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title: "外场推畴壁，速度有上限"
description: "外场通过转动畴壁内的磁矩来推动畴壁。推出稳态速度、稳态运动失效的 Walker 场，以及界面 DMI 怎样把它抬高。"
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last_modified: "2026-10-29"
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[微磁学 · 边学边做实验](https://sandboxphysics.com/zh/stories/micromagnetics/)

L3 · 第 4 章

# 外场推畴壁，速度有上限

在垂直磁化薄膜里，外场先转动畴壁中心的磁矩，转过去的磁矩再推着畴壁前进。外场低于 Walker 场时，磁矩停在固定角度，速度与外场成正比；高于 Walker 场，磁矩不停地转，平均速度反而下降。本章用的 Pt/Co 薄膜中，没有 DMI 时 Walker 场是 7.74 mT，界面 DMI 为每平方米 0.5 mJ 时升到 65.5 mT。

Sandbox Physics · 2026-10-29

这一章

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开始前

第 1 至 3 章。解一元二次方程，求函数的最大值。

## 畴壁和它的两个坐标

取一条沿 $x$ 的 Pt/Co 薄膜，左边向上（$+z$）磁化，右边向下。两个磁畴之间，磁化在由交换和各向异性决定的宽度内翻转，剖面为 $\theta(x)=2\arctan e^{(x-q)/\Delta}$，$\Delta=\sqrt{A/K_0}=5.60\,\mathrm{nm}$（Mougin 等 2007，式 1a、1b）。Thiaville 等在正文里给的是 5.65 nm；用他们给出的参数重算，得 5.60 nm。

畴壁中心的磁矩躺在膜面内，与 $+x$ 的夹角为 $\Phi$。$\Phi=0$ 时沿条带方向，是 Néel 壁；$90^{\circ}$ 时横跨条带，是 Bloch 壁。畴壁自身的杂散场通过一个小的难轴能 $K=N_x\mu_0M_s^2/2=17.0\,\mathrm{kJ/m^3}$ 偏爱 Bloch 壁，$N_x=0.0224$ 取自 Thiaville 等。界面 DMI 则偏爱手性固定的一种 Néel 壁。

本章只用两个数描述畴壁：位置 $q$ 和角度 $\Phi$。Thiaville 等把单位面积的畴壁能写成 $\sigma=2\Delta K\cos^2\Phi-\pi D\cos\Phi+\mathrm{const}$。当 DMI 超过临界值 $D_c=4\Delta K/\pi$ 时，能量最低点从 Bloch 壁移到 Néel 壁；按我们的参数，这个值是每平方米 0.12 mJ。

## 两个坐标，两个方程

把刚性剖面代入 Landau-Lifshitz-Gilbert 方程，再对整个畴壁积分，得到两个方程（Thiaville 等 2012，式 4、5）。第一个说：外场 $H$ 转动畴壁磁矩，其中一部分被运动消耗。第二个说：磁矩一旦偏离能量偏爱的角度，畴壁就会移动。

右边的两个场是难轴场 $H_K=2K/(\mu_0M_s)$，31.0 mT；以及 DMI 场 $H_D=\pi D/(2\mu_0M_s\Delta)$，$D=0.5\,\mathrm{mJ/m^2}$ 时为 127 mT。

$$
\dot\Phi+\frac{\alpha\dot q}{\Delta}=\gamma_0H,\qquad \frac{\dot q}{\Delta}-\alpha\dot\Phi=\gamma_0\left(H_D\sin\Phi-H_K\sin\Phi\cos\Phi\right)
$$

完整例题

## 稳态运动与 Walker 场

寻找稳态运动，令 $\dot\Phi=0$。第一个方程直接给出速度 $v=\dot q=\gamma_0\Delta H/\alpha$，第二个方程再定出角度：$H=\alpha\sin\Phi\,(H_D-H_K\cos\Phi)$（Thiaville 等，式 7）。只有当 $H$ 小于右边的最大值时，才存在稳定的角度；这个最大值就是 Walker 场。

没有 DMI 时右边为 $-\tfrac12\alpha H_K\sin2\Phi$，最大值为 $\alpha H_K/2$。$\alpha=0.5$ 时是 7.74 mT（Mougin 等，式 13，难轴取局域形式）。

有 DMI 时，令 $\sin\Phi\,(H_D-H_K\cos\Phi)$ 的导数为零，再用 $\sin^2\Phi=1-\cos^2\Phi$，得到关于 $c=\cos\Phi$ 的二次方程 $2H_K c^2-H_Dc-H_K=0$。负根对应最大值，与 Thiaville 等的结果一致。$D=0.5\,\mathrm{mJ/m^2}$ 时 $c=-0.220$：磁矩可以转到 102.7 度，稳态运动才失效，Walker 场为 65.5 mT。

在这个场以下，速度始终与外场成正比。40 mT 时公式给出 78.8 m/s，实验中 1 nm 的链给出 77.9 m/s，两者相差约 1%。公式把畴壁剖面当作刚性的，链则允许它自行调整。没有 DMI 时，Walker 给出过精确解：磁矩转动时畴壁随之变窄（Mougin 等，式 1b、11、15）。用 1 nm 的格子，链与这个精确解相差 0.4%。

$$
v=\frac{\gamma_0\Delta}{\alpha}H,\qquad \cos\Phi_W=\frac{H_D-\sqrt{H_D^{2}+8H_K^{2}}}{4H_K},\qquad \mu_0H_W=\begin{cases}7.74\,\mathrm{mT}&D=0\\65.5\,\mathrm{mT}&D=0.5\,\mathrm{mJ/m^2}\end{cases}
$$

## 超过 Walker 场，磁矩不停地转

超过 $H_W$ 就不存在稳定角度了。从两个方程中消去 $\dot q$，得 $(1+\alpha^2)\dot\Phi=\gamma_0(H-\alpha H_D\sin\Phi+\alpha H_K\sin\Phi\cos\Phi)$。括号大的地方磁矩转得快，小的地方转得慢，畴壁也随之前后摆动。

没有 DMI 时括号为 $H+H_W\sin2\Phi$。对 $\mathrm{d}\Phi/(H+H_W\sin2\Phi)$ 在一个周期内积分，得到转一整圈的时间（推导由我们给出）；再对一圈内的 $\dot q$ 求平均，得到平均速度。远高于 $H_W$ 时它趋于 $\gamma_0\Delta\alpha H/(1+\alpha^2)$，即 Mougin 等的式 16。

30 mT（Walker 场的四倍左右）时，公式给出平均速度 13.4 m/s，每 1.54 ns 转一圈；而 5 mT 时稳态公式给出 9.85 m/s。外场加到六倍，速度只多了四成。链给出的转动周期与公式相差 0.1%，平均速度相差 1.2%。

$$
T=\frac{2\pi(1+\alpha^2)}{\gamma_0\sqrt{H^2-H_W^2}},\qquad \bar v=\frac{\gamma_0\Delta}{1+\alpha^2}\left(\alpha H+\frac{H-\sqrt{H^2-H_W^2}}{\alpha}\right)\quad(D=0)
$$

## 一维畴壁省略了什么

实验中的链没有条带边缘，杂散场也只是那一个局域项。Thiaville 等把一维模型与二维模拟做过比较：条带宽至 500 nm、D 低于每平方米 0.5 mJ 时，畴壁既不倾斜，也不沿长度方向扭转；畴壁宽度、Walker 场等量只有小的变化，主要来自局域杂散场的假设。Walker 场以上出现一些小差别，来自畴壁在横向上的自由度，条带越宽、D 越大越明显。Mougin 等还指出，薄的垂直磁化膜在低场下通常由钉扎主导，畴壁以蠕动方式前进；模型没有包含钉扎。

带着问题动手

## 先预测，再改变，最后解释

1. 没有 DMI 时 Walker 场为 7.74 mT。预测 5 mT 时的畴壁速度；到 30 mT 时，速度会不会变成六倍？
2. 在畴壁实验中先选“没有 DMI，平稳运动只到 8 mT”，再选“超过 Walker 场，壁内磁矩打转”，后者把外场设为 $\mu_0H=30\,\mathrm{mT}$。
3. 解释：畴壁角读数为什么从固定角度变成了转动周期？速度曲线为什么在 Walker 场之后向下弯？

[推动畴壁，激发自旋波](https://sandboxphysics.com/zh/labs/domain-wall-spin-waves/)

单畴实验把 muMAG 第 4 号标准问题的小条当作一个磁矩。畴壁和斯格明子实验使用 Thiaville 等的 Pt/Co 薄膜，杂散场按局域项处理。三个实验都在零温下运行。

## 试着自己解释

### 1. $D=0$、$\alpha=0.25$ 时，Walker 场是多少？

展开答案与解释

$\alpha\,\mu_0H_K/2=0.25\times31.0/2\,\mathrm{mT}=3.87\,\mathrm{mT}$。阻尼越小，Walker 场越低。

### 2. $D=0.5\,\mathrm{mJ/m^2}$、$\alpha=0.5$ 时，20 mT 下畴壁多快？

展开答案与解释

20 mT 低于 65.5 mT 的 Walker 场，所以 $v=\gamma_0\Delta H/\alpha=39.4\,\mathrm{m/s}$。

### 3. 为什么把 D 反号，畴壁磁矩也会反向？

展开答案与解释

能量中的 DMI 项是 $-\pi D\cos\Phi$。D 为正时它在 $\Phi=0$ 处最低，D 为负时在 $\Phi=180^{\circ}$ 处最低。畴壁的手性跟随 D 的符号。

## 可以放在旁边读的来源

1. [Mougin, Cormier, Adam, Metaxas & Ferré, Domain wall mobility, stability and Walker breakdown in magnetic nanowires, EPL 78, 57007 (2007), arXiv:cond-mat/0702492](https://arxiv.org/abs/cond-mat/0702492)

   已读全文：畴壁剖面和宽度（式 1a、1b），稳态角（式 11），Walker 场（式 13），稳态速度（式 15）以及远高于 Walker 场时的平均速度（式 16）。

2. [Thiaville, Rohart, Jué, Cros & Fert, Dynamics of Dzyaloshinskii domain walls in ultrathin magnetic films, EPL 100, 57002 (2012), arXiv:1211.5970](https://arxiv.org/abs/1211.5970)

   已读全文：Pt/Co/AlOx 的材料参数、有效各向异性、Néel 壁所需的临界 DMI、含 DMI 的集体坐标畴壁方程，以及 Walker 场以下的稳态速度。

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