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title: "一点倾斜怎样在磁体里传成自旋波"
description: "磁化的一点小倾斜会以波的形式传开。推出垂直膜中的色散关系、26.4 GHz 的能隙，以及阻尼怎样决定波长和衰减。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/micromagnetics/spin-waves-and-dispersion/"
language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/micromagnetics/spin-waves-and-dispersion/"
last_modified: "2026-10-29"
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[微磁学 · 边学边做实验](https://sandboxphysics.com/zh/stories/micromagnetics/)

L3 · 第 5 章

# 一点倾斜怎样在磁体里传成自旋波

把磁化膜里几个磁矩稍稍扳歪，这点倾斜不会待在原处。每个歪了的磁矩都在进动，交换作用又把倾斜传给邻居，于是它作为自旋波传播出去。本课程的 Pt/Co 膜在零场下，低于 26.4 GHz 的波传不出去；高于这个能隙，频率随波数的平方增长。阻尼让每列波都逐渐消失：60 GHz、阻尼 0.1 时，波长 30.7 nm，振幅每走 55 nm 衰减为原来的 1/e。

Sandbox Physics · 2026-10-29

这一章

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开始前

第 1、3 章。复数，以及波的指数写法。

## 在向上的磁畴附近做小倾斜

取向上的磁畴，$\mathbf m\approx(m_x,m_y,1)$，$m_x$、$m_y$ 都很小。把有效场（Abert 2019，第 2 节）中的每一项展开到倾斜的一阶。外场和有效各向异性都沿 $z$，合起来是 $H+H_{K0}$，其中 $\mu_0H_{K0}=2K_0/M_s=927\,\mathrm{mT}$。实验里的链在磁畴中也保留了第 4 章那个小的难轴项，所以 $m_x$ 还多感受到 $-H_Km_x$。交换作用贡献 $(2A/\mu_0M_s)\nabla^2\mathbf m$。

对平面波 $\mathbf m\propto e^{i(kx-\omega t)}$，拉普拉斯算符变成 $-k^2$，交换作用就像一个把倾斜拉回去的附加场 $H_{\mathrm{ex}}=2Ak^2/(\mu_0M_s)$。波越短，磁化弯得越急，回复场也越强。

界面 DMI 在这一阶不出现。它的能量密度是 $D(m_x\partial_xm_z-m_z\partial_xm_x)$。因为 $m_z\approx1-(m_x^2+m_y^2)/2$，第一项是倾斜的二阶量；第二项在一阶下是 $-D\,\partial_xm_x$，一个全导数，积分为零。这个推导由我们给出，只适用于垂直磁畴中沿 $x$ 传播的波，不涉及其他几何。

完整例题

## 色散关系和能隙

不计阻尼，LLG 方程化为 $\dot m_x=-\gamma_0H_2m_y$ 和 $\dot m_y=\gamma_0H_1m_x$，两个刚度场见下式。对第一式再求一次导，代入第二式，得 $\ddot m_x=-\gamma_0^2H_1H_2m_x$：倾斜以 $\omega=\gamma_0\sqrt{H_1H_2}$ 进动。

$k=0$、零场时，$\mu_0H_1=958\,\mathrm{mT}$，$\mu_0H_2=927\,\mathrm{mT}$，最低频率 $f_0=\omega/2\pi=26.4\,\mathrm{GHz}$。沿磁畴方向加 40 mT，能隙升到 27.5 GHz。低于能隙时，天线只能在身边激起一点很快消失的倾斜。

反过来，从频率求波长。零场、60 GHz 时，由 $(\gamma_0H_1)(\gamma_0H_2)=\omega^2$ 解出 $H_{\mathrm{ex}}$：需要 $\mu_0H_{\mathrm{ex}}=1.20\,\mathrm{T}$，于是 $k=0.203\,\mathrm{nm^{-1}}$，波长 30.9 nm。10 nm 的波需要 11.5 T 的交换场，频率是 348 GHz。

$$
\omega^2=\gamma_0^2H_1H_2,\qquad H_1=H+H_{K0}+H_K+H_{\mathrm{ex}},\quad H_2=H+H_{K0}+H_{\mathrm{ex}},\quad H_{\mathrm{ex}}=\frac{2Ak^2}{\mu_0M_s}
$$

## 网格对波做了什么

在格子大小为 $a$ 的链上，二阶差分把 $k^2$ 换成 $(2-2\cos ka)/a^2$，短波时偏小。用 1 nm 的格子，60 GHz 的波长是 30.86 nm，连续介质给 30.92 nm，差 0.2%；到 150 GHz 差别增大到 0.6%。这就是第 3 章那个二阶网格误差，只是这里表现为波长的偏移。

实验用链自己的离散色散来检验链：一条 512 格的周期链，加一点小扰动，不计阻尼运行，再对空间和时间做傅里叶变换。每个谱峰都落在公式值半个频率格（1.95 GHz）以内。

$$
k^2\;\longrightarrow\;\frac{2-2\cos ka}{a^2}=k^2\left(1-\frac{k^2a^2}{12}+\dots\right)
$$

完整例题

## 阻尼让波数变成复数

天线以一个实频率驱动薄膜。有 Gilbert 阻尼时，进动方程里的每个 $\gamma_0H$ 都变成 $\gamma_0H-i\alpha\omega$，条件变为 $(\gamma_0H_1-i\alpha\omega)(\gamma_0H_2-i\alpha\omega)=\omega^2$。令 $X=\gamma_0H_{\mathrm{ex}}-i\alpha\omega$，这是关于 $X$ 的实系数二次方程，$X$ 为实数，于是 $k^2$ 多出一个正比于 $\alpha\omega$ 的虚部。

$k$ 的实部给出波长 $\lambda=2\pi/\mathrm{Re}\,k$；虚部给出振幅衰减为 $1/e$ 所走的距离 $\ell=1/\mathrm{Im}\,k$。

在 1 nm 的链上，零场、60 GHz：$\alpha=0.1$ 时 $\lambda=30.7\,\mathrm{nm}$，$\ell=55.1\,\mathrm{nm}$；换成薄膜本身的 $\alpha=0.5$，$\lambda=28.6\,\mathrm{nm}$，$\ell=11.9\,\mathrm{nm}$，不到半个波长就衰减掉了。自旋波预设因此把阻尼降到 0.1，这是为了让波看得见而假设的值。

实验中天线在 60 GHz 激发的波，链上测得 30.75 nm，带阻尼的公式给 30.74 nm。基准测试不用闭式解，而用牛顿迭代解同一个条件，在 40、60、100、150 GHz 下与链的波长相差 0.07% 以内，衰减长度相差 0.6% 以内。

$$
X=\frac{-(p+q)+\sqrt{(p-q)^2+4\omega^2}}{2},\qquad \frac{2A\gamma_0}{\mu_0M_s}\,k^2=X+i\alpha\omega
$$

## 这个图像省略了什么

链只把杂散场保留为局域项，这和 Thiaville 等处理超薄膜时用的近似相同。波自身杂散场的长程部分被略去了，本课程没有估算它对色散的影响。天线是 5 nm 宽的均匀场，不是真实微波传输线的模型；也没有温度。

带着问题动手

## 先预测，再改变，最后解释

1. 60 GHz、阻尼 0.1 时，波长 30.7 nm，衰减长度 55 nm。预测 100 GHz 时这两个数。
2. 在畴壁实验中选“天线激发自旋波”，再把天线频率从 60 GHz 调到 100 GHz。
3. 解释：为什么波长缩短了约三分之一，衰减长度却只缩短约八分之一？

[推动畴壁，激发自旋波](https://sandboxphysics.com/zh/labs/domain-wall-spin-waves/)

单畴实验把 muMAG 第 4 号标准问题的小条当作一个磁矩。畴壁和斯格明子实验使用 Thiaville 等的 Pt/Co 薄膜，杂散场按局域项处理。三个实验都在零温下运行。

## 试着自己解释

### 1. 40 mT 时，向上磁畴中自旋波的最低频率是多少？

展开答案与解释

$k=0$ 时 $f_0=\gamma_0\sqrt{(H+H_{K0}+H_K)(H+H_{K0})}/2\pi=27.5\,\mathrm{GHz}$。

### 2. 不计阻尼、零场时，100 GHz 的连续介质波长是多少？

展开答案与解释

由 $\gamma_0^2H_1H_2=\omega^2$ 解出 $H_{\mathrm{ex}}$，再算 $k=\sqrt{\mu_0M_sH_{\mathrm{ex}}/2A}$，得 $\lambda=20.9\,\mathrm{nm}$；1 nm 链上是 20.8 nm。

### 3. 阻尼 0.1 时，100 GHz 的波衰减长度是 48.5 nm。$k^2$ 的虚部只与 $\omega$ 成正比，为什么频率高了衰减距离反而变短？

展开答案与解释

衰减长度是 $1/\mathrm{Im}\,k$。阻尼小时 $\mathrm{Im}\,k\approx\mathrm{Im}(k^2)/(2\,\mathrm{Re}\,k)$。从 60 到 100 GHz，$\mathrm{Im}(k^2)$ 增大到 5/3 倍，$\mathrm{Re}\,k$ 约增大到 1.48 倍，所以 $\mathrm{Im}\,k$ 约增大到 1.13 倍，衰减长度从 55.1 nm 降到 48.5 nm。

## 可以放在旁边读的来源

1. [Abert, Micromagnetics and spintronics: models and numerical methods, European Physical Journal B 92, 120 (2019), arXiv:1810.12365v2](https://arxiv.org/abs/1810.12365v2)

   读过：交换能（式 10）、退磁场（2.3 节）、单轴各向异性（2.4 节）、界面 DMI（式 33）及其边界项（3.5 节）、Gilbert 形式和显式形式的 Landau-Lifshitz-Gilbert 方程（式 117、118）、磁化长度守恒与能量耗散（式 120 至 125）、Zhang-Li 力矩（式 134）以及有限差分方法（6.1 节）。其余章节没有读。

2. [Thiaville, Rohart, Jué, Cros & Fert, Dynamics of Dzyaloshinskii domain walls in ultrathin magnetic films, EPL 100, 57002 (2012), arXiv:1211.5970](https://arxiv.org/abs/1211.5970)

   已读全文：Pt/Co/AlOx 的材料参数、有效各向异性、Néel 壁所需的临界 DMI、含 DMI 的集体坐标畴壁方程，以及 Walker 场以下的稳态速度。

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