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title: "纳米磁体的形状决定易轴和翻转方式"
description: "扁平磁体自身的场让它沿长边指向。推出它的两个刚度和振荡频率，再分别用慢慢加场和短脉冲把它翻过来。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/micromagnetics/shape-anisotropy-and-switching/"
last_modified: "2026-10-29"
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[微磁学 · 边学边做实验](https://sandboxphysics.com/zh/stories/micromagnetics/)

L2 · 第 2 章

# 纳米磁体的形状决定易轴和翻转方式

磁体一旦磁化，就会产生自己的场；沿磁体最薄的方向，这个场最强烈地抵抗磁化。muMAG 第 4 号标准问题的磁体长 500 nm、宽 125 nm、厚 3 nm，长轴因此成为易轴：面内刚度 29.1 mT，面外刚度 948 mT。慢慢加场，要达到 Stoner-Wohlfarth 星形线才能把它翻转；而横向一个 25 mT、140 ps 的脉冲借助进动，能更快地把它翻过来。

Sandbox Physics · 2026-10-29

这一章

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开始前

第 1 章：进动与阻尼。倍角三角恒等式。

## 磁体自己的场

磁化在表面终止，会在那里留下磁极。磁极在磁体内部产生一个与磁化方向相反的场，叫退磁场。一般情况下它是对整个磁体的卷积（Abert 2019，2.3 节）；对均匀磁化的长方体，它化为三个数，即沿三条棱方向各一个的退磁因子。

Aharoni 给出了长方体退磁因子的解析式。我们用 magpar 计算器页面上复现的公式求值，标准问题的磁体沿 500 nm 方向 $N_x=0.009180$，沿 125 nm 方向 $N_y=0.038176$，沿 3 nm 厚度方向 $N_z=0.952644$，三者之和为 1。单位体积的能量就是各分量平方的加权和。

$$
\mathbf{H}_{\mathrm{d}}=-M_s\,(N_xm_x,\;N_ym_y,\;N_zm_z),\qquad E=\frac{\mu_0M_s^{2}}{2}\left(N_xm_x^{2}+N_ym_y^{2}+N_zm_z^{2}\right)
$$

## 两个刚度，一条易轴

先让磁矩留在膜面内，与长边夹角为 $\varphi$。代入 $m_x=\cos\varphi$、$m_y=\sin\varphi$，能量变成常数加 $K\sin^2\varphi$，其中 $K=\mu_0M_s^{2}(N_y-N_x)/2=11.7\,\mathrm{kJ/m^3}$。能量最低点在 $\varphi=0$ 和 $\pi$：长轴是易轴，沿它的两个方向就是存储的两个状态。

刚度用场来表示最直观。磁矩向 $y$ 倾斜，受到大小为 $(N_y-N_x)M_s$ 的回复场，即 29.1 mT；向膜面外倾斜，回复场为 $(N_z-N_x)M_s$，即 948 mT，硬了约 33 倍。

$$
\mu_0H_K=\mu_0(N_y-N_x)M_s=29.1\,\mathrm{mT},\qquad \mu_0(N_z-N_x)M_s=948\,\mathrm{mT}
$$

完整例题

## 磁体的振荡频率

让磁矩停在 $+x$ 附近：$\mathbf{m}\approx(1,m_y,m_z)$，$m_y$ 和 $m_z$ 都很小，有效场就是 $\mathbf{H}_{\mathrm{d}}$。在 $-\gamma_0\,\mathbf{m}\times\mathbf{H}_{\mathrm{d}}$ 中保留一阶项，得 $\dot m_y=-\gamma_0(N_z-N_x)M_s\,m_z$ 和 $\dot m_z=\gamma_0(N_y-N_x)M_s\,m_y$。

对第一式求导再代入第二式：$\ddot m_y=-\omega^2m_y$，$\omega=\gamma_0M_s\sqrt{(N_y-N_x)(N_z-N_x)}$。振荡频率由两个刚度的几何平均 166 mT 决定，算出来是 4.66 GHz。轨道是一个扁椭圆：$m_z$ 的摆幅只有 $m_y$ 的 $\sqrt{(N_y-N_x)/(N_z-N_x)}=0.175$ 倍。

这就是这块磁体的 Kittel 公式。实验对磁矩最终所在的能谷算出这个频率；“轻轻一推”预设直接从轨迹上读出 4.65 GHz。基准检验在三个偏置场下比较小幅振荡，与公式相差不到十万分之三。

$$
f_K=\frac{\gamma_0}{2\pi}\sqrt{(N_y-N_x)M_s\,(N_z-N_x)M_s}=28.0\,\mathrm{GHz\,T^{-1}}\times166\,\mathrm{mT}=4.66\,\mathrm{GHz}
$$

## 慢慢加场：在星形线上翻转

现在缓慢加场，场方向与磁矩的反方向成 $\psi$ 角，磁矩仍留在膜面内。以 $H_K$ 为单位、记 $h=H/H_K$，能量为 $E/K=\sin^2\varphi-2h\cos(\varphi-\psi)$。磁矩一直待在原来的能谷里，直到能谷消失，也就是能量的一阶导数和二阶导数同时为零。

联立这两个条件，得到 Stoner-Wohlfarth 翻转场，把它对角度作图就是星形线。推导是我们自己给出的，没有打开 1948 年的原论文。$\psi=45^{\circ}$ 时翻转场是刚度场的一半，14.6 mT；沿轴方向则要整整 29.1 mT。实验在 5 到 80 度之间缓慢扫场，测得的翻转场最多比星形线高 0.006（以 $H_K$ 为单位）。

$$
h_{\mathrm{sw}}(\psi)=\left(\cos^{2/3}\psi+\sin^{2/3}\psi\right)^{-3/2}
$$

## 短脉冲靠的是进动

实验默认的脉冲是沿 $+y$ 的 25 mT，持续 140 ps。横向场单靠自己到不了星形线：缓慢加上的 25 mT 横向场，只会把磁矩朝 $y$ 拉过去一部分。脉冲的作用是让磁矩进动：$-\gamma_0\,\mathbf{m}\times\mathbf{H}$ 的第一个效果，是把磁矩稍稍翘出膜面。

这一点点倾斜碰上 948 mT 的面外刚度，磁矩绕由此产生的场快速进动，结果在膜面内转动。默认那次运行中倾角从未超过 7.6 度，磁矩却在 90 ps 时就转过了难轴。脉冲此时结束，阻尼会把磁矩带进对面的能谷；脉冲若持续 350 ps，磁矩转完一圈，又落回原处。

实验里的翻转图由 1280 条完整轨迹组成，每个脉冲场强和时长一条；每条轨迹按能量最终降到哪个能谷的鞍点以下来判定结果。图上的条带直接来自这种半圈时序。

带着问题动手

## 先预测，再改变，最后解释

1. 与易轴成 45 度的慢场在 14.6 mT 时就能翻转这块磁体。预测：指向这个方向的短脉冲，比横向的 25 mT 脉冲需要的场更大还是更小？脉冲时长还重要吗？
2. 在单畴实验中从“半圈脉冲把它翻过去”出发，把“脉冲与易轴的夹角”设为 $135^{\circ}$，即与反方向成 45 度，再点击翻转图上的格子。
3. 用两个刚度解释：在 90 度和 135 度时，脉冲分别完成了翻转中的哪一部分？

[用场脉冲踢一下纳米磁体](https://sandboxphysics.com/zh/labs/macrospin-switching/)

单畴实验把 muMAG 第 4 号标准问题的小条当作一个磁矩。畴壁和斯格明子实验使用 Thiaville 等的 Pt/Co 薄膜，杂散场按局域项处理。三个实验都在零温下运行。

## 试着自己解释

### 1. 立方体的 $N_x=N_y=N_z$。各因子是多少？它有多大的形状刚度？

展开答案与解释

由求和规则，每个都是三分之一。能量在各个方向都一样，所以立方体没有形状刚度。

### 2. 同种材料的另一块磁体 $N_y-N_x=0.05$，它的面内刚度场是多少？

展开答案与解释

800 kA/m 对应 $\mu_0M_s=1.005\,\mathrm{T}$，所以 $\mu_0H_K=0.05\times1.005\,\mathrm{T}=50.3\,\mathrm{mT}$。

### 3. 标准问题磁体在 $\psi=30^{\circ}$ 时的慢翻转场是多少？

展开答案与解释

$h_{\mathrm{sw}}=0.524$，即 15.3 mT。星形线在 45 度处最低。

## 可以放在旁边读的来源

1. [Abert, Micromagnetics and spintronics: models and numerical methods, European Physical Journal B 92, 120 (2019), arXiv:1810.12365v2](https://arxiv.org/abs/1810.12365v2)

   读过：交换能（式 10）、退磁场（2.3 节）、单轴各向异性（2.4 节）、界面 DMI（式 33）及其边界项（3.5 节）、Gilbert 形式和显式形式的 Landau-Lifshitz-Gilbert 方程（式 117、118）、磁化长度守恒与能量耗散（式 120 至 125）、Zhang-Li 力矩（式 134）以及有限差分方法（6.1 节）。其余章节没有读。

2. [muMAG Standard Problem #4, NIST Center for Theoretical and Computational Materials Science](https://www.ctcms.nist.gov/~rdm/std4/spec4.html)

   读了完整的问题说明：长 500 nm、宽 125 nm、厚 3 nm 的薄膜，饱和磁化强度 800 kA/m，交换常数 13 pJ/m，阻尼 0.02，旋磁比 221.1 km/(A s)，以及两种反转场。单畴实验只借用它的几何和常数，并没有求解这道标准问题。

3. [magpar, Calculator for magnetostatic energy and demagnetizing factor (implements Aharoni, Journal of Applied Physics 83, 3432, 1998)](http://www.magpar.net/static/magpar/doc/html/demagcalc.html)

   打开了计算器页面，它给出的长方体退磁因子解析式与实验代码逐项一致。Aharoni 的原论文没有打开。

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