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title: "靠柔软的尾巴和旋转的螺旋绕开扇贝定理"
description: "细丝横着拖的阻力是顺着拖的两倍。靠这种不对称，行进的弯曲波和旋转的螺旋都能产生推力。"
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last_modified: "2026-10-29"
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[低雷诺数游动 · 边学边做实验](https://sandboxphysics.com/zh/stories/microswimming/)

L3 · 第 7 章

# 靠柔软的尾巴和旋转的螺旋绕开扇贝定理

办法有两种。一直朝一个方向转的螺旋，运动永远不会倒回去。一端被来回摆动的柔软尾巴，去程和回程弯得不一样，形状便沿尾巴传成一列波。两种动作都能产生推力，原因是细丝横着动受的阻力，大约是顺着动的两倍。阻力系数理论把这个两倍换算成游速；波往哪边传，泳者就往反方向游。

Sandbox Physics · 2026-10-29

这一章

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开始前

第二、三章。会用到行进正弦波和对数；读最后一节时，三球泳者那几章有帮助。

## Purcell 的两个答案

证明扇贝游不动之后，Purcell 在图 9 里给了两条出路。一支柔软的桨来回摆动，前半程往一边弯，后半程往另一边弯。回程经过的形状和去程不同，扇贝定理就管不着了。硬桨只会原路往返。

第二条出路是螺旋。让它一直朝同一方向转，运动从来不倒放，也就完全绕开了定理。Purcell 说过，这样的泳者往哪边走并不显然。他的图 10 画了大肠杆菌和它的鞭毛，菌体约两微米长。

## 横着拖，阻力是顺着拖的两倍

细杆在黏性流体里运动，受的阻力和运动方向有关。Lauga 和 Powers 把细杆看成一串小球，再把各个小球的点力流场加起来。按长径比对数的倒数取最低阶，横着走的一小段，单位长度阻力是顺着走的两倍。速度的两个分量各有自己的阻力系数。

有了这种各向异性，靠阻力产生推力才有可能。斜着走的一小段，受的阻力既不正对速度，也不正好横穿细杆，其中一部分沿细丝方向推。Lauga 和 Powers 证明，要得到净推力，各段的速度和取向都必须沿细丝变化，一列波正好两样都提供。

综述也把这套理论的局限说得很清楚。它按长度与半径之比的对数倒数展开，只有半径比长度小上指数级的细丝，结果才准确。细长体理论在这方面更进一步。

$$
\mathbf{f}=-\xi_{\parallel}\mathbf{u}_{\parallel}-\xi_{\perp}\mathbf{u}_{\perp},\qquad\xi_{\perp}=2\xi_{\parallel}=\frac{4\pi\eta}{\ln(L/a)}
$$

完整例题

## 行进波带来的游速

取一根长十微米、半径十纳米的细丝，这个半径与 Lauga 和 Powers 给出的细菌鞭毛半径相当。长度与半径之比的对数约为 6.9，在水里横向阻力系数是 1.82 毫帕秒，顺向是 0.91。

让一列小正弦波沿它传播：振幅半微米，波长十微米，每秒三十个波。波速是每秒 300 微米。Lauga 和 Powers 的方程 36 给出平均游速；阻力比取二、不带头部时，它化为波速的一半乘以波数与振幅乘积的平方。这里波数乘振幅是 0.314，细丝以每秒约 14.8 微米前进，方向和波的传播方向相反。

有两处值得细看。游速与振幅的平方成正比，波高加倍，游速变成四倍。头部会拖慢泳者：方程 36 要除以一加上头部阻力与细丝顺向阻力之比。半径一微米的球形头部，阻力约是这根细丝顺向阻力的两倍，游速因此降到原来的三分之一左右，约每秒 4.8 微米。

$$
\begin{aligned}\langle U\rangle&=-\frac{\xi_{\perp}-\xi_{\parallel}}{2\xi_{\parallel}}\,\frac{\omega kb^{2}}{1+\xi_{0}a/(\xi_{\parallel}L)}\\\xi_{0}=0,\ \xi_{\perp}=2\xi_{\parallel}&:\qquad\langle U\rangle=-\tfrac{1}{2}\,c\,(kb)^{2}=-\tfrac{1}{2}\,(300\ \mu\mathrm{m\,s^{-1}})\,(0.314)^{2}\approx-14.8\ \mu\mathrm{m\,s^{-1}}\end{aligned}
$$

## 柔软的尾巴自己造出波

精子靠分布在整条尾巴上的分子马达驱动弯曲波。Machin 问了一个更简单的问题：只摆动一端会怎样？Lauga 和 Powers 让细丝的弹性弯曲力与横向阻力平衡，得到一个超扩散方程，即方程 48。方程里的时间导数打破了运动学可逆性。根部哪怕只是单纯地来回摆，也会有波沿细丝往下传，因为远处的部分总是落后于根部。

这些波的波长和衰减长度由一个穿透长度决定：弯曲刚度除以横向阻力与频率之积，再开四次方。摆得慢，细丝实际上是硬的，划法是往复的，泳者原地不动。摆得快，运动在很短距离内就消失了，大半条细丝只添阻力。Lauga 和 Powers 认为，穿透长度和细丝长度差不多时推进最好；两者之比叫作精子数。

转动也遵循同样的道理。一根直杆绕自身轴线转，产生的推力为零；Lauga 和 Powers 提到，鞭毛变直的突变大肠杆菌就游不起来。螺旋形状负责把转动变成推力，菌体则反向转动，让泳者所受的总力矩保持为零。

$$
\xi_{\perp}\frac{\partial h}{\partial t}=-A\,\frac{\partial^{4}h}{\partial x^{4}},\qquad\ell=\left(\frac{A}{\xi_{\perp}\omega}\right)^{1/4},\qquad\mathrm{Sp}=\frac{L}{\ell}
$$

## 三颗小球用的是同一招

三球泳者绕开定理的方式，是同一招的缩小版。它的四步划水按固定顺序把形状变化从一条手臂传到另一条手臂，在形状空间里的圈也就圈住了面积。尾巴上的行进波用的是许多个自由度：每一小段都经过和邻段相同的形状，只是晚一点。

顺序一反，泳者也反过来走。实验的默认划法里，左臂先动，泳者向右走，也就是朝后动的那条手臂一侧前进。细丝则逆着自己的波游。Purcell 关于方向的提醒对两者都适用；对三颗小球来说，第五章里圈面积的正负号给出了答案。

带着问题动手

## 先预测，再改变，最后解释

1. “四步划水，向前游”里左臂先动，泳者向右走。先预测：换成右臂先动，会怎样？
2. 运行“倒着画圈，倒着游”，再把它的“每周期前进距离”和“每周期耗散能量”与正向预设比较。
3. 用形状变化从一条手臂传到另一条手臂的先后顺序解释结果，再和柔软尾巴上传播的波对照。

[亲手驱动三球泳者](https://sandboxphysics.com/zh/labs/three-sphere-swimmer/)

三球泳者实验用点力斯托克斯流耦合三颗等大的小球，水域没有边界，墙、邻居和热噪声都没有计入。

## 试着自己解释

### 1. 一小段细杆斜着走，速度与轴线成 45 度，横向阻力是顺向的两倍。阻力指向哪里？

展开答案与解释

阻力的横向分量是顺向分量的两倍，所以它与轴线约成 63 度，偏离运动方向约 18 度。靠阻力产生推力，来源就是这个偏角。

### 2. 例题里行进波的振幅加倍，游速怎样变？

展开答案与解释

只要小振幅公式还成立，游速变成四倍，约每秒 59 微米。波数乘振幅已经接近 0.63，这个假设开始吃紧。

### 3. 细丝的弯曲刚度变成十六倍，穿透长度怎样变？

展开答案与解释

变成两倍，因为穿透长度与弯曲刚度的四次方根成正比。

### 4. 又直又硬的鞭毛绕自身轴线转，细菌为什么会留在原地？

展开答案与解释

Lauga 和 Powers 提到，鞭毛变直的突变大肠杆菌游不起来。直杆绕自身轴线转动时，中心线留在原处，没有哪一段横扫过流体，阻力的各向异性给出的推力为零。

## 可以放在旁边读的来源

1. [Purcell, Life at low Reynolds number, American Journal of Physics 45, 3 (1977)](https://doi.org/10.1119/1.10903)

   读了第 3 至 6 页，包括图 3 的雷诺数估计、图 4 的滑行例子、图 6 的扇贝定理、图 7 的双铰泳者，以及图 9 的柔软桨与螺旋。第 7 至 11 页没有读。

2. [Lauga & Powers, The hydrodynamics of swimming microorganisms, arXiv:0812.2887v1 (2008); Reports on Progress in Physics 72, 096601 (2009)](https://arxiv.org/abs/0812.2887v1)

   读的是预印本。第 3、4 节给出斯托克斯方程、点力流场和扇贝定理的证明；第 5 至 7 节讲阻力系数理论、柔性细丝、壁面和同步。

[上一章 墙让每颗小球变慢，也让泳者转向](https://sandboxphysics.com/zh/stories/microswimming/walls-change-the-flow/) [下一章 两个泳者靠得近时，划水的时间差决定它们怎样互相推拉](https://sandboxphysics.com/zh/stories/microswimming/two-swimmers-keep-time/)