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title: "交换作用让磁化平滑，也决定网格要多细"
description: "交换作用让相邻磁矩趋于一致。推出它在网格上的场，找出它决定的长度，再把格子减半、看误差如何下降，用来检验模拟。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/micromagnetics/exchange-and-the-mesh/"
language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/micromagnetics/exchange-and-the-mesh/"
last_modified: "2026-10-29"
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[微磁学 · 边学边做实验](https://sandboxphysics.com/zh/stories/micromagnetics/)

L2 · 第 3 章

# 交换作用让磁化平滑，也决定网格要多细

交换作用让相邻磁矩彼此对齐，磁化方向一弯曲就要付出能量。它与杂散场或各向异性相互竞争，定出磁化方向能够改变的最短长度，只有几纳米：本课程的 Pt/Co 薄膜是 4.59 nm 和 5.60 nm。有限差分模拟把平滑的磁化换成一个个格子，误差随格子尺寸的平方减小。把格子减半，误差应当降到四分之一。

Sandbox Physics · 2026-10-29

这一章

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开始前

第 1 章：Landau-Lifshitz-Gilbert 方程。四阶泰勒展开和偏导数。

## 交换能和交换场

铁磁体中相邻自旋倾向于平行。到了连续介质里，这变成能量密度 $A(\nabla\mathbf{m})^2$（Abert 2019，式 10），交换劲度 $A$ 的单位是焦耳每米。均匀磁化不花能量；扭转越急，代价越高。

进入 Landau-Lifshitz-Gilbert 方程的有效场，等于能量对磁化求导取负号，再除以 $\mu_0M_s$。对交换能，结果是 $(2A/\mu_0M_s)\nabla^2\mathbf{m}$：把每个磁矩拉向邻居平均方向的场。

$$
E_{\mathrm{ex}}=A\int(\nabla\mathbf{m})^2\,\mathrm{d}V,\qquad \mathbf{H}_{\mathrm{eff}}=-\frac{1}{\mu_0M_s}\frac{\delta E}{\delta\mathbf{m}},\qquad \mathbf{H}_{\mathrm{ex}}=\frac{2A}{\mu_0M_s}\nabla^2\mathbf{m}
$$

完整例题

## 同一个场，放到一串格子上

把薄膜条沿 $x$ 切成长度为 $a$ 的格子，每格一个方向 $\mathbf{m}_i$，用相邻格子之差代替梯度。每条键跨过长度 $a$，梯度平方约为 $|\mathbf{m}_{i+1}-\mathbf{m}_i|^2/a^2$，所以单位截面的能量是 $E/S=(A/a)\sum_i|\mathbf{m}_{i+1}-\mathbf{m}_i|^2$。

第 $i$ 格出现在两条键里。求导得 $\partial(E/S)/\partial\mathbf{m}_i=(2A/a)(2\mathbf{m}_i-\mathbf{m}_{i+1}-\mathbf{m}_{i-1})$，再除以 $-\mu_0M_sa$（一个格子的体积因子），就得到下面的场：它正是把连续交换场中的二阶导数换成中心差分。

畴壁实验就是这样搭起来的。它的第一项检验对离散能量做数值求导，交换场与能量梯度的负值相差不到十亿分之九。斯格明子实验在二维网格上做同样的事。

$$
\mathbf{H}_{\mathrm{ex},i}=\frac{2A}{\mu_0M_s}\,\frac{\mathbf{m}_{i+1}+\mathbf{m}_{i-1}-2\mathbf{m}_i}{a^2}
$$

## 交换作用定出的长度

只有交换作用，一切都会变均匀。它要和偏爱磁化弯曲的能量竞争。与杂散场平衡，得到交换长度 $\ell_{\mathrm{ex}}=\sqrt{2A/(\mu_0M_s^2)}$；与垂直各向异性 $K_0$ 平衡，得到畴壁宽度参数 $\Delta=\sqrt{A/K_0}$。

标准问题磁体 $A=13\,\mathrm{pJ/m}$、$M_s=800\,\mathrm{kA/m}$，交换长度为 5.69 nm。后面几章用的 Pt/Co 薄膜 $A=16\,\mathrm{pJ/m}$、$M_s=1.1\,\mathrm{MA/m}$、$K_0=510\,\mathrm{kJ/m^3}$，交换长度为 4.59 nm，$\Delta=5.60\,\mathrm{nm}$。这些薄膜中的畴壁和斯格明子都在这个尺度上转向，格子要多小，也就有了标准。

$$
\ell_{\mathrm{ex}}=\sqrt{\frac{2A}{\mu_0M_s^{2}}}=4.59\,\mathrm{nm},\qquad \Delta=\sqrt{\frac{A}{K_0}}=5.60\,\mathrm{nm}\quad(\text{Pt/Co})
$$

## 格子错在哪里，错多少

把 $\mathbf{m}(x\pm a)$ 做泰勒展开。中心差分里奇次项互相抵消，剩下 $(\mathbf{m}_{i+1}+\mathbf{m}_{i-1}-2\mathbf{m}_i)/a^2=\mathbf{m}''+a^2\mathbf{m}''''/12+\dots$。主误差正比于 $a^2$ 和四阶导数；纹理在几纳米内转弯的地方，四阶导数就大。相对误差因此大致按 $(a/\Delta)^2$ 变化。

Miltat 和 Donahue 用一个要求严格的算例得出同样的实用规则：格子要明显小于交换长度，才能充分收敛。我们只读了他们那一章的摘要，所以课程只引用这条结论，不引用具体数字。

$$
\frac{\mathbf{m}_{i+1}+\mathbf{m}_{i-1}-2\mathbf{m}_i}{a^2}=\mathbf{m}''+\frac{a^2}{12}\,\mathbf{m}''''+O(a^4)
$$

完整例题

## 格子减半，读出收敛阶

若误差 $e(a)\approx Ca^p$，则 $e(a)/e(a/2)=2^p$，实测收敛阶 $p=\log_2[e(a)/e(a/2)]$。二阶方法的比值应在 4 附近。

畴壁实验把静止 Bloch 壁的能量与精确值 $4\sqrt{AK_0}=11.42\,\mathrm{mJ/m^2}$ 比较。格子取 2、1、0.5、0.25 nm 时，能量分别偏低 0.54%、0.133%、0.033%、0.0083%。相邻比值为 4.06、4.01、4.00，即 $p=2.02$、2.01、2.00。畴壁被分辨开了，误差预算也就清楚了。

不随格子缩小的差距，就不是网格误差。斯格明子基准中 $D=3.4\,\mathrm{mJ/m^2}$ 时，弛豫后的斯格明子在 2 nm 格子上比孤立剖面小 10.0%，在 1 nm 格子上小 9.1%，格子减半只动了 1 个百分点。剩下的差距来自模型本身：薄膜在横向每 60 nm 重复一次，自由半径 17.3 nm 的斯格明子会感受到自己的周期像。

$$
p=\log_2\frac{e(a)}{e(a/2)}:\qquad \frac{0.54\%}{0.133\%}=4.06,\quad\frac{0.133\%}{0.033\%}=4.01,\quad\frac{0.033\%}{0.0083\%}=4.00
$$

## 为什么要共享标准算例

收敛只说明离散模型逼近了它自己的连续模型，并不说明两套程序解的是同一个连续问题，更不说明连续模型描述了真实器件。NIST 因此发布微磁学标准问题，并维护公开的参考程序 OOMMF：不同团队计算同一道规定好的题，再相互比较。本课程的几个实验只借用其中一道题的几何和常数，检验时对照的是解析极限。

带着问题动手

## 先预测，再改变，最后解释

1. 斯格明子实验的格子是 2 nm。$D=3.0\,\mathrm{mJ/m^2}$ 时孤立斯格明子半径 9.40 nm，$2.8$ 时为 7.34 nm。预测：哪种取值下，2 nm 格子对斯格明子的描述偏差更大？
2. 把“界面 DMI”设为 $2.8$，展开“更多读数与保存的记录”，比较“核半径”和无边界连续薄膜中孤立斯格明子的核半径；再调回 $3.0$。
3. 用误差随 $(a/R)^2$ 变化的规律（$R$ 为斯格明子半径）解释两者的差别，并说明实验为什么把 DMI 滑块的下限定在 2.8。

[推动畴壁，激发自旋波](https://sandboxphysics.com/zh/labs/domain-wall-spin-waves/) [沿赛道推动一个斯格明子](https://sandboxphysics.com/zh/labs/skyrmion-track-pinning/)

单畴实验把 muMAG 第 4 号标准问题的小条当作一个磁矩。畴壁和斯格明子实验使用 Thiaville 等的 Pt/Co 薄膜，杂散场按局域项处理。三个实验都在零温下运行。

## 试着自己解释

### 1. 计算 $A=16\,\mathrm{pJ/m}$、$M_s=1.1\,\mathrm{MA/m}$ 时的交换长度。

展开答案与解释

$\mu_0M_s^2=1.52\times10^{6}\,\mathrm{J/m^3}$，所以 $\ell_{\mathrm{ex}}=\sqrt{3.2\times10^{-11}/1.52\times10^{6}}\,\mathrm{m}=4.59\,\mathrm{nm}$。

### 2. 用 1、0.5、0.25 nm 格子计算自由边缘倾斜，与连续值分别相差 0.133%、0.035%、0.0090%。实测收敛阶是多少？0.125 nm 时误差预计多大？

展开答案与解释

比值为 3.8 和 3.9，收敛阶接近 2。再除以 4，预计 0.125 nm 时约为 0.0022%。

### 3. 格子减半后结果只变了 1%，但它和参考值差 9%。你该去找什么？

展开答案与解释

这时要找模型与参考值的差别：边界条件、计算区域大小、略去的能量项，或者两边比较的量根本不同。只有改模型才能补上这个差距。

## 可以放在旁边读的来源

1. [Abert, Micromagnetics and spintronics: models and numerical methods, European Physical Journal B 92, 120 (2019), arXiv:1810.12365v2](https://arxiv.org/abs/1810.12365v2)

   读过：交换能（式 10）、退磁场（2.3 节）、单轴各向异性（2.4 节）、界面 DMI（式 33）及其边界项（3.5 节）、Gilbert 形式和显式形式的 Landau-Lifshitz-Gilbert 方程（式 117、118）、磁化长度守恒与能量耗散（式 120 至 125）、Zhang-Li 力矩（式 134）以及有限差分方法（6.1 节）。其余章节没有读。

2. [NIST, Computational Micromagnetics (program overview)](https://www.nist.gov/programs-projects/computational-micromagnetics)

   读了整页：说明为什么要发布标准问题，以及公开的 OOMMF 程序。页面里没有方程或参考数值。

3. [Miltat & Donahue, Numerical Micromagnetics: Finite Difference Methods, Handbook of Magnetism and Advanced Magnetic Materials, Vol. 2 (2007), NIST publication record](https://www.nist.gov/publications/numerical-micromagnetics-finite-difference-methods)

   只读了摘要。摘要说，一个要求严格的算例只有在网格明显小于交换长度时才收敛。正文没有读，课程只引用这一结论。

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