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title: "从分子运动到一条有宽度的谱线"
description: "先数处于上能级的分子，再把热运动和有限通道加入计算，推导透明谱线的形状与面积。"
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language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/molecular-line-cube/molecules-gaussian-lines-and-thin-emission/"
last_modified: "2026-11-04"
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[分子谱线立方体：天空、速度与隐藏的深度](https://sandboxphysics.com/zh/stories/molecular-line-cube/)

分子谱线立方体 · L1

# 从分子运动到一条有宽度的谱线

Sandbox Physics · 2026-11-04

透明气体的谱线面积，来自沿视线所有发光分子的贡献；谱线有多宽，则取决于这些分子的速度分布。把这两件事分开，才能理解为什么峰变矮不一定意味着分子变少。

## 开始前需要什么

读过速度通道的概念篇，会读频率、速度和强度坐标。下文会从面积归一化解释高斯函数，不要求预先会辐射传输。

## 先决定哪些分子能够发光

设想每个分子只有上下两个能级。一次向下跃迁放出一个光子，光子的能量等于两级的能量差。处在下能级的分子没有这一次自发辐射可供发出，因此总分子数和能立即发光的分子数需要分开。

用$p_u$表示上能级的分子比例，$g_u,g_l$表示两级的简并度，也就是每级包含多少个具有相同能量的状态。局部热力学平衡（LTE）假设给出Boltzmann比例。它是对能级占据的规定；我们尚未计算真实气体的碰撞是否足以维持它。

Lab采用自有双能级教学物种：频率为$345\,\mathrm{GHz}$，简并度之比为三，分子质量为28个原子质量单位。它便于把完整链条算清楚，真实CO的许多转动能级另在原生资料教程中处理。

$$
E_u-E_l=h\nu_0,\qquad p_u=\frac{g_u e^{-h\nu_0/(kT)}}{g_l+g_u e^{-h\nu_0/(kT)}}
$$

能量差决定光子的频率；温度和简并度共同决定上能级占比。这里的温度用开尔文。

对应阅读：Mangum & Shirley, How to Calculate Molecular Column Density, arXiv 1501.01703v4 (2017) · Leiden Atomic and Molecular Database, fixed CO data file

## 一群分子怎样把细线铺宽

即使一团气体整体静止，分子也不会静止。沿视线的热速度有一个分布：多数靠近平均值，少数偏得很远。在给定温度下，一维热速度呈高斯分布。

令$v$为远离观察者的速度，$v_0$为整团气体的平均远离速度。把轮廓的面积规定为一，便能让分子数负责总辐射量，速度分布只负责把这些辐射放到哪些速度上。$\phi_v$的单位因此是速度单位的倒数。

本模型还用一个规定的微观非热高斯宽度$\sigma_{\rm nt}$表示未分辨运动。两种独立高斯分布相卷积，方差相加。这一处方没有生成湍流场，也不能从一个线宽反推出唯一的湍流机制。

在20开尔文下，质量为28个原子质量单位的热宽度约为$77.1\,\mathrm{m\,s^{-1}}$；加入$150\,\mathrm{m\,s^{-1}}$的非热宽度，总标准差为$168.6\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，半高全宽约为$397\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。半高全宽是找到峰高一半的两点后求间距，不等于标准差。

$$
\phi_v(v)=\frac{e^{-(v-v_0)^2/(2\sigma^2)}}{\sqrt{2\pi}\sigma},\quad\int\phi_v\,dv=1,\quad\sigma^2=\frac{kT}{m_{\rm mol}}+\sigma_{\rm nt}^2
$$

积分表示把所有速度上的贡献相加。高斯的归一化保证展宽不会凭空增加光子。

$$
\mathrm{FWHM}=2\sqrt{2\ln2}\,\sigma
$$

把高斯值设为峰值的一半，取对数，再求左右两根的距离，就得到此式。

对应阅读：Mangum & Shirley, How to Calculate Molecular Column Density, arXiv 1501.01703v4 (2017)

## 透明视线把微小贡献相加

先单独讨论自发辐射，并假定吸收可忽略、背景为零。$A_{ul}$是上能级分子的自发跃迁率，单位为每秒；上能级数密度为$n_u$。各方向等概率辐射，因此每单位立体角的发射率有一个球面因子。

比强度记录每单位投影面积、立体角和频率内的辐射功率。沿长度为$ds$的一小段，强度增加$j_\nu ds$。把整条视线相加，再把频率相加，归一化轮廓的积分就消掉，留下上能级柱数密度$N_u$。柱数密度数的是单位投影面积后面有多少分子，单位为每平方米。

这条简式解释了透明线的面积为什么能携带分子数信息。它还没有把背景吸收、光学厚度和未知激发温度消去；实际反演必须逐一处理这些条件。下一篇会让发射与吸收共同进入同一条视线。

$$
j_\nu=\frac{h\nu_0 A_{ul}n_u}{4\pi}\phi_\nu,\qquad \int I_\nu\,d\nu=\frac{h\nu_0 A_{ul}N_u}{4\pi}
$$

左式单位为每体积、立体角、频率的辐射功率；右式是频率积分后的比强度，保留每立体角的含义。

对应阅读：Mangum & Shirley, How to Calculate Molecular Column Density, arXiv 1501.01703v4 (2017) · Sandbox Physics independent molecular-line science producer and reader package

## 接收机保存的是区间平均值

采用低速radio约定，远离对应频率下降：$v=c(1-\nu/\nu_0)$。从频率改写到速度时，归一化轮廓也要变：$\phi_\nu=(c/\nu_0)\phi_v$。漏掉这个换元因子，线面积的单位和数值都会出错。

有限通道把传输后的亮度在一个区间内求平均。保存的像素值仍然是亮度，不是亮度乘速度；计算线面积时才乘通道宽度。合并两个等宽通道，应取平均值，并把新通道宽度加倍。

做一个完整例题：一条透明高斯亮温线的峰值为1开尔文，标准差为$0.250\,\mathrm{km\,s^{-1}}$。面积为峰高乘$\sqrt{2\pi}\sigma$，得到$0.6267\,\mathrm{K\,km\,s^{-1}}$。若柱数和激发保持不变，把宽度加倍，峰值便减半，面积保持原值。这里给定的是示例亮温轮廓，尚未用它证明温度就是1开尔文。

$$
\overline T_i=\frac{1}{\Delta v_i}\int_{v_i^-}^{v_i^+}T(v)\,dv,\qquad W=\sum_i\overline T_i\Delta v_i
$$

平均亮度与通道面积是两种量；宽度是把前者加回后者的权重。

对应阅读：Mangum & Shirley, How to Calculate Molecular Column Density, arXiv 1501.01703v4 (2017) · Sandbox Physics independent molecular-line science producer and reader package

## 练习与解释性答案

1. 峰高相同的两条透明高斯线，第二条宽度是第一条的两倍。它们的线面积是否相同？

   展开解释

   第二条面积是第一条的两倍。只有同时固定分子柱数、激发和透明条件时，展宽才要求峰值相应下降；题目固定峰高，已经改变了总辐射量。

2. 为什么不能把频率归一化轮廓$\phi_\nu$直接当作速度归一化轮廓使用？

   展开解释

   两种积分的微元不同，$|d\nu|=(\nu_0/c)dv$。要让两种表示都积分为一，轮廓值必须乘对应的Jacobian；其单位分别是每赫兹和每单位速度。

## 动手检验预测

### [先追踪线面积，再追踪峰](https://sandboxphysics.com/zh/labs/molecular-line-cube/)

1. 选透明预设，沿不同视线读谱。区分分子柱数变化造成的面积差与旋转造成的峰位置变化。
2. 保持当前倾角，把转速降到零。预测哪些谱的峰会对齐，再比较积分图是否仍有中心到边缘的变化。
3. 在独立科学包中用同一透明柱数比较两个微观宽度，分别积线面积；此实验属于离线计算，Lab没有任意微观宽度滑块。

[上一篇：速度通道为什么切不出云的真实深度](https://sandboxphysics.com/zh/stories/molecular-line-cube/why-velocity-channels-are-not-depth-slices/) [下一篇：气体怎样挡住自己的谱线](https://sandboxphysics.com/zh/stories/molecular-line-cube/opacity-and-the-planck-line-source/)

## 来源与计算范围

1. [Mangum & Shirley, How to Calculate Molecular Column Density, arXiv 1501.01703v4 (2017)](https://arxiv.org/abs/1501.01703v4)

   固定v4：传输与亮度方程13—32、配分函数第7节、近似第11—14节及附录A—C。高斯宽度从归一化轮廓推导，另说明A4/A5的印刷问题；不据此声称求出了非LTE。

2. [Leiden Atomic and Molecular Database, fixed CO data file](https://home.strw.leidenuniv.nl/~moldata/CO.html)

   可选本地读者流程检查原生表的精确身份。表中41个基振动态能级及谱学参数，与Lab的自有双能级物种分开；这里没有求解或再发布碰撞速率表。

3. [Sandbox Physics independent molecular-line science producer and reader package](https://sandboxphysics.com/stories/molecular-line-cube/materials/molecular-line-cube-reader-science-v1.zip)

   自有合成输入、独立频率空间和连续射线参照，以及保留的分辨率失败。原生读者流程在本地取得具名源文件；包内没有观测图、原生表或App/Node引擎。