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title: "电流把斯格明子斜着推走，边缘和弱点决定它停在哪里"
description: "斯格明子运动的方向与推动它的电流成一个角度。用 Thiele 方程推出这个角，再推出贴边滑行、穿边消失和脱钉阈值。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/micromagnetics/current-driven-skyrmions/"
last_modified: "2026-10-29"
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[微磁学 · 边学边做实验](https://sandboxphysics.com/zh/stories/micromagnetics/)

L4 · 第 7 章

# 电流把斯格明子斜着推走，边缘和弱点决定它停在哪里

自旋极化电流会拖着磁化随电子一起走。斯格明子的反应像一个粒子，受到一个由拓扑荷决定、类似马格努斯力的侧向力，所以它的运动方向与电流成一个角度：阻尼 0.3、非绝热系数 0.15 时为 −10.4 度。在赛道里，它侧移到边缘，倾斜的边缘磁矩把它推回来，于是它以驱动速度的 $\beta/\alpha$ 倍贴着边缘滑行。没有非绝热力矩时，它就停在边缘；电流再强些，它会被推出边缘而消失。弱点能把它钉住，直到电流超过阈值；在实验的 2 nm 网格上，阈值介于 41.9 与 42.5 m/s 之间。

Sandbox Physics · 2026-10-29

这一章

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开始前

第 1、4、6 章。矢量叉积，解二元一次方程组。

## 把电流写成漂移速度

在 Zhang-Li 模型里，电流给 LLG 方程加上两个力矩（Abert 2019，式 134、135）。它们都只在磁化有变化的地方起作用，都用自旋漂移速度 $u$ 表示，$u$ 与电流密度成正比。第一项是绝热项，让纹理随电子一起移动；第二项是与它垂直的力矩，乘以 $\beta$，$\beta$ 叫作非绝热系数。

Abert 指出这个模型是局域的：它忽略了自旋的扩散，磁化变化很急的地方精度会下降。斯格明子实验的赛道取 $u$ 沿 $+x$，最大 200 m/s，$\beta/\alpha$ 从 0 到 2。

$$
\frac{\partial\mathbf m}{\partial t}=-\gamma_0\,\mathbf m\times\mathbf H_{\mathrm{eff}}+\alpha\,\mathbf m\times\frac{\partial\mathbf m}{\partial t}-(\mathbf u\cdot\nabla)\mathbf m+\beta\,\mathbf m\times(\mathbf u\cdot\nabla)\mathbf m
$$

完整例题

## Thiele 方程和斯格明子霍尔角

把斯格明子当作刚体 $\mathbf m(\mathbf r-\mathbf R(t))$，把方程投影到它的两个平移方向上，剩下的就是速度 $\mathbf v=\dot{\mathbf R}$ 满足的 Thiele 方程（Iwasaki、Mochizuki 与 Nagaosa 2013，式 4）。$G=4\pi Q=-4\pi$ 是来自第 6 章拓扑荷的陀螺项；$\mathcal D=\int(\partial_x\mathbf m)^2\,\mathrm d^2r$ 衡量纹理变化有多急，$D=3.0\,\mathrm{mJ/m^2}$ 的径向剖面给出 16.6；最后一项是边缘和缺陷施加的力。

没有外力时，把方程拆成 $x$、$y$ 两个分量，解这两个线性方程，结果见下式。$u=60\,\mathrm{m/s}$、$\alpha=0.3$、$\beta=0.15$ 时，$v_x=55.9$，$v_y=-10.3\,\mathrm{m/s}$：斯格明子与电流成 −10.4 度运动。这种侧向运动就是斯格明子霍尔效应。

$\beta=\alpha$ 时 $v_y=0$、$v_x=u$：斯格明子随电子笔直前进。$\alpha$、$\beta$ 都小时，Iwasaki 等把侧向部分写成 $\delta\mathbf v=\hat z\times\mathcal D(\alpha-\beta)\mathbf u/G$，这是同一结果的一阶形式。

实验在无边界膜里检验这一点。2 nm 格子下斯格明子速度为 (54.7, −10.1) m/s，1 nm 格子下为 (55.6, −10.2) m/s。格子减半，沿赛道方向的误差从 2.2% 降到 0.55%，符合二阶方法；角度相差不到 0.03 度。

$$
G\,\hat z\times(\mathbf u-\mathbf v)+\mathcal D(\beta\mathbf u-\alpha\mathbf v)-\nabla V=0\;\Longrightarrow\; v_x=u\,\frac{G^2+\alpha\beta\mathcal D^2}{G^2+\alpha^2\mathcal D^2},\quad v_y=u\,\frac{G\mathcal D(\alpha-\beta)}{G^2+\alpha^2\mathcal D^2}
$$

完整例题

## 边缘把它推回来，它贴边滑行

在赛道里，侧向漂移把斯格明子带向一侧边缘。第 6 章说过，边缘磁矩会在膜面内倾斜；Iwasaki 等解释了为什么这会排斥斯格明子：边缘处的倾斜方向与斯格明子外围的倾斜方向相反。边缘力与陀螺项平衡的地方，斯格明子就不再靠近。

一旦它稳定地贴边滑行，$v_y=0$，边缘力只沿 $y$。Thiele 方程的 $x$ 分量变成 $\mathcal D(\beta u-\alpha v_x)=0$，所以 $v_x=(\beta/\alpha)u$（Iwasaki 等，式 5）；$y$ 分量则给出边缘要推多大的力：$G(u-v_x)$。

在斯格明子实验的赛道里，同样的驱动下，斯格明子停在离下边缘约 20 nm 处，2 nm 格子下以 29.0 m/s 滑行，1 nm 格子下以 29.8 m/s 滑行，理论值为 30 m/s。差距的一部分来自网格让漂移项变慢：$\beta=\alpha$ 时速度是 58.7 和 59.7 m/s，而不是 60。扣除这个因子后，滑行速度分别偏低 1.1% 和 0.2%。

## 没有非绝热力矩，全靠边缘挡住

令 $\beta=0$。式 5 给出 $v_x=0$：斯格明子漂到边缘就停下，Iwasaki 等称之为本征钉扎。这时边缘必须以 $|G|u$ 的力去推，与电流成正比。边缘势垒是有限的，所以电流超过某个值时，斯格明子会被压进边缘，离开薄膜。

实验中，斯格明子从离下边缘 20 nm 处出发，2 nm 格子下 38.75 m/s 时被挡住，39.375 m/s 时就挡不住了。1 nm 格子下 35.9 m/s 时被挡住，42.2 m/s 时挡不住；这两次运行分别取在 2 nm 区间两侧 8% 处，只能说明阈值随网格的变化小于 8%。150 m/s 时，斯格明子 0.64 ns 内就消失了，拓扑荷经过 16 个记录点从 −0.9 走到 −0.1，每 10 ps 最多变化 0.23：拓扑荷是连续地从边缘流走的。

Iwasaki 等也给出了把斯格明子推出磁性区域末端的阈值，在他们的模型里 $\beta/\alpha=1$ 时约为 $1.5\times10^{11}\,\mathrm{A/m^2}$。他们的晶格模型、几何和材料都与这个实验不同，这个数只能当作另一个独立的结果来读。

## 弱点和脱钉阈值

一个半径 10 nm、各向异性降低 30% 的圆盘会吸引斯格明子，因为畴壁在那里的能量更低。静止时 $\mathbf v=0$，Thiele 方程要求周围提供一个向后的力 $\beta\mathcal Du$ 和一个侧向力 $|G|u$。$\beta=\alpha=0.3$ 时，侧向那份是向后那份的 2.5 倍。Iwasaki 等把自由斯格明子的阈值写成 $|F_{\mathrm{pin}}|/|G|$，把通道中的阈值写成 $|F^{\mathrm{pin}}_x|/(\beta\mathcal D)$，后者由边缘提供侧向力。

在斯格明子实验的赛道里，弱点位于中线、$\beta=\alpha$ 时，2 nm 格子下斯格明子在 41.875 m/s 被钉住，42.5 m/s 时挣脱。刚好低于阈值时，它停在弱点中心下游约 9 nm、偏离中线 7 到 8 nm 的地方。1 nm 格子下 38.8 m/s 被钉住、45.6 m/s 挣脱，所以网格让阈值移动不到 8%。这个数没有独立的参考值：它是零温下、一个弱点、一个起点、按第 8 章所列判据得到的结果。

## 刚性粒子图像省略了什么

Thiele 方程把斯格明子当作刚体，但在边缘或弱点附近它会变形，所以实验积分的是完整的 LLG 方程，Thiele 速度只作为单独的参考线。实验没有温度，阈值只在零温下成立；电流力矩也只有 Zhang-Li 这一种。杂散场按局域处理，与 Rohart 和 Thiaville 相同。赛道是一个 128 nm 的环，斯格明子每绕一圈遇到弱点一次。

带着问题动手

## 先预测，再改变，最后解释

1. $u=60\,\mathrm{m/s}$、$\beta/\alpha=0.5$ 时，预测斯格明子漂向哪一侧边缘，之后以多大速度滑行。再预测 $\beta=\alpha$ 时的运动。
2. 在斯格明子实验中选“先侧向漂移，再沿边缘滑行”，让它播放，再选“非绝热系数等于阻尼时不侧移”。
3. 解释：为什么同一个比值 $\beta/\alpha$，既决定斯格明子会不会侧移，又决定边缘挡住侧移后它滑得多快？

[沿赛道推动一个斯格明子](https://sandboxphysics.com/zh/labs/skyrmion-track-pinning/)

单畴实验把 muMAG 第 4 号标准问题的小条当作一个磁矩。畴壁和斯格明子实验使用 Thiaville 等的 Pt/Co 薄膜，杂散场按局域项处理。三个实验都在零温下运行。

## 试着自己解释

### 1. 把驱动加倍到 $u=120\,\mathrm{m/s}$，$\alpha=0.3$，$\beta=0.15$。自由 Thiele 速度是多少？霍尔角变不变？

展开答案与解释

速度与 $u$ 成正比：$(111.8,\,-20.6)\,\mathrm{m/s}$。角度仍是 −10.4 度。

### 2. $u=60\,\mathrm{m/s}$ 时取 $\beta=2\alpha=0.6$。斯格明子往哪边漂？

展开答案与解释

$v_x=68.2$，$v_y=+20.6\,\mathrm{m/s}$。$\alpha-\beta$ 变了号，所以它漂向另一侧边缘，沿赛道的速度也超过了 $u$。

### 3. 保持 $\beta/\alpha=0.5$，把阻尼降到 $\alpha=0.1$。霍尔角怎样变化？

展开答案与解释

$\beta=0.05$ 时 $v=(59.5,\,-3.90)\,\mathrm{m/s}$，角度为 −3.75 度。阻尼小时陀螺项更占主导，斯格明子更紧地跟着电流走。

## 可以放在旁边读的来源

1. [Abert, Micromagnetics and spintronics: models and numerical methods, European Physical Journal B 92, 120 (2019), arXiv:1810.12365v2](https://arxiv.org/abs/1810.12365v2)

   读过：交换能（式 10）、退磁场（2.3 节）、单轴各向异性（2.4 节）、界面 DMI（式 33）及其边界项（3.5 节）、Gilbert 形式和显式形式的 Landau-Lifshitz-Gilbert 方程（式 117、118）、磁化长度守恒与能量耗散（式 120 至 125）、Zhang-Li 力矩（式 134）以及有限差分方法（6.1 节）。其余章节没有读。

2. [Rohart & Thiaville, Skyrmion confinement in ultrathin film nanostructures in the presence of Dzyaloshinskii-Moriya interaction, Physical Review B 88, 184422 (2013), arXiv:1310.0666](https://arxiv.org/abs/1310.0666)

   已读全文：Pt/Co/AlOx 参数和超薄膜中杂散场的局域处理，自由边缘的边界条件与边缘倾斜（式 3 至 8，以及图 1 中含完整偶极作用的对照），孤立斯格明子的方程（式 15、16）和近似半径（式 18）。

3. [Iwasaki, Mochizuki & Nagaosa, Current-induced skyrmion dynamics in constricted geometries, Nature Nanotechnology 8, 742 (2013), arXiv:1310.1655](https://arxiv.org/abs/1310.1655)

   读了 arXiv 版全文：自旋转移力矩驱动下斯格明子的 Thiele 方程（式 4）、贴边滑行速度（式 5、6）、自由平面和窄通道中的钉扎阈值、边缘排斥以及在边缘湮灭（图 5）。文中模拟用的是晶格自旋模型，不是本课程的 Pt/Co 薄膜。期刊版没有打开。

[上一章 斯格明子为什么有确定的大小和整数拓扑荷](https://sandboxphysics.com/zh/stories/micromagnetics/skyrmions-and-topological-charge/) [下一章 怎样读模拟给出的斯格明子拓扑荷和钉扎阈值](https://sandboxphysics.com/zh/stories/micromagnetics/reading-skyrmion-charge-and-pinning-results/)