---
title: "磁矩先绕着磁场转，然后才停下"
description: "磁场把磁矩往侧面推，磁矩于是绕着磁场转。推出进动频率，加上 Gilbert 阻尼，数一数它转几圈才停下。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/micromagnetics/precession-and-damping/"
language: "zh-CN"
page_type: "story"
alternate_languages:
  en: "https://sandboxphysics.com/stories/micromagnetics/precession-and-damping/"
last_modified: "2026-10-29"
---

[微磁学 · 边学边做实验](https://sandboxphysics.com/zh/stories/micromagnetics/)

L1 · 第 1 章

# 磁矩先绕着磁场转，然后才停下

磁场对磁矩的推力，同时垂直于磁矩和磁场，所以磁矩绕着磁场转圈，转速只由磁场大小决定：每特斯拉 28.0 GHz。很弱的阻尼把圆圈变成慢慢收拢的螺旋，最后停在磁场方向上。本课程的纳米磁体阻尼是 0.02，倾角缩小到 1/e 之前，磁矩大约要转八圈。

Sandbox Physics · 2026-10-29

这一章

[查看八章课程](https://sandboxphysics.com/zh/stories/micromagnetics/)

开始前

矢量与叉乘、作为变化率的导数、指数函数。这是本课程第一章。

## 磁矩、磁场和运动方程

铁磁体里电子自旋叠加成磁化强度 $\mathbf{M}=M_s\mathbf{m}$。它的大小即饱和磁化强度 $M_s$，由材料决定；微磁学只追踪它的方向，也就是单位矢量 $\mathbf{m}$。磁场 $\mathbf{H}$ 的单位是安培每米，文中用毫特斯拉表示 $\mu_0H$。

电子自旋带有角动量，所以磁场转动它的方式，和在蜂蜜里拨动指南针不一样：力矩改变的是角动量，而角动量就是磁矩本身。不计阻尼，得到 Landau-Lifshitz-Gilbert 方程的第一项（Abert 2019，式 117）。旋磁比取 muMAG 标准问题采用的 $\gamma_0=2.211\times10^{5}\,\mathrm{m\,A^{-1}\,s^{-1}}$。

$$
\frac{\mathrm{d}\mathbf{m}}{\mathrm{d}t}=-\gamma_0\,\mathbf{m}\times\mathbf{H}
$$

## 磁矩为什么绕圈

叉乘同时垂直于两个因子，因此 $\mathbf{m}$ 的变化垂直于 $\mathbf{m}$，长度保持为 1；又垂直于 $\mathbf{H}$，两者夹角 $\theta$ 保持不变。$\mathbf{m}$ 的端点只能沿半径为 $\sin\theta$ 的圆绕磁场跑，这就是进动。

端点速率是 $|\mathrm{d}\mathbf{m}/\mathrm{d}t|=\gamma_0H\sin\theta$，除以半径得角速度 $\omega=\gamma_0H$，与倾角无关。换算成频率，每特斯拉的 $\mu_0H$ 对应 28.0 GHz。

$$
f=\frac{\gamma_0H}{2\pi}=\frac{\gamma_0}{2\pi\mu_0}\,\mu_0H\approx28.0\,\mathrm{GHz\,T^{-1}}\times\mu_0H
$$

## 阻尼把圆圈变成螺旋

真实磁体会把能量交给晶格和传导电子。Gilbert 加了一项阻碍运动的项 $\alpha\,\mathbf{m}\times\dot{\mathbf{m}}$，其中无量纲阻尼 $\alpha$ 很小。把 $\dot{\mathbf{m}}$ 解出来，得到下面的显式形式（Abert 2019，式 118），第二项从 $\mathbf{m}$ 指向磁场。

磁矩在磁场中的能量密度是 $E=-\mu_0M_s\,\mathbf{m}\cdot\mathbf{H}$。代入显式形式可知它只降不升，速率为 $\dot{E}=-\alpha\gamma_0\mu_0M_s|\mathbf{m}\times\mathbf{H}|^2/(1+\alpha^2)$（Abert 2019，式 121 至 124）。$\alpha=0$ 时能量守恒，磁矩永远转下去。

$$
\dot{\mathbf{m}}=-\frac{\gamma_0}{1+\alpha^2}\,\mathbf{m}\times\mathbf{H}-\frac{\alpha\gamma_0}{1+\alpha^2}\,\mathbf{m}\times(\mathbf{m}\times\mathbf{H})
$$

完整例题

## 停下之前转几圈

让磁场沿 $z$，用倾角 $\theta$ 和方位角 $\varphi$ 描述 $\mathbf{m}$。显式形式的第一项只改变 $\varphi$，速率 $\omega=\gamma_0H/(1+\alpha^2)$；第二项只改变 $\theta$，$\dot\theta=-\alpha\omega\sin\theta$。

分离变量：$\mathrm{d}\theta/\sin\theta=-\alpha\omega\,\mathrm{d}t$。$1/\sin\theta$ 的积分是 $\ln\tan(\theta/2)$，于是 $\tan(\theta/2)$ 按时间常数 $1/(\alpha\omega)$ 指数衰减。这段时间里磁矩转了 $\omega/(2\pi)\times1/(\alpha\omega)=1/(2\pi\alpha)$ 圈，与磁场大小无关。

标准问题的阻尼 $\alpha=0.02$ 对应 7.96 圈。在 25 mT 的磁场中，进动频率 0.700 GHz，时间常数 11.4 ns。单畴实验的第一项检验就是积分这条螺旋，它的四阶积分器复现这个公式，实测收敛阶为 4.00。

$$
\tan\frac{\theta(t)}{2}=\tan\frac{\theta_0}{2}\,e^{-\alpha\omega t},\qquad N_{e}=\frac{1}{2\pi\alpha}=7.96\quad(\alpha=0.02)
$$

## 实验里的磁体为什么不一样

单畴实验研究的是 muMAG 第 4 号标准问题中的那块纳米磁体：长 500 nm、宽 125 nm、厚 3 nm，$M_s=800\,\mathrm{kA/m}$，$\alpha=0.02$，并把它当成一个整体转动的磁矩。这个磁矩感受到的不只是外加的均匀磁场：磁体自己会产生很强的磁场，大小随磁矩指向而变。下一章算出这个场，并解释为什么不加外场，磁矩也会以 4.66 GHz 振荡。

带着问题动手

## 先预测，再改变，最后解释

1. 阻尼从 0.02 提高到 0.1，球面上的螺旋会怎样变？停下之前转的圈数变多还是变少？每一圈会不会变慢？
2. 在单畴实验中选“轻轻一推，按 Kittel 频率振荡”，看一遍，再把“Gilbert 阻尼”设为 $0.1$，再看一遍。
3. 用每衰减到 1/e 所转的圈数 $1/(2\pi\alpha)$，以及进动速率里的因子 $1/(1+\alpha^2)$，解释你看到的现象。

[用场脉冲踢一下纳米磁体](https://sandboxphysics.com/zh/labs/macrospin-switching/)

单畴实验把 muMAG 第 4 号标准问题的小条当作一个磁矩。畴壁和斯格明子实验使用 Thiaville 等的 Pt/Co 薄膜，杂散场按局域项处理。三个实验都在零温下运行。

## 试着自己解释

### 1. 磁场 $\mu_0H=100\,\mathrm{mT}$ 时进动频率是多少？

展开答案与解释

约 2.80 GHz：每特斯拉 28.0 GHz 乘以 0.1 T。$\alpha=0.02$ 时阻尼因子 $1/(1+\alpha^2)$ 的影响不到千分之一。

### 2. $\alpha=0.01$ 时，$\tan(\theta/2)$ 缩小到 1/e 期间磁矩转几圈？

展开答案与解释

约 15.9 圈，来自 $1/(2\pi\alpha)$。阻尼减半，圈数加倍。

### 3. 证明不计阻尼时，恒定磁场中的能量 $E=-\mu_0M_s\,\mathbf{m}\cdot\mathbf{H}$ 不会变化。

展开答案与解释

变化率为 $\dot E=-\mu_0M_s\,\mathbf{H}\cdot\dot{\mathbf{m}}=\mu_0M_s\gamma_0\,\mathbf{H}\cdot(\mathbf{m}\times\mathbf{H})$。叉乘垂直于每个因子，所以它与 $\mathbf{H}$ 的点积为零。

## 可以放在旁边读的来源

1. [Abert, Micromagnetics and spintronics: models and numerical methods, European Physical Journal B 92, 120 (2019), arXiv:1810.12365v2](https://arxiv.org/abs/1810.12365v2)

   读过：交换能（式 10）、退磁场（2.3 节）、单轴各向异性（2.4 节）、界面 DMI（式 33）及其边界项（3.5 节）、Gilbert 形式和显式形式的 Landau-Lifshitz-Gilbert 方程（式 117、118）、磁化长度守恒与能量耗散（式 120 至 125）、Zhang-Li 力矩（式 134）以及有限差分方法（6.1 节）。其余章节没有读。

2. [muMAG Standard Problem #4, NIST Center for Theoretical and Computational Materials Science](https://www.ctcms.nist.gov/~rdm/std4/spec4.html)

   读了完整的问题说明：长 500 nm、宽 125 nm、厚 3 nm 的薄膜，饱和磁化强度 800 kA/m，交换常数 13 pJ/m，阻尼 0.02，旋磁比 221.1 km/(A s)，以及两种反转场。单畴实验只借用它的几何和常数，并没有求解这道标准问题。

[下一章 纳米磁体的形状决定易轴和翻转方式](https://sandboxphysics.com/zh/stories/micromagnetics/shape-anisotropy-and-switching/)