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title: "斯托克斯流只认眼前的推力"
description: "去掉惯性项，流动方程变成线性的，也没有时间记忆。用一微米小球算出拖曳力和远处的流场。"
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language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/microswimming/stokes-flow-has-no-memory/"
last_modified: "2026-10-29"
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[低雷诺数游动 · 边学边做实验](https://sandboxphysics.com/zh/stories/microswimming/)

L2 · 第 2 章

# 斯托克斯流只认眼前的推力

从纳维–斯托克斯方程里去掉惯性项，剩下的斯托克斯方程是线性的，也不含时间导数。任何一刻的流动，都由边界在这一刻怎样运动决定。半径一微米的小球以每秒三十微米在水里移动，受到约 0.57 皮牛的阻力；它搅起的流动随距离衰减得很慢，只按距离的倒数下降。

Sandbox Physics · 2026-10-29

这一章

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开始前

第一章的雷诺数。方程里用到矢量和偏导数；例题只需要计算器。

## 把惯性项拿掉

Lauga 和 Powers 的综述从不可压缩流体的纳维–斯托克斯方程讲起。方程一边是惯性，即密度乘以一小团流体的加速度；另一边是压强梯度和黏性力。用典型速度衡量速度，用典型尺寸衡量长度，两边之比就是雷诺数。

这个比值只有几万分之一时，惯性那一边可以直接取零。剩下的是每一点上的力平衡：压强推，黏性拦，没有任何东西加速。再加上流体不可压缩的条件，就是斯托克斯方程。

综述还提到一个只由黏度和密度组成的力，在水里约一纳牛。慢速物体受的阻力大致是黏度乘速度再乘尺寸，于是它的雷诺数大致等于拉它的力除以这一纳牛。拉力远小于一纳牛的物体，不管多大，都处在低雷诺数。这门课里出现的力，都比它小一千倍以上。

$$
\rho\left(\frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t}+\mathbf{u}\cdot\nabla\mathbf{u}\right)=-\nabla p+\eta\nabla^{2}\mathbf{u}\;\;\longrightarrow\;\;\mathbf{0}=-\nabla p+\eta\nabla^{2}\mathbf{u},\qquad\nabla\cdot\mathbf{u}=0
$$

## 两条性质撑起全部推理

斯托克斯方程里没有时间导数。时间只经由边界进来：小球一动，周围流体立刻重新排布，变成与小球此刻速度相配的那唯一一种流动。小球一停，各处流动在同一瞬间全部停下。Purcell 说的“与过去无关”，写成数学就是这样。

方程还是线性的。所有边界速度翻倍，流体各处的速度、压强和受力也一起翻倍；所有边界速度反向，整个流动也反过来。Lauga 和 Powers 称之为运动学可逆性，第三章的扇贝定理就建立在它上面。

测黏度靠的也是线性。在牛顿液体里，剪切一条薄缝所需的应力与剪切速率成正比，比值就是黏度。旋转流变仪从扭矩和转速求出这个比值。斯托克斯方程里出现的流体性质只有黏度一个，建泳者模型之前，要测的就是这个数。

完整例题

## 水里的一微米小球

斯托克斯定律给出慢速小球受的阻力：六倍圆周率，乘以黏度、半径和速度。取半径一微米，速度每秒三十微米，黏度取水的值，一毫帕秒。

阻力约 0.57 皮牛。克服阻力的功率等于阻力乘速度，约十七阿瓦，也就是十七个十亿分之一的十亿分之一瓦。

Lauga 和 Powers 也把这条定律倒过来写，叫迁移率，即每单位外力换来多大速度。热抖动的大小也由迁移率决定：乘上室温下的热能，小球的扩散系数约为每秒 0.21 平方微米。

$$
\begin{aligned}F&=6\pi\eta aU=6\pi\,(10^{-3}\,\mathrm{Pa\,s})(10^{-6}\,\mathrm{m})(3\times10^{-5}\,\mathrm{m\,s^{-1}})\approx5.65\times10^{-13}\,\mathrm{N}\\P&=FU\approx1.7\times10^{-17}\,\mathrm{W},\qquad D=\frac{k_{\mathrm B}T}{6\pi\eta a}\approx0.21\,\mu\mathrm{m^{2}\,s^{-1}}\end{aligned}
$$

完整例题

## 点力在身后留下的流动

离小球远了，它搅起的流动就像一个推着液体的点力。Lauga 和 Powers 把这个解叫作斯托克斯子。它的速度只按距离的倒数衰减，比一团质量的引力衰减得还慢。

这种流动前后和两侧不对称。沿着力的方向，流体速度是同样距离侧面处的两倍。拿我们的小球来算，沿路径前方十微米处，流体以每秒约 4.5 微米移动，相当于小球自身速度的百分之十五；前方 150 微米处，仍有百分之一。

真实小球的流动，是斯托克斯子再加一项随距离三次方衰减的修正，后者让流体贴住小球表面。后面几章的三球模型只保留点力那一部分。小球比手臂短得多时，这样做没问题，误差也能估出来：加上最低阶的有限尺寸修正，默认每周期的步长变化约百分之四。

$$
\mathbf{u}(\mathbf{r})=\frac{1}{8\pi\eta r}\left(\mathbf{I}+\frac{\mathbf{r}\mathbf{r}}{r^{2}}\right)\cdot\mathbf{F},\qquad u_{\parallel}=\frac{F}{4\pi\eta r}=\frac{3a}{2r}\,U
$$

## 热抖动比一步还大

例题里的扩散系数带来一个让人清醒的结论。默认三球泳者划一圈要 0.53 秒，这段时间里，同样大小的单个小球靠热运动沿任一方向会漂出约半微米；泳者确定的一步只有 0.17 微米。

步长随周期数成正比累加，热漂移只随周期数的平方根增长。大约八个周期之后，定向前进就超过了热抖动，游动从此显现出来。这门课的泳者模型算的正是这个确定的平均值；真实的微米级泳者，要对许多周期或许多个体求平均，才能看出它。

带着问题动手

## 先预测，再改变，最后解释

1. 在三球泳者实验里，先预测：流体黏度变成三倍时，“每周期前进距离”和“每周期耗散能量”各怎样变？
2. 展开“流体”一组，调高“流体黏度”，再调高“伸缩速度”。到测黏度的实验里，用牛顿标准液把转速加倍，比较扭矩。
3. 解释黏度和伸缩速度为什么会改变每周期的能量和时间，而每周期前进的距离保持原样。

[亲手驱动三球泳者](https://sandboxphysics.com/zh/labs/three-sphere-swimmer/) [在剪切间隙里测黏度](https://sandboxphysics.com/zh/labs/couette-poiseuille/)

三球泳者实验用点力斯托克斯流耦合三颗等大的小球，水域没有边界，墙、邻居和热噪声都没有计入。 流变仪实验描述牛顿液体和剪切变稀液体在剪切间隙里的定常流动。

## 试着自己解释

### 1. 半径大一倍的小球以同样速度移动，阻力是多少？

展开答案与解释

阻力与半径成正比，翻倍到约 1.13 皮牛。克服阻力的功率也跟着翻倍。

### 2. 估算默认三球泳者的雷诺数。手臂长十微米，长度以每秒三十微米变化。

展开答案与解释

密度乘速度乘长度，再除以黏度，约为万分之三。惯性比黏性小三个数量级以上。

$$
\mathrm{Re}=\frac{(10^{3}\,\mathrm{kg\,m^{-3}})(3\times10^{-5}\,\mathrm{m\,s^{-1}})(10^{-5}\,\mathrm{m})}{10^{-3}\,\mathrm{Pa\,s}}=3\times10^{-4}
$$

### 3. 在小球前方多远处，沿路径的流速降到小球速度的百分之一？

展开答案与解释

令一倍半的半径除以距离等于百分之一，得到距离为 150 个半径，这里就是 150 微米。几条手臂长度之外的邻居，仍然感受得到这一推。

### 4. 流变仪里，转速加倍时扭矩也加倍。这说明液体有什么性质？

展开答案与解释

应力与剪切速率成正比，说明在这个范围内黏度是常数。这就是牛顿液体，正是斯托克斯方程假定的那一种。

## 可以放在旁边读的来源

1. [Purcell, Life at low Reynolds number, American Journal of Physics 45, 3 (1977)](https://doi.org/10.1119/1.10903)

   读了第 3 至 6 页，包括图 3 的雷诺数估计、图 4 的滑行例子、图 6 的扇贝定理、图 7 的双铰泳者，以及图 9 的柔软桨与螺旋。第 7 至 11 页没有读。

2. [Lauga & Powers, The hydrodynamics of swimming microorganisms, arXiv:0812.2887v1 (2008); Reports on Progress in Physics 72, 096601 (2009)](https://arxiv.org/abs/0812.2887v1)

   读的是预印本。第 3、4 节给出斯托克斯方程、点力流场和扇贝定理的证明；第 5 至 7 节讲阻力系数理论、柔性细丝、壁面和同步。

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