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title: "三颗小球、两条手臂和一张迁移率矩阵"
description: "Najafi 与 Golestanian 的泳者可以归结为三个线性方程。先解出某一瞬间，再沿四步划水走完一整圈。"
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language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/microswimming/three-spheres-and-a-mobility-matrix/"
last_modified: "2026-10-29"
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[低雷诺数游动 · 边学边做实验](https://sandboxphysics.com/zh/stories/microswimming/)

L2 · 第 4 章

# 三颗小球、两条手臂和一张迁移率矩阵

每颗小球的速度，等于它自身的斯托克斯阻力响应，加上另外两颗小球点力流场的贡献。再加上泳者不受外力的条件，以及规定好的两条手臂伸缩速率，就得到三个未知力的三个线性方程。对等大的小球来说，前进全部来自小球之间的耦合；把耦合关掉，质心就纹丝不动。

Sandbox Physics · 2026-10-29

这一章

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开始前

第二章的斯托克斯阻力和点力流场，第三章的形状空间路径。要解三个线性方程，手算或用计算器都行。

## 纸面上的泳者

Najafi 和 Golestanian 在 2004 年提出这个泳者：三颗等大的小球排在一条直线上，用两条可以伸缩的手臂相连。手臂当作细杆，不受阻力。论文把中间那颗叫 1 号球，两端叫 2 号和 3 号；这门课从左到右编为 1、2、3 号，中间那颗是 2 号。

他们的划法分四步：缩左臂，缩右臂，伸左臂，伸右臂。在两臂长度构成的平面上，每个周期画出一个正方形。手臂长十微米、划水幅度四微米时，每条手臂在十微米和六微米之间变化。

直线上的位置从左往右计。泳者的位置取三颗小球的质心。一整圈下来，每颗小球的净位移都相同，所以参考点选哪里，只影响周期内部的运动，不影响每周期走的距离。

## 三个力，三个方程

每颗小球都用某个力推着流体。它的速度等于这个力乘以自身的斯托克斯迁移率，再加上另外两颗小球在它球心处造成的流速。小球相距比自身大得多时，这股流就是第二章沿力方向的点力流，随间距的倒数衰减。Golestanian 和 Ajdari 把它写成方程 1 到 3，Najafi 和 Golestanian 的方程 6 也是同样的形式。

还差两个条件。没有外力推泳者，三个力之和为零；手臂伸缩速率是规定好的，相邻小球的速度差已知。三个未知力，三个线性方程。把力变成速度的那个矩阵叫迁移率矩阵。它是对称的；小球相距足够远时，它还是正定的，耗散功率因此总为正。

小球靠得太近，点力形式就不成立了。两颗球的间距小于一个半半径时，矩阵不再正定，模型会凭空造出能量。实验于是把每条手臂限制在至少三个半径长。

$$
\begin{aligned}v_{i}&=\frac{f_{i}}{6\pi\eta a}+\sum_{j\neq i}\frac{f_{j}}{4\pi\eta\,|x_{i}-x_{j}|}\\f_{1}+f_{2}+f_{3}&=0,\qquad v_{2}-v_{1}=\dot{L}_{1},\qquad v_{3}-v_{2}=\dot{L}_{2}\end{aligned}
$$

完整例题

## 解出第一步开头的一瞬间

取第一步刚开始的时刻：两条手臂都是十微米，左臂以每秒三十微米缩短，右臂不动。小球半径一微米，在水里。

解三个方程，得到三颗小球的速度分别是每秒正 19.70、负 10.30、负 10.30 微米。右臂不动，中间和右边两颗球就一起走；左边那颗以每秒三十微米向它们靠拢。小球对流体的力约为正 420、负 228、负 191 飞牛，在舍入误差内加起来为零。

质心速度是三者的平均，每秒负 0.303 微米。现在把小球之间的耦合关掉，再解一次。每个力只剩自身小球的阻力，合力为零的条件让三个速度之和为零，结果是正 20、负 10、负 10，质心一动不动。对等大的小球来说，游动完全来自每颗小球在其他小球处造成的流动。

$$
\begin{aligned}(v_{1},v_{2},v_{3})&=(+19.70,\,-10.30,\,-10.30)\;\mu\mathrm{m\,s^{-1}},\qquad(f_{1},f_{2},f_{3})\approx(+420,\,-228,\,-191)\;\mathrm{fN}\\\dot{X}&=\tfrac{1}{3}(v_{1}+v_{2}+v_{3})=-0.303\;\mu\mathrm{m\,s^{-1}},\qquad\dot{X}_{\mathrm{uncoupled}}=\tfrac{1}{3}(20-10-10)=0\end{aligned}
$$

完整例题

## 从一瞬间到一整圈

每一刻都这样解一次，再积分。四步里，中间小球的位移依次是负 1.353、正 1.439、正 1.439、负 1.353 微米。质心的各步更小，也不对称：负 0.020、正 0.106、正 0.106、负 0.020。两组数加起来都是向右 0.172 微米，因为一圈下来每颗小球的净位移相同。

前进和后退不相等，是因为耦合强弱取决于每一步发生时两条手臂有多长。第一步和第四步里，不动的那条手臂长十微米；第二步和第三步里只有六微米。一圈用时 0.533 秒，平均速度每秒 0.323 微米，每圈耗散 6.93 阿焦。

## 哪些量会缩放，哪些量会消掉

黏度把迁移率矩阵的每一项乘上同一个因子，于是从速度里消掉。手臂伸缩速率以线性方式出现，快慢也就从距离里消掉，第三章已经讲过。数值基准把两点都验证了：改变黏度，每周期距离在舍入误差内不变；半径、手臂和划水幅度一起放大 2.5 倍，距离也正好放大 2.5 倍。

能量的规律不一样。耗散功率等于力乘速度，两者都随伸缩快慢增大，每周期能量就与伸缩速度和黏度成正比。手臂伸缩速度从每秒十微米提到四十微米，走同样的距离，要花四倍的能量。

$$
\Delta X(sa,\,sL_{1},\,sL_{2})=s\,\Delta X(a,\,L_{1},\,L_{2}),\qquad E_{\mathrm{cycle}}\propto\eta\,W
$$

带着问题动手

## 先预测，再改变，最后解释

1. 运行“四步划水，向前游”时，先预测：“小球半径”调小，“每周期前进距离”会变长还是变短？
2. 调小“小球半径”，再调高“伸缩速度”。最后沿轴线拖动一端的小球，自己划一圈。
3. 用小球之间的耦合解释：哪个改动会改变“每周期前进距离”，哪个只改变周期和能量。

[亲手驱动三球泳者](https://sandboxphysics.com/zh/labs/three-sphere-swimmer/)

三球泳者实验用点力斯托克斯流耦合三颗等大的小球，水域没有边界，墙、邻居和热噪声都没有计入。

## 试着自己解释

### 1. 证明：小球之间没有流体耦合时，三颗等大小球平均下来停在原地。

展开答案与解释

没有耦合，每个力就是阻力系数乘以各自小球的速度。三个力之和为零，三个速度之和也为零，质心速度时时为零。手臂怎么动，质心都留在起点。

### 2. 第一步里，中间小球走了负 1.353 微米，质心只走了负 0.020 微米。为什么差这么多？

展开答案与解释

一步之内，各颗小球走的距离不同。动臂那一端的小球相对另外两颗走了约四微米，它自己约走正 2.65，另外两颗各走负 1.35。质心是三者的平均；只有走完一整圈，所有小球的净位移才相同。

### 3. 手臂和划水幅度不变，把小球半径从一微米加到两微米。每周期距离大致怎样变？

展开答案与解释

大约翻倍。小球远小于手臂时，游动来自与半径成正比的耦合项。这个倍数只是近似，下一阶修正随半径与臂长之比增大。

### 4. 黏度变成三倍，力、距离和每周期能量各怎样变？

展开答案与解释

每个力都变成三倍，同样的速度现在要三倍的推力。每周期距离保持原样，每周期能量变成三倍。

## 可以放在旁边读的来源

1. [Najafi & Golestanian, A simplest swimmer at low Reynolds number: three linked spheres, arXiv:cond-mat/0402070v1 (2004); Physical Review E 69, 062901 (2004)](https://arxiv.org/abs/cond-mat/0402070v1)

   读的是预印本第 1 版，没有核查期刊版。用到方程 1 至 11、图 3，以及方程 10 下方正文里的例子。图 4 的曲线没有数字化。

2. [Golestanian & Ajdari, Three-sphere low Reynolds number swimmer revisited, arXiv:0711.3700v1 (2007); Physical Review E 77, 036308 (2008)](https://arxiv.org/abs/0711.3700v1)

   读的是预印本第 1 版，没有核查期刊版。用到方程 1 至 6、9、12、13、16，第 IV 节的远场流动，以及脚注 23。

[上一章 一张贝壳开开合合，走不出原地](https://sandboxphysics.com/zh/stories/microswimming/the-scallop-theorem/) [下一章 划一圈走多远，看它在形状空间圈住多大面积](https://sandboxphysics.com/zh/stories/microswimming/swimming-is-an-area/)