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title: "一张贝壳开开合合，走不出原地"
description: "在斯托克斯流里，走多远只取决于身体依次经过哪些形状。原路返回的划法，不管多快，都会把泳者带回起点。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/microswimming/the-scallop-theorem/"
last_modified: "2026-10-29"
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[低雷诺数游动 · 边学边做实验](https://sandboxphysics.com/zh/stories/microswimming/)

L2 · 第 3 章

# 一张贝壳开开合合，走不出原地

在斯托克斯流里，泳者移动多远只取决于它依次经过哪些形状，与快慢无关。往复划法先经过一串形状，再按相反顺序经过同一串形状，去程攒下的每一点前进，回程都会还回去。Purcell 把这叫作扇贝定理。它在墙边和窄通道里照样成立；流体一旦记得过去，比如高分子溶液，它就失效了。

Sandbox Physics · 2026-10-29

这一章

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开始前

第二章：斯托克斯流是线性的，不含时间导数。证明只用到一个积分和一次变量替换。

## Purcell 的扇贝

Purcell 画了一只只有一个铰链的扇贝，它只会张开和合拢。在高雷诺数下，它可以慢慢张开、猛地合上，快的那一下就把身体推出去。真实的扇贝足够大，可以这样做；Lauga 和 Powers 在脚注里指出，真扇贝是在高雷诺数下游的。

到了低雷诺数，这一招就失灵了。Purcell 在图注里说，时间无关紧要，要紧的只有形状的先后顺序。贝壳合得快也好、慢也好，身体走的距离都一样；再张开时，身体又正好退回同样的距离。

只有一种变形方式的泳者，都会碰到这个麻烦。一个铰链能做的周期运动，只有沿同一条路去了再回来。Purcell 把这样的运动叫作往复运动。

## 快慢从式子里消掉了

用几个数描述泳者的形状，比如铰链角，或者两条手臂的长度。斯托克斯流是线性、即时的。泳者每一刻的速度，是这几个数变化快慢的线性组合，系数只取决于此刻的形状。

把速度对时间积分，得到走过的距离。形状的变化率和时间步长正好相消，剩下的是沿形状空间里那条路径的积分。Lauga 和 Powers 在方程 14 到 17 里走了这一遍。同一条路径走快一倍，积分结果一样。

整个推理只用了两件事：流动方程里没有时间导数，速度对形状变化率是线性的。推理里完全没提泳者的几何形状，所以它一次就管住了所有往复泳者。

$$
U(t)=\sum_{k}A_{k}(\mathbf{s})\,\dot{s}_{k}(t)\quad\Longrightarrow\quad\Delta X=\int_{0}^{T}\sum_{k}A_{k}(\mathbf{s})\,\frac{ds_{k}}{dt}\,dt=\int_{\mathbf{s}(0)}^{\mathbf{s}(T)}\sum_{k}A_{k}(\mathbf{s})\,ds_{k}
$$

## 回程抵掉去程

往复划法沿一条路径从一个形状走到另一个形状，再沿原路返回。回程积分就是去程积分把上下限对调，两者正好相消。Lauga 和 Powers 把它写成方程 18。整个周期的位移为零，前后两半的快慢分配得再不均匀也一样。

泳者在每半程里其实都在动，定理说的只是后半程会把它带回来。想要往前走，形状就得换一条路回来，让形状空间里的路径圈住一块面积。只有一个自由度时找不到这样的路，泳者至少需要两种互相独立的变形方式。

$$
\Delta X_{\mathrm{cycle}}=\int_{\mathbf{s}_{0}}^{\mathbf{s}_{1}}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{s}+\int_{\mathbf{s}_{1}}^{\mathbf{s}_{0}}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{s}=0
$$

完整例题

## 三球泳者的往复划法

下一章的三球泳者有两条手臂，两种划法都做得出来。取默认参数：小球半径一微米，在水里，两条手臂起初都是十微米。

先只把左臂缩到六微米，再伸回去。缩短时，中间的小球向左移动 1.353 微米；伸长时，它又向右移回 1.353 微米。把缩短的动作加快十倍，每半程用的时间变了，两段距离都保持原样。

实验里的往复预设让两条手臂一起从十微米缩到六微米，再一起伸回。算出的每周期位移在运算精度内为零，小于千万分之一纳米。这一圈照样要耗散约 7.08 阿焦的能量：黏性摩擦前后两半都要付，距离却正好抵消。

## 定理管到哪里，又在哪里失效

Lauga 和 Powers 特别指出，证明里从没用到周围环境的形状。只要流动服从斯托克斯方程，往复泳者在墙边、在窄通道里，也都走不出原地。严格说来，定理要求问题里所有雷诺数都为零；惯性一旦进来，定理怎样失效，综述引了专门的研究。

划法打破往复对称，是能游的必要条件，却还不够。Lauga 和 Powers 举了一个反例：两个互为镜像的泳者头对头放着，合起来看动作是非往复的，可镜像对称让它们的质心哪儿也去不了。

最要紧的是流体本身。在高分子溶液里，应力还取决于流体片刻之前的变形，时间又回到了方程里。综述讲了一张在模型黏弹性流体（Oldroyd-B 流体）里的薄片：它用三分之一周期向右传波，再用三分之二周期向左传波。动作虽然往复，薄片却得到了净位移，因为它的速度不再随波的频率线性变化。一群泳者也能绕开定理：Lauga 和 Powers 指出，两个各自游不动的往复泳者，可以借助彼此之间的流体作用一起游起来。

带着问题动手

## 先预测，再改变，最后解释

1. 运行“原路往返，原地不动”之前，先预测它的“每周期前进距离”，再想想“每周期耗散能量”会不会是零。
2. 往复预设运行时，改动“伸缩速度”。然后拖动舞台下方划水圈的一个角，让路径张开，圈住一块面积。
3. 解释“伸缩速度”为什么只改变每周期的时间和能量，距离始终是零；路径一圈住面积，距离为什么就出现了。

[亲手驱动三球泳者](https://sandboxphysics.com/zh/labs/three-sphere-swimmer/)

三球泳者实验用点力斯托克斯流耦合三颗等大的小球，水域没有边界，墙、邻居和热噪声都没有计入。

## 试着自己解释

### 1. 低雷诺数下，单铰链扇贝合拢的速度是张开的十倍。它每周期的净位移是多少？

展开答案与解释

零。前后两半按相反顺序经过同一串形状，每半程的快慢都从积分里消掉了。

### 2. 三球泳者的两条手臂时时等长，一起变长又一起变短。它能游吗？

展开答案与解释

平均下来它停在原地。在两臂长度构成的平面上，它沿对角线来回走，圈住面积为零，去程和回程的积分相互抵消。

### 3. 往复划法哪儿也去不了，它还耗能吗？

展开答案与解释

耗能。只要小球在动，耗散功率每一刻都是正的，前后两半都要花能量。实验里的往复预设，每周期约耗 7.08 阿焦。

### 4. 在高分子溶液里，单铰链的扇贝式泳者能前进吗？

展开答案与解释

能。应力这时取决于流动的近期历史，位移就和每半程的快慢有关了。Lauga 和 Powers 介绍过 Oldroyd-B 流体里的往复薄片，它正是这样得到净位移的。

## 可以放在旁边读的来源

1. [Purcell, Life at low Reynolds number, American Journal of Physics 45, 3 (1977)](https://doi.org/10.1119/1.10903)

   读了第 3 至 6 页，包括图 3 的雷诺数估计、图 4 的滑行例子、图 6 的扇贝定理、图 7 的双铰泳者，以及图 9 的柔软桨与螺旋。第 7 至 11 页没有读。

2. [Lauga & Powers, The hydrodynamics of swimming microorganisms, arXiv:0812.2887v1 (2008); Reports on Progress in Physics 72, 096601 (2009)](https://arxiv.org/abs/0812.2887v1)

   读的是预印本。第 3、4 节给出斯托克斯方程、点力流场和扇贝定理的证明；第 5 至 7 节讲阻力系数理论、柔性细丝、壁面和同步。

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