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title: "墙让每颗小球变慢，也让泳者转向"
description: "无滑移壁面给每个点力都添上镜像流。先算墙让一颗小球慢多少，再读三球泳者怎样被困住、逃开或贴墙滑行。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/microswimming/walls-change-the-flow/"
last_modified: "2026-10-29"
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[低雷诺数游动 · 边学边做实验](https://sandboxphysics.com/zh/stories/microswimming/)

L3 · 第 6 章

# 墙让每颗小球变慢，也让泳者转向

墙面上的流体必须静止，于是每个点力都在墙后多出一份镜像流，最早由 Blake 求出。靠近墙时，每颗小球都变慢，朝墙运动又比沿墙运动慢得更多。小球之间还会经由墙面互相影响，泳者因此可能转向。Daddi-Moussa-Ider 等人发现三种结局：正对墙面被困住，逃回开阔流体，或者贴着墙滑行，同时缓慢起伏。

Sandbox Physics · 2026-10-29

这一章

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开始前

第二章和第四章。镜像系统直接引用论文，计算只要分数运算。

## 镜像让墙面保持静止

在开阔流体里，点力的流动随距离衰减，碰不到任何东西。靠近墙时，同一股流会带着墙面上的流体滑动，无滑移条件不允许这样。Lauga 和 Powers 把补救办法称作镜像法，和静电学里的做法相似，难处在于无滑移条件要管住速度的每一个分量。

Blake 求出了平面墙旁点力的镜像系统。Daddi-Moussa-Ider 等人在方程 5 里引用了它：先写出实际间距下的自由空间流，减去墙后镜像点发出的自由空间流，再在镜像点上加一个力偶极项和一个源偶极项，权重由力离墙的高度决定。这门课没有读 Blake 的原文，下面的形式取自他们的方程 5。

$$
\mathbf{G}(\mathbf{r},\mathbf{r}_{0})=\mathbf{G}^{\mathrm{O}}(\mathbf{s})-\mathbf{G}^{\mathrm{O}}(\mathbf{R})+2z_{0}^{2}\,\mathbf{G}^{\mathrm{D}}(\mathbf{R})-2z_{0}\,\mathbf{G}^{\mathrm{SD}}(\mathbf{R})
$$

完整例题

## 墙让一颗小球慢多少

把镜像流放回小球自身处求值，只保留半径与高度之比的最低阶。球心离墙一定高度的小球，沿墙运动时，迁移率比自由时少了这个比值的十六分之九；朝墙运动时少得更多，是这个比值的八分之九，正好两倍。

离墙十个半径时，沿墙迁移率是自由值的 0.944，垂直方向是 0.889。离墙五个半径时，分别是 0.889 和 0.775。离墙两个半径时，最低阶给出 0.719 和 0.438；靠得这样近，高阶项已经要紧，我们还没有拿这些数去和精确解比较。

垂直方向减得更多，是因为把小球下方缝隙里的流体挤出去，比让它沿缝隙滑动更费劲。对泳者来说，高度不同的小球，面对同样的力反应也不同。泳者一倾斜，两端就不在同一高度，各颗小球走得不一样快，墙就能让整个身体转起来。

$$
\begin{aligned}\frac{\mu_{\parallel}}{\mu_{0}}&\approx1-\frac{9}{16}\,\frac{a}{h},\qquad\frac{\mu_{\perp}}{\mu_{0}}\approx1-\frac{9}{8}\,\frac{a}{h}\\h=5a&:\qquad\frac{\mu_{\parallel}}{\mu_{0}}\approx0.889,\qquad\frac{\mu_{\perp}}{\mu_{0}}\approx0.775\end{aligned}
$$

## 墙边的三种路径

Daddi-Moussa-Ider 等人让两条手臂做简谐伸缩，相差四分之一周期，小球半径和两个振幅都取平均臂长的十分之一（方程 13 和 24）。远离墙时，泳者以他们方程 27 给出的速度前进，其中含有小球尺寸的一阶修正。靠近墙时，他们用多极展开法算迁移率，这种方法贴近墙面也算得准；他们还加了一个软排斥力，免得小球钻进墙里，并说明检查过适度改动排斥参数的情形。

结果分三种。出发时朝墙倾斜超过约 0.3 弧度，泳者会被困住：它弯着身子靠近墙，转到身体轴线垂直于墙，然后悬停在某个固定高度。从一个臂长的高度放出，它最后停在约 1.12 个臂长处。出发时背向墙倾斜超过约半个弧度，泳者就逃开了，像在开阔流体里一样直线前进。出发高度约一个臂长、姿态接近平行的一片区域里，它贴着墙滑行，高度和角度缓慢起伏。

作者指出，这种起伏比划水慢好几个数量级。他们图中画的是按划水周期平均后的位置和角度，读这些路径时，正该用这个尺度。

## 两篇论文对远场的分歧

离墙很远时，墙的影响衰减得多快？Zargar、Najafi 和 Miri 按臂长与高度之比展开，2009 年论文的摘要给出一个随高度平方反比下降的墙致四极力。Daddi-Moussa-Ider 等人重新算了这个问题，发现墙引起的平动速度随高度三次方反比下降，转动角速度随四次方反比下降，并说明早先的远场衰减报告有误。

读者可以用对称性检验这个分歧。Lauga 和 Powers 指出，带力偶极的泳者，不论推进型还是拉动型，墙引起的速度随高度平方反比下降。Golestanian 和 Ajdari 指出，三球泳者两条手臂平均长度相等时，力偶极相互抵消，远场的领头项是四极，比偶极多衰减一次方。Daddi-Moussa-Ider 等人研究的泳者正是这种对称的，按对称性推断，领头项应当随高度三次方反比下降。对称性检验支持他们的结果，具体系数要看他们论文第 IV 节的计算。

## 贴壁实验补上了什么

我们的计算：贴壁实验沿用 Daddi-Moussa-Ider 等人的泳者，小球半径一微米，臂长十微米，两臂相差四分之一周期。墙只保留远场部分，也就是小球之间的 Blake 镜像流，加上每颗小球自身迁移率的最低阶修正。泳者与墙平行时，每周期的转角随高度的四次方衰减；在十二倍臂长处，它和论文的远场公式（方程 28c）相差不到百分之一。

从十微米高处水平出发，模型泳者贴着墙滑行，高度在约六到十微米之间起伏。从二十微米出发，它反而转向墙，约 4800 个周期后到达模型的近壁极限。朝外倾斜 26 度出发，它逃离墙面；从 7.5 微米出发，它几乎在同一高度平稳滑行。只要有小球进入离墙两个半径以内，运行就停下。论文里的悬停状态要靠近壁迁移率和软排斥力，这个结局请以论文为准。

带着问题动手

## 先预测，再改变，最后解释

1. Lauga 和 Powers 说，扇贝定理在墙边照样成立。先预测：两条手臂一起来回伸缩、没有相位差时，“沿壁前进距离”会怎样变化？
2. 运行“原路往返，贴壁也游不动”，看“沿壁前进距离”。再依次运行“贴着壁面滑行”“起点更高，反而转向壁面”和“朝外起步，逃离壁面”，比较“离壁高度”和“朝壁倾角”。
3. 解释为什么划水路径围成一个圈时，墙会让泳者转向；而在同一面墙边原路往返，泳者仍旧留在原地。

[把泳者放到墙边](https://sandboxphysics.com/zh/labs/swimmer-near-wall/)

贴壁实验只保留墙的远场项，小球离墙进入两个半径以内时，运行就停下。

## 试着自己解释

### 1. 一颗小球离墙四个半径。按最低阶，墙让它沿墙和朝墙的迁移率各降到原来的多少？

展开答案与解释

沿墙方向是一减六十四分之九，约 0.86；朝墙方向是一减三十二分之九，约 0.72。

### 2. 贴着无滑移墙面做往复划法，能有净前进吗？

展开答案与解释

留在原地。扇贝定理的证明只用到斯托克斯方程的线性和与时间无关两点，有墙时两点照样成立，前后两半像在开阔流体里一样相互抵消。

### 3. 三球泳者内部的力都沿身体轴线，墙为什么还能让它转向？

展开答案与解释

泳者一倾斜，各颗小球就处在不同高度。墙对每颗小球的减速各不相同，既有直接作用，也有经由邻球镜像流的作用。身体各处速度不等，合起来就是转动。

### 4. 一个带力偶极的推进型泳者和一个对称三球泳者，离墙同样远。墙引起的漂移各随高度怎样变化？

展开答案与解释

推进型泳者的漂移随高度平方反比下降；对称泳者的漂移随高度三次方反比下降，因为它的力偶极抵消了。离墙远时，对称泳者感受到的墙要弱得多。

## 可以放在旁边读的来源

1. [Lauga & Powers, The hydrodynamics of swimming microorganisms, arXiv:0812.2887v1 (2008); Reports on Progress in Physics 72, 096601 (2009)](https://arxiv.org/abs/0812.2887v1)

   读的是预印本。第 3、4 节给出斯托克斯方程、点力流场和扇贝定理的证明；第 5 至 7 节讲阻力系数理论、柔性细丝、壁面和同步。

2. [Golestanian & Ajdari, Three-sphere low Reynolds number swimmer revisited, arXiv:0711.3700v1 (2007); Physical Review E 77, 036308 (2008)](https://arxiv.org/abs/0711.3700v1)

   读的是预印本第 1 版，没有核查期刊版。用到方程 1 至 6、9、12、13、16，第 IV 节的远场流动，以及脚注 23。

3. [Daddi-Moussa-Ider, Lisicki, Hoell & Löwen, Swimming trajectories of a three-sphere microswimmer near a wall, arXiv:1801.01162v2 (2018)](https://arxiv.org/abs/1801.01162v2)

   读的是预印本第 2 版，没有核查期刊版。用到方程 4 至 7、13、24、27，三类轨迹，以及远场讨论。

4. [Zargar, Najafi & Miri, Three-sphere low-Reynolds-number swimmer near a wall, Physical Review E 80, 026308 (2009)](https://doi.org/10.1103/PhysRevE.80.026308)

   只读了摘要。这里引用它，是因为后来的论文重新检查了其中的远场结论。

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