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title: "精读 Najafi 与 Golestanian 的三球泳者论文"
description: "精读 2004 年的三球泳者论文。看哪些数字能复现，后来的研究又怎样修正它拟合出的速度公式。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/microswimming/reading-najafi-golestanian/"
language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/microswimming/reading-najafi-golestanian/"
last_modified: "2026-10-29"
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[低雷诺数游动 · 边学边做实验](https://sandboxphysics.com/zh/stories/microswimming/)

L4 · 第 9 章

# 精读 Najafi 与 Golestanian 的三球泳者论文

这篇四页的论文搭起泳者模型，为四步正方形划法求解点力方程，印出一个例子的每步位移，还给了一个速度公式。每步位移能复现到三位有效数字。印出的净位移和速度公式要小心读：净位移比论文自己印的各步之和还小，也比我们的积分小；Golestanian 和 Ajdari 后来指出，那个公式是数值拟合。

Sandbox Physics · 2026-10-29

这一章

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开始前

第四、五章。读这一章时，把论文的 arXiv 版本放在旁边。

## 读了哪些版本，结论怎样标注

这次精读用的是 Najafi 与 Golestanian（2004）的 arXiv 第 1 版，以及 Golestanian 与 Ajdari（2008）的 arXiv 第 1 版。没有核查期刊版，方程编号按预印本。下面每条结论都标明来源：论文本身的说法，后来论文的说法，或者我们自己的计算。

我们的计算就是第四章的点力模型，沿划水圈的每条边用八点高斯–勒让德求积。大部分数值存放在一个基准文件里，仓库命令 npm run fr23:benchmarks 可以重新生成它。下文引用的 0.156 个半径，来自对 Golestanian 与 Ajdari 方程 9 的另一次单独计算。

## 方程 1 到 8 搭起的框架

论文：方程 1 和 2 是斯托克斯方程，方程 3 是每颗小球表面的无滑移条件。方程 4 把小球速度写成流体力学张量作用在力上，方程 5 说明合力为零。方程 6 给出第四章用过的 Oseen 形式，方程 7 和 8 用小球半径与间距之比写出张量的系数。

有两处约定和这门课不同。论文把中间小球叫 1 号球，报告的也是中间小球的位移。一整圈下来每颗小球的位移相同，每周期的结果与这里用的质心一致；每步的数字则指中间小球。

完整例题

## 正方形划法与它的四步

论文：图 3 引入一个辅助动作，一条手臂缩短一个划水幅度，另一条不动。借助镜像和时间反演，一整圈的四步都能化成这一个动作；方程 9 把净位移写成两倍的差，一项是臂长为原长时的辅助位移，另一项是缩短后的辅助位移。方程 10 再除以一圈的时间，也就是四步除以伸缩速度。

论文：正文例子取臂长十个半径、划水幅度四个半径，印出的四步是向后 1.35 个半径、向前 1.44、向前 1.44、向后 1.35。我们的计算：负 1.3531、正 1.4391、正 1.4391、负 1.3531，三位有效数字一致。辅助动作在原长时给出负 1.353 个半径，缩短后给出负 1.439，代入方程 9，每周期 0.172 个半径。

读到这里就有意思了。论文印出的净位移是 0.16 个半径；它自己印的四步加起来是 0.18，我们的积分是 0.172。正文没有说明 0.16 是怎样得来的。作为对照，我们按 Golestanian 与 Ajdari 的方程 9（大变形情形的最低阶公式）沿同一个正方形计算，得到 0.156 个半径，和印出的值接近。我们把三个数并排记下，模型保持原样。

$$
\begin{aligned}\Delta&=2\left[\Delta_{f}(D)-\Delta_{f}(D-\epsilon)\right]=2\left[(-1.353)-(-1.439)\right]R\approx0.172\,R\\V_{s}&=W\,\frac{\Delta}{4\epsilon}=30\ \mu\mathrm{m\,s^{-1}}\times\frac{0.172}{16}\approx0.323\ \mu\mathrm{m\,s^{-1}}\qquad(R=1\ \mu\mathrm{m})\end{aligned}
$$

完整例题

## 方程 11 的拟合公式

论文：方程 11 给出游速，等于 0.7 乘伸缩速度，乘半径与臂长之比，再乘划水幅度与臂长之比的平方；论文把它说成小变形展开的最低阶。后来的论文：Golestanian 与 Ajdari 在脚注 23 里另有说法，认为这是一个在大部分参数范围内（小变形、大变形都包括）数值拟合得最好的关系，没有系统地做微扰计算。

看标度就明白问题在哪。方程 11 乘以一圈的时间，每周期距离随划水幅度的三次方增长；第五章的小圈面积律却说它随幅度平方增长，因为圈住的面积正是这样变大。我们的计算在臂长十个半径时把差距算了出来：幅度为半个半径时，方程 11 把距离低估了 4.7 倍；幅度在三到五个半径之间，误差在百分之十左右以内。论文图 4 画出了整条曲线，我们没有把它数字化，只用文字引用。

$$
\Delta_{11}=V_{s}\,\frac{4\epsilon}{W}=2.8\,R\left(\frac{\epsilon}{D}\right)^{3},\qquad\Delta_{K}\approx\frac{7}{12}\,R\left(\frac{\epsilon}{D}\right)^{2}\qquad(\epsilon\ll D)
$$

## 后来的论文补上了什么

后来的论文：Golestanian 与 Ajdari（2008）把模型推广到半径不等、划法任意的情形。方程 12 把小变形时的平均速度写成一个系数乘以两条手臂位移扫出面积的组合，方程 13 给出这个系数。方程 16 处理有相位差的简谐划法，第 IV 节说明对称泳者的力偶极相互抵消。他们还推出了失速力和耗散功率，这门课暂且不谈。

后来的论文：Daddi-Moussa-Ider 等人（arXiv 第 2 版，2018）在方程 27 里给体相游速加上小球尺寸的一阶修正，因子是一加七分之五倍的半径与臂长之比。我们的计算外推到极小的圈，得到这个系数为 0.7141，发表值是 0.7143。这项检验是独立的：修正来自他们的分析，数字来自我们的代码。

Pooley、Alexander 与 Yeomans（2007）把泳者推进到成对的情形，就是第八章的内容。几篇后来的论文合起来读，2004 年论证的每一步都能拿另一份计算来检验。

带着问题动手

## 先预测，再改变，最后解释

1. 打开实验之前，先用方程 9 和上面的四步数字预测：臂长十微米、幅度四微米、小球一微米时，“每周期前进距离”是多少？
2. 运行“四步划水，向前游”，读“每周期前进距离”，再展开“更多数值与原始记录”，读“平均游速”。然后调小“划水幅度”，和方程 11 对比。
3. 解释为什么每步位移与论文一致，而印出的净位移和方程 11 都偏离计算值。

[亲手驱动三球泳者](https://sandboxphysics.com/zh/labs/three-sphere-swimmer/)

三球泳者实验用点力斯托克斯流耦合三颗等大的小球，水域没有边界，墙、邻居和热噪声都没有计入。

## 试着自己解释

### 1. 用方程 10 算正文例子的平均游速，小球半径一微米，伸缩速度每秒三十微米。

展开答案与解释

一圈是四步，每步四微米，按每秒三十微米走，共 0.533 秒。0.172 微米除以这段时间，约每秒 0.323 微米。

### 2. 印出的四步加起来是 0.18 个半径，印出的净位移是 0.16，积分给出 0.172。读者应当怎样报告？

展开答案与解释

三个数都写上，并注明出处。四步数字四舍五入到两位小数，加起来最多可能差 0.02 个半径，0.172 落在这个范围里。正文没有给出 0.16 的推导，它只能作为一个来历未明的印刷值记下。

### 3. 幅度为半个半径时，方程 11 把每周期距离低估了 4.7 倍。为什么幅度越小，误差越大？

展开答案与解释

方程 11 让每周期距离随幅度的三次方增长，面积律让它随平方增长。两者之比与幅度成反比，幅度越小，拟合公式落后得越多。

### 4. 这一章里哪个结果算是对模型的独立检验？为什么？

展开答案与解释

小球尺寸的一阶修正。七分之五这个系数来自 Daddi-Moussa-Ider 等人的单独分析，模型外推得到 0.7141。如果只是把模型自己的公式再算一遍，就提供不了新的证据。

## 可以放在旁边读的来源

1. [Najafi & Golestanian, A simplest swimmer at low Reynolds number: three linked spheres, arXiv:cond-mat/0402070v1 (2004); Physical Review E 69, 062901 (2004)](https://arxiv.org/abs/cond-mat/0402070v1)

   读的是预印本第 1 版，没有核查期刊版。用到方程 1 至 11、图 3，以及方程 10 下方正文里的例子。图 4 的曲线没有数字化。

2. [Golestanian & Ajdari, Three-sphere low Reynolds number swimmer revisited, arXiv:0711.3700v1 (2007); Physical Review E 77, 036308 (2008)](https://arxiv.org/abs/0711.3700v1)

   读的是预印本第 1 版，没有核查期刊版。用到方程 1 至 6、9、12、13、16，第 IV 节的远场流动，以及脚注 23。

3. [Pooley, Alexander & Yeomans, Swimming with a friend at low Reynolds number, arXiv:0705.3612v1 (2007); Physical Review Letters 99, 228103 (2007)](https://arxiv.org/abs/0705.3612v1)

   读的是预印本第 1 版，没有核查期刊版。用文字转述方程 1、方程 4 至 8、图 3 和图 4 的轨迹，没有数字化任何曲线。

4. [Daddi-Moussa-Ider, Lisicki, Hoell & Löwen, Swimming trajectories of a three-sphere microswimmer near a wall, arXiv:1801.01162v2 (2018)](https://arxiv.org/abs/1801.01162v2)

   读的是预印本第 2 版，没有核查期刊版。用到方程 4 至 7、13、24、27，三类轨迹，以及远场讨论。

[上一章 两个泳者靠得近时，划水的时间差决定它们怎样互相推拉](https://sandboxphysics.com/zh/stories/microswimming/two-swimmers-keep-time/)