---
title: "扩散编码：一对梯度怎样测出水分子走了多远"
description: "两个方向相反的梯度脉冲让不动的水回到同相，移动过的水留下相位差。由随机行走推出回波的指数衰减，算出 b 值，并看膜怎样让表观扩散系数随时间变化。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/mri-spatial-encoding/diffusion-encoding/"
language: "zh-CN"
page_type: "story"
alternate_languages:
  en: "https://sandboxphysics.com/stories/mri-spatial-encoding/diffusion-encoding/"
last_modified: "2026-10-29"
---

[磁共振空间编码](https://sandboxphysics.com/zh/stories/mri-spatial-encoding/)

L3 · 第 7 章

# 扩散编码：一对梯度怎样测出水分子走了多远

Sandbox Physics · 2026-10-29

前几章用梯度给位置编码。同样的梯度还能测运动。在自旋回波的 180° 脉冲两侧各加一个相同的梯度脉冲。不动的水分子在第二个脉冲后回到原相位；移动过的水分子留下相位差，大小与位移成正比。相位差越分散，回波越弱。本章用随机行走推出回波衰减的公式，算出临床常用的 b 值，再看水被膜挡住时会发生什么。

## 开始前需要什么

需要第二章的自旋回波、第三章的梯度相位，以及高斯分布的方差。随机行走在第二节从头介绍。

- 说明脉冲梯度自旋回波为什么只对位移敏感，写出单个水分子的净相位。
- 由随机行走推出回波的指数衰减，并由梯度波形算出 b 值。
- 说明膜怎样让回波衰减变慢、让表观扩散系数随脉冲间隔变化，以及为什么必须报告扩散时间。

## 梯度对：不动的回到原位，动了的留下相位

Hrabe 等人用一张示意图说明原理：在位置 $x$ 的水分子在第一个梯度脉冲期间获得相位 $\gamma Gx\delta$，$\delta$ 是脉冲时长。等待一段时间后施加大小相同、方向相反的梯度。如果水分子在这期间没有移动，相位差被完全抵消，磁化完全恢复。

自旋回波序列里，第二个脉冲与第一个同向，但两者之间的 180° 脉冲把相位反号，效果等同于反向梯度。脉冲很短时，一个从 $x_1$ 移到 $x_2$ 的水分子最后的相位只取决于位移。定义 $q=\gamma G\delta$，它是第四章空间频率 $k$ 乘 $2\pi$：梯度对在 k 空间里先走到 $q$，再走回原点。

线圈测到的是所有水分子的平均。整体平移不改变幅值，只有位移的“分散”让相位彼此抵消。所以扩散加权的回波只对随机运动敏感。

$$
\varphi=\gamma G\delta\,(x_1-x_2)=q\,(x_1-x_2),\qquad \frac{S}{S_0}=\left|\left\langle e^{i\varphi}\right\rangle\right|
$$

窄脉冲近似下单个水分子的净相位，以及加梯度与不加梯度的回波之比。

脉冲梯度自旋回波。两个相同的梯度脉冲各持续 $\delta$，起点相隔 $\Delta$，分在 180° 脉冲两侧。不动的水在回波时回到起始相位；从 $x_1$ 移到 $x_2$ 的水留下相位 $q(x_1-x_2)$。原创示意图，未按比例。

来源：J. Hrabe · F. Szczepankiewicz and J. Hutter

## 随机行走与回波衰减

Hrabe 等人从最简单的随机行走出发：每隔 $\Delta t$，水分子以相等概率向左或向右跳 $\Delta x$。$n$ 步后位置的方差是 $2Dn\Delta t$，其中 $D=\Delta x^2/(2\Delta t)$。取 $\Delta t\to0$ 并保持 $D$ 不变，得到连续扩散的 $\sigma^2=2Dt$。

每跳一步，相位改变 $\pm q\Delta x$。$n$ 步相互独立，所以所有水分子相位因子的平均是 $\cos^n(q\Delta x)$。代入 $\Delta x=\sqrt{2D\Delta t}$ 并令 $n\to\infty$，就得到指数衰减 $e^{-bD}$，其中窄脉冲时 $b=q^2\tau$。

本课程的基准程序检验了这两步。离散行走：用 4 万个水分子模拟 20、50、200 步，与 $\cos^n$ 的差别在 1.04 个标准误差以内。连续极限：$bD=1.07$ 时，$n=10\,000$ 步给出 0.342995，极限值是 0.343009。

$$
\frac{S}{S_0}=\cos^n\!\left(\sqrt{\frac{2bD}{n}}\right)\;\xrightarrow{\,n\to\infty\,}\;e^{-bD}
$$

Hrabe 等人的式 (14) 到式 (16)。

来源：J. Hrabe · F. Szczepankiewicz and J. Hutter

## b 值：从梯度波形算出来

脉冲不够短时，水分子在脉冲期间也在移动，$b$ 要按整个波形计算。ISMRM 2019 的习题给出一般定义：$q(t)$ 是梯度到时刻 $t$ 的累积面积（乘 $\gamma$），$b$ 是 $q^2$ 对时间的积分。对两个矩形脉冲，积分分成三段：脉冲期间各贡献 $q^2\delta/3$，两脉冲之间贡献 $q^2(\Delta-\delta)$，合起来就是 Stejskal–Tanner 公式。

习题的答案还指出，“扩散时间”没有简单的定义，因为它取决于组织结构；研究扩散随时间变化的实验应当报告完整的波形，比如 $\Delta$ 和 $\delta$。三个梯度轴同时施加同一个波形时，梯度大小变成 $\sqrt3$ 倍，$b$ 变成 3 倍，约 $1.6\,\mathrm{ms/\mu m^2}$。

扩散编码实验对每个水分子逐步累加相位，不用 $b$ 公式；基准程序把实验时序数值积分，与上面的闭式结果相差不超过 $7.7\times10^{-13}$。

$$
b=\int_0^{T}q(t)^2\,dt,\qquad q(t)=\gamma\int_0^{t}G(t')\,dt'
$$

ISMRM 2019 习题 A2 的一般定义。180° 脉冲的作用记作有效梯度反号。

$$
b=\gamma^2G^2\delta^2\left(\Delta-\frac{\delta}{3}\right)
$$

矩形脉冲，$\Delta$ 是两个脉冲起点之间的间隔。

来源：F. Szczepankiewicz and J. Hutter · J. Hrabe

## 完整例题：40 mT/m、10 ms、50 ms

题目：这是 ISMRM 习题和扩散编码实验的默认设置。梯度 40 mT/m，脉冲 10 ms，间隔 50 ms，自由水 $D=2.0\,\mathrm{\mu m^2/ms}$（实验假设的值）。求 $q$、$b$、回波比、相位的标准差和两脉冲之间的典型位移。

$\gamma G=2.675\times10^8\times0.04=1.07\times10^7\,\mathrm{rad\,s^{-1}m^{-1}}$，即 $0.0107\,\mathrm{rad\,ms^{-1}\mu m^{-1}}$，与习题给的数一致。$q=0.0107\times10=0.107\,\mathrm{rad/\mu m}$：水分子移动 59 µm，相位才转一整圈。$b=0.107^2\times(50-10/3)=0.534\,\mathrm{ms/\mu m^2}=534\,\mathrm{s/mm^2}$；习题答案是 0.53。

回波比 $e^{-bD}=e^{-1.0686}=0.3435$。相位近似高斯分布，方差 $2bD$，标准差 $\sqrt{2.137}=1.46\,\mathrm{rad}$。沿梯度的典型位移 $\sqrt{2D\Delta}=\sqrt{200}=14.1\,\mathrm{\mu m}$，只有一个细胞大小，却足以让回波衰减到三分之一。

实验用 6000 个水分子模拟，读出回波比 0.356，标准误差 0.012，与 0.3435 相差约一个标准误差；拟合 9 个梯度强度得到的表观扩散系数是 $1.94\,\mathrm{\mu m^2/ms}$。基准程序用 2 万个水分子在 6 个梯度强度下检验，最大偏差 0.64 个标准误差。

来源：F. Szczepankiewicz and J. Hutter · J. Hrabe

## 膜之间的水：回波衰减变慢

Hrabe 等人回顾说，Tanner 和 Stejskal 最早提出改变两脉冲间隔来测受限扩散：被细胞壁挡住的水，信号衰减比自由水弱，他们据此估计了酵母细胞的直径。Hrabe 等人还指出，扩散时间极短时多数分子碰不到细胞壁，接近自由扩散；扩散时间越长，分子越能探到复杂的结构，所以不同扩散时间的结果不能混在一起，扩散时间必须报告。

扩散编码实验用一组相距 $L$ 的平行膜模拟这一点，水分子碰到膜就反射。默认梯度下 $L=20\,\mu\mathrm m$：回波比从自由水的 0.3435 升到 0.739，表观扩散系数降到 0.588。把间隔拉长到 90 ms，自由水的回波比会降到 0.137，膜之间的水只降到 0.713，表观扩散系数只剩 0.367。膜距 5 µm 时，回波比 0.995，几乎不衰减。

受限时单个指数不再成立。实验把最大的可用 $b$ 留出来，用其余点拟合的指数去预测它：自由水的偏差是 2.5%，膜之间是 −5.1%，等得更久时是 −12.6%。等待时间很长时，水分子在两次脉冲时的位置相互独立，各自均匀分布在两膜之间，于是回波比趋于 $\operatorname{sinc}^2(qL/2)$。这是本课程自己的推导；基准程序用 $L=10\,\mu\mathrm m$、0.2 ms 窄脉冲、100 ms 间隔检验，最大差 0.0045，位移均方根 4.081 µm，极限值 $L/\sqrt6=4.082\,\mu\mathrm m$。

$$
\frac{S}{S_0}\;\xrightarrow{\,\Delta\gg L^2/D\,}\;\left[\frac{\sin(qL/2)}{qL/2}\right]^2
$$

窄脉冲、反射膜、等待时间远长于穿过两膜所需时间时的极限。

来源：J. Hrabe · F. Szczepankiewicz and J. Hutter

## 到实验里试一试

### [让梯度对测出水走了多远](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mri-diffusion-encoding/)

1. 在“自由水，临床常用 b 值”预设下，看相位分布图随时间展开，读出回波比 0.356 和 b 值 $534\,\mathrm{s/mm^2}$。
2. 选“梯度加倍：b 变四倍”。预测：回波比降到 $e^{-4.27}$，约 0.014。实验显示约 0.03，与标准误差 0.013 对照，想一想为什么接近零的回波比会偏大。
3. 选“膜之间的水”，再选“等得更久：膜的影响更大”。预测：b 增大，回波比几乎不变，表观扩散系数下降。对照读数 0.588 和 0.367 检验。

## 练习与解答

1. 只把脉冲间隔从 50 ms 改成 15 ms，$b$ 和自由水的回波比是多少？

   展开解答

   $b=0.107^2\times(15-10/3)=0.134\,\mathrm{ms/\mu m^2}$，回波比 $e^{-0.267}=0.766$。实验的“两个脉冲靠得很近”预设读出 0.760，标准误差 0.008。

2. 梯度加倍后，理论回波比是 0.0139，实验读出约 0.030。为什么？

   展开解答

   回波比是复数平均值的幅值。6000 个水分子的平均有大约 0.01 量级的随机残余，取幅值后不会抵消成零，所以真实值很小时读数偏大。实验拟合表观扩散系数时只用回波比大于 0.15、且大于 4 个标准误差的点，就是为了避开这个噪声底。

3. 膜距 $L=5\,\mu\mathrm m$、等待时间足够长时，两次脉冲之间位移的均方根是多少？

   展开解答

   两个独立的均匀分布之差，方差 $2\times L^2/12=L^2/6$，均方根 $5/\sqrt6=2.04\,\mu\mathrm m$。实验的“排得很密的膜”预设读出 2.05 µm。

[上一章：欠采样重建：为什么随机跳行能补救，规则跳行不能](https://sandboxphysics.com/zh/stories/mri-spatial-encoding/undersampling-and-regularized-reconstruction/) [下一章：读 Lustig、Donoho 和 Pauly 2007 年的 Sparse MRI 论文](https://sandboxphysics.com/zh/stories/mri-spatial-encoding/reading-lustig-2007/)

## 来源与复算范围

1. [J. Hrabe, G. Kaur and D. N. Guilfoyle, Principles and limitations of NMR diffusion measurements, Journal of Medical Physics 32(1), 34–42 (2007), doi:10.4103/0971-6203.31148](https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC3003887/)

   在 PubMed Central 通读全文。引言：Hahn 1950 年的观察、Stejskal 与 Tanner 的脉冲梯度及式 1—3。式 4—10（二项式随机游走，式 7 定义 D，式 8 与式 10 为 Einstein 关系）。式 11（Larmor 频率，质子取 2π × 42.576 MHz/T）。式 12—14（格点游走的信号、式 13 的 b 值和离散形式的 Stejskal–Tanner 公式）与式 15—17（连续极限）。“注意事项”一节：成像梯度、局部梯度、对扩散时间的依赖和组织分区。文中引用的 1950 年和 1965 年原始论文没有打开。

2. [F. Szczepankiewicz and J. Hutter, Diffusion MRI acquisition basics, problems and answers, ISMRM 2019 educational session](https://www.ismrm.org/dmff-uploads/2s.pdf)

   通读全文。问题 A1 及解答（式 2—4）：两个 40 mT/m、10 ms、起点相隔 50 ms 的脉冲给出 0.53 ms/µm²，三个轴同时施加时 b 变为三倍。问题 A2 及解答（式 1、式 5—7）：b 是 q 平方对时间的积分，以及矩形脉冲的闭式结果。B 部分：自旋回波扩散序列的回波时间分配。文中 γ 取 2.68 × 10⁸ 每秒每特斯拉。