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title: "两个泳者靠得近时，划水的时间差决定它们怎样互相推拉"
description: "Pooley 等人发现，两个相邻泳者主要通过划水的时间差互相影响。跟着论文看吸引、排斥和振荡。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/microswimming/two-swimmers-keep-time/"
last_modified: "2026-10-29"
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[低雷诺数游动 · 边学边做实验](https://sandboxphysics.com/zh/stories/microswimming/)

L4 · 第 8 章

# 两个泳者靠得近时，划水的时间差决定它们怎样互相推拉

对称泳者按周期平均的流场，在远处很弱，随距离三次方反比衰减。Pooley、Alexander 和 Yeomans 发现，两个这样的泳者之间，起主导作用的是另一项，它取决于两者的划水在时间上怎样对齐。同相的泳者，视起点不同，可能相互吸引、排斥、振荡，或者沿平行路径前进；错开半个周期，这一项就反号。这里每次划水都踩着固定节拍，结论针对预先规定好的相位。

Sandbox Physics · 2026-10-29

这一章

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开始前

第四、五章，以及第六章末尾的远场论证。论文里的公式用文字转述，只代入算一个。

## 近处像泵，远处很弱

Pooley、Alexander 和 Yeomans 研究的三球泳者，前后两条手臂的划水幅度可以不同。按周期平均后，它的远场流动是一组点力奇异解的叠加。两个幅度相等时，把划水在时间上倒放、再把泳者前后对调，看起来和原来一样，论文称之为 TP 不变性。这时平均流场里的偶极部分消失，远场随距离三次方反比衰减，与 Golestanian 和 Ajdari 讨论的对称情形一致。

靠近泳者时，平均流场是另一番样子。中间小球附近的流体向后流：泳者像一台泵，把前方的流体送到身后，自己也就向前走了。论文的远场解析式和数值流场相比，在大约三个身长以外，误差在百分之十以内。

## “死”项和“活”项

现在在旁边再放一个泳者，作者把两个泳者叫作 Alice 和 Bob。Bob 对 Alice 的影响分两部分。“死”项假定 Bob 只靠周期平均后的流场带着 Alice 走、让她转向，它只取决于 Bob 的流场，形式就是预期的偶极。它的大小正比于 Bob 前后两个幅度的乘积，再乘上两者之差，幅度相等时就消失。

“活”项来自两个泳者同时在动。Bob 的流场在 Alice 划水的某些时刻推她的小球；这些瞬时推动相乘，平均之后还留下一点余量。它的大小经由一个相位函数取决于两者划水的相对相位，论文在图 3 里画出了这个函数。方程 8 比较了两项，结论是“活”项占主导。

$$
\Delta\mathbf{x}_{A}^{\mathrm{dead}}\propto\frac{a^{2}\,\xi_{B}\,\xi_{F}\,(\xi_{B}-\xi_{F})}{D^{2}\,r^{2}},\qquad\Delta\mathbf{x}_{A}^{\mathrm{dead}}=\mathbf{0}\ \ \mathrm{for}\ \ \xi_{B}=\xi_{F}
$$

完整例题

## 划多少下才会碰上

论文图 4(i) 让 Alice 从原点出发，Bob 在她上方五个臂长处，两者取向一致、相位相同。所有长度都以臂长为单位：小球半径十分之一，划水幅度十分之三。论文给出每周期的步长：十二分之七乘以半径，乘以幅度平方，再除以臂长平方，约 0.005 个臂长。

这正是第五章的小圈面积律。两条手臂都等于臂长时，系数是十二分之七乘以半径、再除以臂长平方，圈是边长等于幅度的正方形。算出来每步 0.00525 个臂长。两个泳者碰面前要走约 25 个臂长，也就是约 4800 个周期，与论文所说的约五千个周期相符。两者靠得太近、点力近似失效时，轨迹就画到头了。

再代入实际尺寸。手臂十微米，小球一微米，划水幅度三微米，手臂伸缩速度每秒三十微米，一个周期 0.4 秒，4800 个周期约 32 分钟。这段时间里，水中一颗一微米的小球靠热运动沿任一方向约漂 28 微米；三球身体漂得少一些，也仍有好几个臂长。这是我们用第二章的扩散系数做的估计，它说明在这个尺度上，成对效应积累得很慢，热运动是它的有力对手。

$$
\Delta=\frac{7}{12}\,\frac{a\,\xi^{2}}{D^{2}}=\frac{7}{12}\times0.1\times0.09\,D\approx0.00525\,D,\qquad N\approx\frac{25\,D}{\Delta}\approx4.8\times10^{3}
$$

## 相位决定正负

幅度相等、相位相同时，图 4(a) 把 Bob 的出发位置分成四个区域：吸引、排斥、振荡和平行路径。除了上面那对互相吸引的泳者，互相排斥的那对各自转过约七度，大部分在三千个周期内完成。振荡区里，两个泳者相对摆动，一次摆动约一万个周期，上面还叠着一个缓慢的漂移。作者把振荡归于“活”项的转动部分，把漂移归于它的平动部分。

让两个泳者错开半个周期，“活”项就反号。图 4(b) 里，吸引区变成排斥区；振荡区变成一对对平行路径，路径相对游动方向略微倾斜，两个泳者沿着它们摆动，正好差半个周期。相差四分之一周期时，即图 4(c)，最低阶的“活”项为零。伙伴在前方和在后方，结果仍然不同，作者认为这说明起主导作用的依旧是“活”项。

幅度不等时，同相振荡就失去了完美的周期性。前臂幅度小一些，振荡越摆越大，最后两个泳者分道扬镳。前臂幅度大一些，振荡越摆越小，两者渐渐靠拢，作者据此推测，同相驱动的悬浮液可能自发排成链。他们也提醒，两个泳者相互吸引，还不足以断定更大的群体会聚集成团。

## 双泳者实验复现了什么

我们的计算：双泳者实验沿用上面这组尺寸，两个泳者共六颗小球，全部按点力耦合。两者并排相距五个臂长、划水同步，会互相转向，约 2700 个周期后相遇。划水幅度为三成臂长时，完整点力模型给出的每周期步长是 0.0824 微米，约为小圈估计的 1.6 倍。按这个步长，25 个臂长约需 3000 个周期，和实验里的数接近。论文为这些轨迹给的是小圈步长，五千这个数是怎样算出来的，我们还没有追查。

相差半个周期时，同一对泳者互相转开，和“活”项变号的预测一致。两者相距很远时，Alice（实验里叫甲）每周期转角随 Bob（实验里叫乙）所在方位而变。方位角从 Alice 的游动方向量起，转角随它变化的形状，与 Pooley 等人最低阶结果的角度形状相同。实验把两条曲线画在一起。

$$
\Delta\theta_{A}\propto\sin\alpha\left(3-30\cos^{2}\alpha+35\cos^{4}\alpha\right)
$$

## 固定节拍与真正的同步

这篇论文里，每个泳者都踩着各自固定的节拍划水。计算展示的是某个给定相位会把轨迹变成什么样，相位本身始终不变。Pooley 等人指出，外部驱动的人工泳者可以严格保持同相，他们的预测因此可以检验；自主游动的生物，相位会随时间漂移，也许最后会锁定。

Lauga 和 Powers 的综述讨论了相位什么时候会锁定。Taylor 证明，波形相同的两张游动薄片，同相摆动时耗散最小。后来的模拟发现，波形固定的薄片会一直漂移，直到正好同相或正好反相，两种状态都稳定。真实鞭毛的波形会随邻居施加的力而改变，这种反馈有望带来完美的相位锁定。旋转的螺旋也类似：完全刚性的螺旋同步不起来，需要一定的柔性。研究同步的模型，就要让每一次划水都能随所受的力调整。

带着问题动手

## 先预测，再改变，最后解释

1. 两个一模一样的泳者并排出发，相距五个臂长，划水同步。先预测：它们的间距会变小还是变大？其中一个的划水提前半个周期，又会怎样？
2. 运行“同步并排：越游越近”，看“横向距离”和“已划水周期数”。再运行“反相并排：越游越远”，比较“甲的朝向”和“乙的朝向”。
3. 用“活”项解释：为什么把一方的划水错开半个周期，结果就反过来。

[让两个泳者同步或错拍](https://sandboxphysics.com/zh/labs/swimmer-pair-phase/)

双泳者实验在无边界的水里耦合两个泳者的六颗小球，两者的划水相位保持固定。

## 试着自己解释

### 1. Pooley 的泳者小球半径 0.1、划水幅度 0.3（以臂长为单位）。算出每周期步长，以及走完 25 个臂长要多少个周期。

展开答案与解释

十二分之七乘 0.1 再乘 0.09，得每周期 0.00525 个臂长。走 25 个臂长约要 4800 个周期。

### 2. 前后幅度相等的泳者，“死”项为什么消失？

展开答案与解释

“死”项正比于两个幅度之积乘以两者之差。幅度相等，差为零，周期平均流场里也就没有偶极部分。

### 3. 两个相同的同相泳者互相吸引。把其中一个错开半个周期，论文预言什么？

展开答案与解释

“活”项反号，原本吸引的构型变成排斥。

### 4. 这些计算能展示两个泳者自己步调一致起来吗？

展开答案与解释

相位是事先给定的输入，相位锁定在这些计算的范围之外。Lauga 和 Powers 指出，同步需要划法或波形能随流体力调整，还需要一定的柔性。

## 可以放在旁边读的来源

1. [Lauga & Powers, The hydrodynamics of swimming microorganisms, arXiv:0812.2887v1 (2008); Reports on Progress in Physics 72, 096601 (2009)](https://arxiv.org/abs/0812.2887v1)

   读的是预印本。第 3、4 节给出斯托克斯方程、点力流场和扇贝定理的证明；第 5 至 7 节讲阻力系数理论、柔性细丝、壁面和同步。

2. [Golestanian & Ajdari, Three-sphere low Reynolds number swimmer revisited, arXiv:0711.3700v1 (2007); Physical Review E 77, 036308 (2008)](https://arxiv.org/abs/0711.3700v1)

   读的是预印本第 1 版，没有核查期刊版。用到方程 1 至 6、9、12、13、16，第 IV 节的远场流动，以及脚注 23。

3. [Pooley, Alexander & Yeomans, Swimming with a friend at low Reynolds number, arXiv:0705.3612v1 (2007); Physical Review Letters 99, 228103 (2007)](https://arxiv.org/abs/0705.3612v1)

   读的是预印本第 1 版，没有核查期刊版。用文字转述方程 1、方程 4 至 8、图 3 和图 4 的轨迹，没有数字化任何曲线。

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