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title: "斯格明子为什么有确定的大小和整数拓扑荷"
description: "斯格明子是一圈首尾相接的畴壁。由壁能和弯曲能推出它的半径，在网格上数出它的拓扑荷，再看边缘为什么让这个数偏离整数。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/micromagnetics/skyrmions-and-topological-charge/"
last_modified: "2026-10-29"
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[微磁学 · 边学边做实验](https://sandboxphysics.com/zh/stories/micromagnetics/)

L3 · 第 6 章

# 斯格明子为什么有确定的大小和整数拓扑荷

在这层向上磁化的膜里，孤立斯格明子是一小块磁矩朝下的圆盘，外面围着一圈 Néel 壁，壁的手性由 DMI 决定。它的半径来自一种平衡：DMI 降低了畴壁能，而把畴壁弯成一圈要付出交换能。D 为每平方米 3.0 mJ 时，半径 9.4 nm。它的拓扑荷数的是磁矩把方向球面覆盖了几次，等于 −1。靠近开放边缘时，即使模拟完全正确，算出的拓扑荷也会稍稍偏离 −1，因为边缘的磁矩是倾斜的。

Sandbox Physics · 2026-10-29

这一章

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开始前

第 3、4 章。极坐标、标量三重积、球面上的立体角。

## DMI 让畴壁变便宜，但能量仍为正

第 4 章给出了单位面积的畴壁能。不计那个小的难轴项，手性正确的 Néel 壁能量为 $\sigma=4\sqrt{AK_0}-\pi D$（Rohart 与 Thiaville 2013，式 10）。这层膜的 $4\sqrt{AK_0}=11.4\,\mathrm{mJ/m^2}$，所以 $D=3.0\,\mathrm{mJ/m^2}$ 时畴壁只要每平方米 2.0 mJ。

畴壁能在 $D_c=4\sqrt{AK_0}/\pi=3.64\,\mathrm{mJ/m^2}$ 处降到零。超过它，畴壁反而降低能量，薄膜会碎成摆线状结构。低于它，均匀磁化才是基态。这时斯格明子是一种能量更高、但稳定的纹理：小的扰动去不掉它，可它也不是能量最低的状态。Rohart 与 Thiaville 提到，这类斯格明子被称为孤立斯格明子。实验把 $D$ 限制在每平方米 2.8 到 3.4 mJ，低于 $D_c$。

完整例题

## 把畴壁首尾接成一圈

把半径为 $R_s$ 的斯格明子想成一段弯成圆圈的直畴壁，膜厚为 $t$。畴壁本身的能量是 $2\pi R_st\sigma$；弯曲要额外付出与 $1/R_s$ 成正比的交换能，Rohart 与 Thiaville 估计为 $4\pi tA\Delta/R_s$（式 17）。前一项希望圈小，后一项希望圈大。

对 $R_s$ 求导并令其为零，得 $R_s^2=2A\Delta/\sigma$。代入 $\sigma=4(A/\Delta)(1-D/D_c)$，就是他们的式 18。$D=3.0\,\mathrm{mJ/m^2}$ 时预测 9.47 nm。

这个估计假设圈比畴壁宽得多，$R_s\gg\Delta$。用完整的径向剖面（数值求解他们的式 16a）来检验：每平方米 3.0 mJ 时为 9.40 nm，与估计接近；2.6 mJ 时为 5.77 nm，估计却是 7.42 nm，此时圈只比畴壁宽一点；3.4 mJ 时为 17.3 nm，估计为 15.5 nm。实验用的是完整剖面。

$$
E_s\approx2\pi R_st\sigma+\frac{4\pi tA\Delta}{R_s}\quad\Longrightarrow\quad R_s\approx\frac{\Delta}{\sqrt{2(1-D/D_c)}}
$$

## 拓扑荷数的是什么

把膜上每一点映射到它的磁矩方向，也就是单位球面上的一点。均匀磁化的膜全部映到北极。斯格明子的磁矩从核心处的南极出发，经过畴壁里赤道上的所有方向，在远处回到北极：它把球面恰好覆盖一次。拓扑荷数的就是覆盖的次数，并按取向带上正负号（Kim 与 Mulkers 2020，式 1）。

对绕方位角转一圈的径向剖面 $\theta(r)$，积分化为 $Q=\tfrac12[\cos\theta(0)-\cos\theta(\infty)]$。向上膜中的向下核心给出 $Q=-1$，向下膜中的向上核心给出 $+1$。

Abert 指出了它的后果：斯格明子无法通过磁化的连续变化变成均匀态。在网格上，这种保护只是近似成立的，本章余下部分讲的就是这一点。

$$
Q=\frac{1}{4\pi}\int\mathbf m\cdot\left(\frac{\partial\mathbf m}{\partial x}\times\frac{\partial\mathbf m}{\partial y}\right)\mathrm{d}^2r
$$

完整例题

## 在网格上数的两种办法

直接的办法是把式 1 中的导数换成有限差分。只要相邻磁矩差别不大，它就可用，误差随格子尺寸的平方减小。

晶格办法不用导数，Kim 与 Mulkers 取自 Berg 与 Lüscher。把每四个相邻格子中心组成的方格分成两个三角形，再把每个三角形的三个磁矩在球面上张成的带符号立体角加起来。方格有两种分法，Kim 与 Mulkers 对两者取平均，每个三角形权重为二分之一（式 2、3）。

拿沿 $\hat x$、$\hat y$、$\hat z$ 的三个磁矩试一下：分子 $\hat x\cdot(\hat y\times\hat z)=1$，分母为 1，所以 $\tan(q/2)=1$，$q=\pi/2$，正好是整个球面 $4\pi$ 的八分之一。把 $\hat z$ 换成 $-\hat z$，符号翻转为 $-\pi/2$。

在无边界的膜（周期性边界）中，实验给出的斯格明子晶格拓扑荷为 −1，有限差分拓扑荷在 2 nm 格子下为 −0.956，1 nm 格子下为 −0.989。格子减半，有限差分的误差缩小约四倍，符合二阶方法。Kim 与 Mulkers 的图 1 给出同样的对比：平滑斯格明子为 −0.99978，加入随机无序后为 −0.971，尽管覆盖方式并没有变。

$$
Q=\frac{1}{4\pi}\sum_{\langle ijk\rangle}q_{ijk},\qquad \tan\frac{q_{ijk}}{2}=\frac{\mathbf m_i\cdot(\mathbf m_j\times\mathbf m_k)}{1+\mathbf m_i\cdot\mathbf m_j+\mathbf m_i\cdot\mathbf m_k+\mathbf m_j\cdot\mathbf m_k}
$$

## 开放边缘让拓扑荷偏离整数，这并不是出错

有 DMI 时，自由边缘上的磁矩无法保持垂直。Rohart 与 Thiaville 推出了边界条件（式 4b、6），并给出直边处的倾斜 $\sin\theta_{\mathrm{edge}}=\Delta/\xi$，$\xi=2A/D$（式 8）。$D=3.0\,\mathrm{mJ/m^2}$ 时 $\xi=10.7\,\mathrm{nm}$，边缘磁矩倾斜到 $\sin\theta_{\mathrm{edge}}=0.525$，向膜内约经过 $\Delta$ 的距离消失。

倾斜的边缘磁矩覆盖了球面的一部分，所以有开放边缘时，两种定义都不必给出整数。在斯格明子实验 60 nm 宽的赛道里，斯格明子居中时晶格拓扑荷为 −0.999935，离下边缘 23.6 nm 时为 −0.999631；换成 1 nm 格子，分别是 −0.999937 和 −0.999636。格子减半，这点亏缺不变，说明它来自边缘而不是网格。没有斯格明子的赛道两种定义都给 0，因为直边沿整个长度倾斜方式都一样。

Kim 与 Mulkers 在一个边缘弯曲的 200 nm 圆盘里看到更大的偏离：零温下有限差分为 −0.9305，晶格方法为 −0.9468，他们把它归因于边缘倾斜。他们的结论是：在带手性边缘的受限结构里，非整数的拓扑荷要谨慎解读。本课程把这一点定为规则：靠近边缘时拓扑荷偏离整数，首先说明的是边缘；其中是否有一部分属于数值误差，只有网格测试才能判断。

带着问题动手

## 先预测，再改变，最后解释

1. 先预测无边界膜中斯格明子的两个拓扑荷读数，再预测沿赛道中线运动的斯格明子的读数。
2. 在斯格明子实验中先选“没有边缘：霍尔角一直保持”，再选“非绝热系数等于阻尼时不侧移”，每次都读出舞台旁的两个拓扑荷读数。
3. 两次晶格读数都显示 −1.000，有限差分读数却不一样。解释每个数测的是什么；用什么检验能判断这个差别是不是数值误差？导出的记录里有更多位数的晶格拓扑荷。

[沿赛道推动一个斯格明子](https://sandboxphysics.com/zh/labs/skyrmion-track-pinning/)

单畴实验把 muMAG 第 4 号标准问题的小条当作一个磁矩。畴壁和斯格明子实验使用 Thiaville 等的 Pt/Co 薄膜，杂散场按局域项处理。三个实验都在零温下运行。

## 试着自己解释

### 1. 用式 18 的估计求 $D=3.2\,\mathrm{mJ/m^2}$ 时的半径。它比完整剖面的 12.3 nm 大还是小？

展开答案与解释

$R_s\approx5.60\,\mathrm{nm}/\sqrt{2(1-3.2/3.64)}=11.4\,\mathrm{nm}$，比完整剖面小约 7%。

### 2. $D=2.8\,\mathrm{mJ/m^2}$ 时边缘倾斜多少？

展开答案与解释

$\xi=2A/D=11.4\,\mathrm{nm}$，所以 $\sin\theta_{\mathrm{edge}}=5.60/11.4=0.490$。

### 3. 一个单精度模拟给出周期性膜中斯格明子的晶格拓扑荷为 −1.0000004。这是要靠格子减半来消除的网格误差吗？

展开答案与解释

不是。对周期性膜中的平滑纹理，晶格拓扑荷除舍入外就是整数；Kim 与 Mulkers 把这种量级的起伏（400 K 时 −1.0000008 到 −0.9999996）归因于单精度运算。同一张膜里有限差分给出 −0.956，那才是网格误差，检验它的办法正是把格子减半。

## 可以放在旁边读的来源

1. [Abert, Micromagnetics and spintronics: models and numerical methods, European Physical Journal B 92, 120 (2019), arXiv:1810.12365v2](https://arxiv.org/abs/1810.12365v2)

   读过：交换能（式 10）、退磁场（2.3 节）、单轴各向异性（2.4 节）、界面 DMI（式 33）及其边界项（3.5 节）、Gilbert 形式和显式形式的 Landau-Lifshitz-Gilbert 方程（式 117、118）、磁化长度守恒与能量耗散（式 120 至 125）、Zhang-Li 力矩（式 134）以及有限差分方法（6.1 节）。其余章节没有读。

2. [Rohart & Thiaville, Skyrmion confinement in ultrathin film nanostructures in the presence of Dzyaloshinskii-Moriya interaction, Physical Review B 88, 184422 (2013), arXiv:1310.0666](https://arxiv.org/abs/1310.0666)

   已读全文：Pt/Co/AlOx 参数和超薄膜中杂散场的局域处理，自由边缘的边界条件与边缘倾斜（式 3 至 8，以及图 1 中含完整偶极作用的对照），孤立斯格明子的方程（式 15、16）和近似半径（式 18）。

3. [Kim & Mulkers, On quantifying the topological charge in micromagnetics using a lattice-based approach, IOP SciNotes 1, 025211 (2020), arXiv:2006.13336](https://arxiv.org/abs/2006.13336)

   已读全文：有限差分拓扑荷（式 1）、由带号立体角求的晶格拓扑荷（式 2、3，图 2）、第 3 节的三个算例（图 3 至图 5），以及边缘倾斜使两种取值都不是整数的圆盘算例。

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