing · J. Hrabe

## 完整例题：两根水管的读出

题目：梯度 $G=5\,\mathrm{mT/m}$，接收带宽 50 kHz，采 128 个点。一根水管中心在 −45 mm，另一根在 +35 mm。求频率偏移、视野、像素宽度和回波时刻；再把带宽降到 25 kHz，求 +70 mm 处水管在图像中的位置。这些就是频率编码实验的默认设置和“采样太慢，图像折叠”预设。

每毫米的频率差 $\bar\gamma G=42.576\times10^6\times0.005\,\mathrm{Hz/m}=212.9\,\mathrm{Hz/mm}$。−45 mm 处的偏移为 −9.58 kHz，+35 mm 处为 +7.45 kHz，都在 $\pm25\,\mathrm{kHz}$ 之内。

视野 $\mathrm{FOV}=50\,000/212.88\,\mathrm{mm}=234.9\,\mathrm{mm}$，像素 $234.9/128=1.83\,\mathrm{mm}$。采样间隔 20 µs，读出共 2.56 ms；预散相梯度占 1 ms，回波在激发后 $1+1.28=2.28\,\mathrm{ms}$。

带宽降到 25 kHz 后视野减半为 117.4 mm，只容纳 $\pm58.7\,\mathrm{mm}$。+70 mm 处的水频率为 14.9 kHz，超出 12.5 kHz 的上限，被搬到 $70-117.4=-47.4\,\mathrm{mm}$。实验中重建图像把它放在 −47.403 mm，与折叠公式的 −47.437 mm 相差不到一个像素。

来源：MIT 6.3000 Signal Processing · J. Hrabe

## 到实验里试一试

### [拖动水管，听它的音高变化](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mri-frequency-encoding/)

1. 在默认预设下读出“选中水管的频率偏移”，与 $\bar\gamma Gx$ 对照。
2. 沿梯度拖动一根水管，看频率偏移和图像中的位置怎样同步变化。
3. 选“采样太慢，图像折叠”预设，先用例题的方法预测右侧水管会出现在哪里，再对照重建剖面。
4. 选“梯度反向，图像镜像”预设，确认两根水管交换了左右位置。

## 练习与解答

1. 把梯度加倍到 10 mT/m，带宽和采样点数不变，视野和像素宽度变成多少？

   展开解答

   视野 $50\,000/(42.576\times10^6\times0.01)\,\mathrm m=117.4\,\mathrm{mm}$，像素 $117.4/128=0.917\,\mathrm{mm}$。梯度加倍，每毫米的频率差加倍，同样的带宽只够覆盖一半距离。

2. 梯度先以 +2 mT/m 打 1 ms，再以 −1 mT/m 打 2 ms。两段结束时 k 各是多少？回波出现在哪一刻？

   展开解答

   第一段结束时 $k=42.576\times10^6\times0.002\times0.001=85.15\,\mathrm{m^{-1}}$；第二段每毫秒减少 42.58，2 ms 后回到 $k=0$。回波就在 3 ms 时，梯度面积归零的那一刻。

3. 一根水管在 +80 mm，视野 117.4 mm，它会出现在哪里？若视野是 234.9 mm 呢？

   展开解答

   视野 117.4 mm 时只容纳 $\pm58.7\,\mathrm{mm}$，水管被搬到 $80-117.4=-37.4\,\mathrm{mm}$。视野 234.9 mm 时它在视野内，出现在 +80 mm，不折叠。

[上一章：自旋回波怎样找回消失的信号](https://sandboxphysics.com/zh/stories/mri-spatial-encoding/spin-echo-and-t2/) [下一章：k 空间：一行一行测出图像的傅里叶变换](https://sandboxphysics.com/zh/stories/mri-spatial-encoding/k-space-and-fourier-imaging/)

## 来源与复算范围

1. [MIT 6.3000 Signal Processing, Magnetic Resonance Imaging lecture handout (6 May 2025), data and examples from E. Adalsteinsson](https://sigproc.mit.edu/_static/spring25/lectures/MRI-handout.pdf)

   通读全文。第 9 页：质子旋磁比取 42.58 MHz/T。第 11—13 页：梯度场、相位积分，以及把 k 定义为梯度对时间的积分。第 15—18 页：k 空间数据、复图像及其幅值。第 19 页：256 行、每行 2 s，约 8.5 分钟。第 20—21 页：只保留 k 空间的偶数列。第 24—36 页：两个线圈展开折叠，包括灵敏度无法区分折叠像素的那一对线圈。本课程沿用讲义中傅里叶核的符号约定。

2. [J. Hrabe, G. Kaur and D. N. Guilfoyle, Principles and limitations of NMR diffusion measurements, Journal of Medical Physics 32(1), 34–42 (2007), doi:10.4103/0971-6203.31148](https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC3003887/)

   在 PubMed Central 通读全文。引言：Hahn 1950 年的观察、Stejskal 与 Tanner 的脉冲梯度及式 1—3。式 4—10（二项式随机游走，式 7 定义 D，式 8 与式 10 为 Einstein 关系）。式 11（Larmor 频率，质子取 2π × 42.576 MHz/T）。式 12—14（格点游走的信号、式 13 的 b 值和离散形式的 Stejskal–Tanner 公式）与式 15—17（连续极限）。“注意事项”一节：成像梯度、局部梯度、对扩散时间的依赖和组织分区。文中引用的 1950 年和 1965 年原始论文没有打开。