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title: "划一圈走多远，看它在形状空间圈住多大面积"
description: "斯托克斯定理把每周期距离变成一个面积分。圈子小的时候，距离就是一个系数乘以带方向的圈内面积。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/microswimming/swimming-is-an-area/"
last_modified: "2026-10-29"
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[低雷诺数游动 · 边学边做实验](https://sandboxphysics.com/zh/stories/microswimming/)

L3 · 第 5 章

# 划一圈走多远，看它在形状空间圈住多大面积

每周期的距离，是沿着划水圈在两臂长度平面上做的线积分。在这个平面上用斯托克斯定理，它就变成一个场的面积分，这个场的作用像曲率。圈子小，场在圈内几乎不变，距离就等于一个系数乘以带方向的面积。把圈反过来走，符号就反；画个 8 字，两瓣几乎抵消。

Sandbox Physics · 2026-10-29

这一章

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开始前

第三、四章。会用到一次平面上的格林定理，也就是二维形式的斯托克斯定理。

## 把划水画成一个圈

横轴取左臂长度，纵轴取右臂长度。三球泳者的每一种形状，都是这个平面上的一个点；每一种周期划法，都是一条首尾相接的曲线。Najafi 和 Golestanian 的四步正方形，从十、十微米那个角出发，走到六、十，再到六、六，再到十、六，最后回到起点。这是一个逆时针的圈，圈住十六平方微米。

Purcell 给他的双铰泳者画过同样的图，两个轴是两个铰链角，划法是一个圈。他把泳者往哪边走留作读者的谜题，还说答案并不显然。有了这张圈图，谜题就变成了一道计算题。

## 从线积分到面积

第三章把距离写成了路径积分。路径首尾相接时，它就是绕曲线一圈的线积分。格林定理把它化为圈内区域上一个标量场的积分：第二个系数沿第一条臂方向的变化率，减去第一个系数沿第二条臂方向的变化率。

这个场告诉你，形状空间里每一小块值多少距离。两条手臂都短、小球耦合强的地方，它最大；手臂变长，它就逐渐减弱。一个圈走的距离，等于把圈内每个小块上的场值加起来；逆时针的圈记正，顺时针记负。

数值基准验证了这个转换。绕默认正方形算线积分，得到 0.172091 微米；在圈住的正方形上用 60 乘 60 的网格把场加起来，得到 0.172088。两者相差十万分之二。

$$
\Delta X=\oint_{\partial S}\left(A_{1}\,dL_{1}+A_{2}\,dL_{2}\right)=\iint_{S}F\,dL_{1}\,dL_{2},\qquad F=\frac{\partial A_{2}}{\partial L_{1}}-\frac{\partial A_{1}}{\partial L_{2}}
$$

完整例题

## 默认正方形的面积律

圈子比手臂小得多时，场在圈内几乎不变，积分就成了圈中心处的场值乘以带方向的面积。Golestanian 和 Ajdari 在方程 13 里给出了这个系数。三颗小球等大时，它化为三分之一半径，乘上一个由臂长平方倒数组成的方括号。

默认正方形的中心处，两条手臂都是八微米。系数为每微米 0.009115，面积十六平方微米，估计值是 0.146 微米。完整计算给出 0.172，面积律对这个圈少算了约百分之十五。

两个近似造成了这个差距。一是圈太大：边长是臂长的一半，场在圈内有明显变化。二是小球有大小：面积律只是半径与臂长之比的最低阶。数值基准用极小的圈单独考察第二个因素，相对误差随半径与臂长之比一起缩小，逐渐接近这个比值的七分之五。实验里的小圈预设，围绕两臂都是九微米的那一点，半径 1.2 微米，面积 4.32 平方微米；它每周期走 0.0344 微米，面积律估计为 0.0311。

$$
\begin{aligned}\Delta X&\approx K\mathcal{A},\qquad K=\frac{a}{3}\left[\frac{1}{\ell_{1}^{2}}+\frac{1}{\ell_{2}^{2}}-\frac{1}{(\ell_{1}+\ell_{2})^{2}}\right]\\K(8,8)&=\frac{1\,\mu\mathrm{m}}{3}\left[\frac{2}{64}-\frac{1}{256}\right]\mu\mathrm{m}^{-2}\approx0.009115\,\mu\mathrm{m}^{-1},\qquad K\mathcal{A}=0.009115\times16\approx0.146\,\mu\mathrm{m}\end{aligned}
$$

完整例题

## 平滑划水与相位差

真实的驱动器往往动得很平滑。让每条手臂绕各自的平均长度振荡，振幅各不相同，频率相同，两者之间差一个相位。形状空间里的圈于是成了椭圆，面积等于圆周率乘两个振幅，再乘相位差的正弦。

Golestanian 和 Ajdari 的方程 16 给出这种泳者的平均速度。两臂相差四分之一周期时速度最大；两臂同步，或者正好反相，椭圆压扁成一条线，速度为零。

取两臂平均长度八微米，振幅各两微米，每秒一个周期，相差四分之一周期。这时的圈是半径两微米的圆，面积约 12.6 平方微米，平均速度约每秒 0.11 微米。

$$
u_{i}(t)=d_{i}\cos(\omega t+\varphi_{i}),\qquad V_{0}=\frac{K}{2}\,d_{1}d_{2}\,\omega\,\sin(\varphi_{1}-\varphi_{2})=\frac{0.009115}{2}\times2\times2\times2\pi\;\mu\mathrm{m\,s^{-1}}\approx0.11\;\mu\mathrm{m\,s^{-1}}
$$

## 反向的圈和 8 字

同一个圈改成顺时针走，每一小块面积都改变符号，距离也正好反号。实验里的反向预设每周期向左走 0.172 微米。两个方向每周期都耗散 6.93 阿焦，耗散和绕圈方向无关。

8 字形有两瓣，绕行方向相反，带方向的面积为零，面积律给出零。可两瓣所在处的场并不一样。实验里的 8 字预设，逆时针那瓣落在两臂长八到十一微米的范围，顺时针那瓣落在五到八微米的范围。短臂那瓣更“值钱”，泳者每周期向左漂 0.018 微米，约为正方形一步的十分之一，同时耗散 9.34 阿焦。圈要小到场在圈内近乎均匀，单看面积才估得准。

带着问题动手

## 先预测，再改变，最后解释

1. 选“小圈只看面积”之前，先预测：“每周期前进距离”会比“小圈面积律估计”大还是小？
2. 运行小圈预设，再运行“画个 8 字，几乎抵消”。最后把正方形圈的一个角往短臂方向拖，同时看两个读数。
3. 用形状面板的亮度解释两个读数之间的差距。亮度表示形状空间里每一小块值多少距离。

[亲手驱动三球泳者](https://sandboxphysics.com/zh/labs/three-sphere-swimmer/)

三球泳者实验用点力斯托克斯流耦合三颗等大的小球，水域没有边界，墙、邻居和热噪声都没有计入。

## 试着自己解释

### 1. 默认正方形改成顺时针走，带方向的面积和每周期距离各是多少？

展开答案与解释

负十六平方微米，负 0.172 微米。每一小块面积都改变符号，距离也正好反号。

### 2. 一个小正方形圈中心不动，边长加倍。每周期距离怎样变？

展开答案与解释

大约变成四倍：面积变成四倍，中心处的系数不变。圈大到场在圈内明显变化时，倍数就会偏离四。

### 3. 两条手臂做简谐伸缩，而且完全同步，相位差为零。泳者每周期走多远？

展开答案与解释

平均下来哪儿也不去。椭圆压成一条面积为零的线段，方程 16 给出零平均速度，这种划法是往复的。

### 4. 用面积律估计：默认手臂，划水幅度从四微米改成两微米，每周期走多远？

展开答案与解释

正方形现在在十微米和八微米之间，中心在九微米。那里的系数约为每微米 0.00720，面积四平方微米，估计值约 0.029 微米。

$$
K(9,9)=\frac{1\,\mu\mathrm{m}}{3}\left[\frac{2}{81}-\frac{1}{324}\right]\mu\mathrm{m}^{-2}\approx0.00720\,\mu\mathrm{m}^{-1},\qquad K\mathcal{A}\approx0.00720\times4\approx0.029\,\mu\mathrm{m}
$$

## 可以放在旁边读的来源

1. [Purcell, Life at low Reynolds number, American Journal of Physics 45, 3 (1977)](https://doi.org/10.1119/1.10903)

   读了第 3 至 6 页，包括图 3 的雷诺数估计、图 4 的滑行例子、图 6 的扇贝定理、图 7 的双铰泳者，以及图 9 的柔软桨与螺旋。第 7 至 11 页没有读。

2. [Najafi & Golestanian, A simplest swimmer at low Reynolds number: three linked spheres, arXiv:cond-mat/0402070v1 (2004); Physical Review E 69, 062901 (2004)](https://arxiv.org/abs/cond-mat/0402070v1)

   读的是预印本第 1 版，没有核查期刊版。用到方程 1 至 11、图 3，以及方程 10 下方正文里的例子。图 4 的曲线没有数字化。

3. [Golestanian & Ajdari, Three-sphere low Reynolds number swimmer revisited, arXiv:0711.3700v1 (2007); Physical Review E 77, 036308 (2008)](https://arxiv.org/abs/0711.3700v1)

   读的是预印本第 1 版，没有核查期刊版。用到方程 1 至 6、9、12、13、16，第 IV 节的远场流动，以及脚注 23。

[上一章 三颗小球、两条手臂和一张迁移率矩阵](https://sandboxphysics.com/zh/stories/microswimming/three-spheres-and-a-mobility-matrix/) [下一章 墙让每颗小球变慢，也让泳者转向](https://sandboxphysics.com/zh/stories/microswimming/walls-change-the-flow/)