--- title: "一条光变曲线能告诉我们多少透镜信息" description: "建立包含混光的似然，分清拟合几何与绝对质量，并用有限光源和视差补上缺失的尺度。" canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/microlensing-planets/read-a-light-curve-without-weighing-too-soon/" language: "zh-CN" page_type: "story" alternate_languages: en: "https://sandboxphysics.com/stories/microlensing-planets/read-a-light-curve-without-weighing-too-soon/" last_modified: "2026-11-03" --- [暗行星怎样弯曲星光](https://sandboxphysics.com/zh/stories/microlensing-planets/) AC23 · L3 # 一条光变曲线能告诉我们多少透镜信息 Sandbox Physics · 2026-11-03 采样充分的光变可以透露伴星质量比、投影间距，以及星盘怎样走过焦散。绝对质量还需要额外信息。先从每一台望远镜实际测到的光开始，把始终近乎恒定的混光也算进去。 ## 开始前需要什么 先读两幅像与有限星盘两章，掌握光源轨迹和像面积积分。本章把似然介绍为测量误差的概率模型，把剖面介绍为固定一项、重新拟合其余项的比较。 ## 先预测每台望远镜收到的光 对第$k$台望远镜，$F_{s,k}$是背景恒星未被放大时的光通量，$F_{b,k}$是其他分不开的天体贡献的恒定光。用上一章按曝光平均的放大率，就有 $$ F_k(t)=F_{s,k}\langle A\rangle(t)+F_{b,k}. $$ 透镜先放大背景恒星，其他光再按这台望远镜自己的光通量尺度相加。 除以基线光量$F_{s,k}+F_{b,k}$，再定义光源占比$f_k=F_{s,k}/(F_{s,k}+F_{b,k})$，得到 $$ A_{\mathrm{ap},k}(t)=1+f_k[\langle A\rangle(t)-1]. $$ 这个量描述整个测光范围比事件前亮了多少。 例题中，背景恒星原本贡献70份光，另一颗星贡献30份。透镜把背景恒星放大四倍，望远镜便收到$70\times4+30=310$份光。总增亮为$3.10$倍，恒星本身却亮了四倍。若把全部基线光都当作会被放大的光，拟合就会用别的事件几何来补偿。 对应阅读：Beaulieu et al. (2006), OGLE-2005-BLG-390 discovery, astro-ph/0601563v1 ## 采用观测给出的误差模型 五文件练习提供仪器星等和报告误差。星等是光通量的对数尺度。每台望远镜有一个未知的基线星等，决定它自己的零点；光源占比则决定事件在恒定混光上显得多明显。 $$ m_k(t)=m_{0,k}-2.5\log_{10}\{1+f_k[\langle A\rangle(t)-1]\}. $$ 基线星等与混光属于各台望远镜，透镜几何则由它们共同拟合。 设报告的星等误差$\sigma_i$是相互独立的高斯标准差。实测星等为$m_i$，模型预测为$\widehat m_i(\vartheta)$，归一化似然为 $$ \mathcal L(\vartheta)=\prod_i\frac1{\sqrt{2\pi}\sigma_i}\exp\!\left[-\frac{(m_i-\widehat m_i(\vartheta))^2}{2\sigma_i^2}\right]. $$ 参数包括共同的运动与光源几何，也包括各台望远镜的基线和混光。 同一批数据、同一组固定误差下，最大化似然等价于最小化$\chi^2=\sum_i[(m_i-\widehat m_i)/\sigma_i]^2$。把预测星等减去实测星等，再除以报告误差，就得到这里使用的标准化残差。按望远镜分别看残差，能发现总分里不显眼的局部问题。 大气或仪器误差若彼此相关，就需要协方差模型。独立复算中把未知协方差取零，原样保留报告误差。若为每个竞争模型分别缩放误差、硬把约化卡方拉到同一个值，原本要比较的差别也会被抹掉。 对应阅读：Beaulieu et al. (2006), OGLE-2005-BLG-390 discovery, astro-ph/0601563v1 · Bozza et al. (2018), VBBinaryLensing finite-source methods ## 最低点旁边还有别的路 数值优化会沿着附近变好的方向走。一段很窄的行星特征，可能把不同初值引进不同谷底。需要从几种间距、质量比和运动方向出发，把较差或失败的解也留下，并让所有模型使用完全相同的观测。 想知道质量比$q$能改变多少，就固定它，再让其余参数重新拟合。这条剖面写成 $$ \chi^2_{\mathrm{prof}}(q)=\min_{\text{other parameters}}\chi^2(q,\ldots). $$ 剖面中，其他参数可以补偿这次变化；把它们全固定后只切一刀，回答的是更窄的问题。 近分离与远分离双透镜有时能给出相似的光变，但几何名字并不保证每次事件都有两份同样好的解。光源大小、混光和观察者轨迹改变，都可能挪动它们各自的拟合质量。 若要得到贝叶斯后验，还要给出先验$p(\vartheta\mid d)\propto\mathcal L(\vartheta)\,\pi(\vartheta)$。对参数本身取均匀先验，与对其对数取均匀先验，代表不同的分布。比较整个模型时，需要正规化的先验和相应体积因素。卡方改善描述似然的变化，尚未把整个模型的可能性积分起来。 对应阅读：Bozza et al., VBMicroLensing, arXiv:2410.13660v1; A&A 694 A219 (2025) · Beaulieu et al. (2006), OGLE-2005-BLG-390 discovery, astro-ph/0601563v1 ## 从有限星盘读出一只时钟 拟合得到的星盘半径为$\rho=\theta_*/\theta_E$，其中$\theta_*$是恒星本身的角半径。若相对角速度为$\mu_{\mathrm{rel}}$，则 $$ t_E=\frac{\theta_E}{\mu_{\mathrm{rel}}},\qquad t_*=\rho t_E=\frac{\theta_*}{\mu_{\mathrm{rel}}}. $$ 源半径穿越时间是一只几何时钟；整段异常有多宽，还取决于焦散形状和穿越角度。 合成例题取$t_E=10.0\,\mathrm d$、$\rho=0.0400$，得到$t_*=0.400\,\mathrm d$。运动不变时，星盘放大会延长这只时钟；斜着穿过焦散也会改变异常宽度，不能把宽度直接当作星盘直径。 若独立的恒星资料给出$\theta_*=1.00\,\mu\mathrm{as}$，光变给出$\rho=0.0100$，便可算出$\theta_E=0.100\,\mathrm{mas}$。恒星角半径本身的误差，也必须进入这个角尺度的误差。 对应阅读：Beaulieu et al. (2006), OGLE-2005-BLG-390 discovery, astro-ph/0601563v1 · Dong et al., A Saturn-mass microlensing object, arXiv:2601.00057v1; Science ## 观察者的运动再提供一个尺度 地球在事件期间也在运动。先减去参考时刻的位置和直线运动，再把剩余位移投影到北、东方向，记为$\Delta s_N,\Delta s_E$。这里已经除以一天文单位，所以两个分量都是无量纲数。 定义沿光源相对透镜运动方向的视差向量$(p_N,p_E)$。它在轨迹坐标中引入 $$ \delta\tau=p_N\Delta s_N+p_E\Delta s_E,\qquad\delta\beta=p_N\Delta s_E-p_E\Delta s_N. $$ 前一项改变沿轨迹的进程，后一项改变横向偏移。公式同时明确了正负号约定。 向量长度$\pi_E=\sqrt{p_N^2+p_E^2}$等于透镜与光源的相对三角视差除以爱因斯坦半径。相隔较远的两位观察者能看到不同轨迹；若只从地面看一次很短的事件，地球那一小段运动近似直线，周年视差就可能很弱。 $$ \theta_E^2=\kappa M\pi_{\mathrm{rel}},\qquad\pi_E=\frac{\pi_{\mathrm{rel}}}{\theta_E},\qquad M=\frac{\theta_E}{\kappa\pi_E}. $$ 有限光源给出的角尺度，再配上测得的微透镜视差，便能换算物理质量。这里$\kappa\simeq8.144\,\mathrm{mas}\,M_\odot^{-1}$。 沿用上面的合成$\theta_E=0.100\,\mathrm{mas}$，若另测得$\pi_E=0.200$，质量约为$0.0614\,M_\odot$。缺少视差时，还会留下一族质量与距离的组合。只要相对角速度按比例改变，不同角环大小也能对应同一事件时长。 对应阅读：Dong et al., A Saturn-mass microlensing object, arXiv:2601.00057v1; Science · JPL Horizons vector ephemeris documentation ## 回到这次事件究竟测到了什么 先找反复出现的信号：几台独立望远镜看到同一异常，换一组初值仍能找到相近拟合。再改变星面亮度与曝光，检验有限星盘留下的形状。它们分别补上推断中不同的一环。 OGLE-2005-BLG-390原分析用银河系模型，把几何测量换成可能的物理质量分布。后面论文导读中的地面与Gaia联合事件，则用有限光源和地空视差补上角度、距离尺度。把两种做法并排看，就能明白一次短促增亮为什么值得追查低质量透镜，以及绝对质量还需要哪些测量。 对应阅读：Beaulieu et al. (2006), OGLE-2005-BLG-390 discovery, astro-ph/0601563v1 · Dong et al., A Saturn-mass microlensing object, arXiv:2601.00057v1; Science ## 练习与解释性答案 1. 被透镜放大的恒星亮了五倍，但事件前只占总光量的四分之一。望远镜测得多少倍增亮？ 展开解释 总增亮为$1+0.25(5-1)=2$倍；剩下四分之三的基线光保持恒定。 2. 事件时长的误差很小，是否表示质量误差同样小？还缺少什么量？ 展开解释 关系$t_E=\theta_E/\mu_{\mathrm{rel}}$里还含相对角速度；角尺度自身又混合了质量与相对视差。时长测得很精确，仍不能自动补齐这些尺度。 3. 加上两个视差分量后，卡方只小幅改善。解释非零最佳值前，应先看什么？ 展开解释 在同一份数据上比较零视差，检查似然剖面和参数边界，确认观察者坐标及时标约定，再看残差。即使包括零在内的一大片参数都仍可接受，优化器也会给出一个最佳值。 ## 动手检验预测 ### [把像的放大与总测光增亮分开](https://sandboxphysics.com/zh/labs/gravitational-lens-telescope/?mode=binary) 1. 固定几何并暂停，降低背景光源占比。先算出整个测光范围会亮多少，再读结果。 2. 保持爱因斯坦时间不动，改变光源半径。比较源半径穿越时间与整段异常宽度，解释两者分别表示什么。 [上一篇：一张星盘穿过焦散时发生什么](https://sandboxphysics.com/zh/stories/microlensing-planets/a-stellar-disk-crosses-a-caustic/) [下一篇：从地面和太空一起测量暗行星](https://sandboxphysics.com/zh/stories/microlensing-planets/read-ground-space-and-roman-evidence/) ## 来源与计算范围 1. [Beaulieu et al. (2006), OGLE-2005-BLG-390 discovery, astro-ph/0601563v1](https://arxiv.org/abs/astro-ph/0601563v1) 核读正文、表一与图一：有限星盘下的行星扰动、临边昏暗系数、原文的650个点及依赖银河系模型的物理质量。本教程独立重算的五文件子集有308个点。 2. [Bozza et al. (2018), VBBinaryLensing finite-source methods](https://doi.org/10.1093/mnras/sty1791) 第二至四节及式14–20、25–26讨论轮廓面积、误差细化和径向亮度分布。固定版本LGPL代码只作为另行下载的离线参考。 3. [Bozza et al., VBMicroLensing, arXiv:2410.13660v1; A&A 694 A219 (2025)](https://arxiv.org/abs/2410.13660v1) 先读式1–16和第六节，再判断双透镜的根、奇偶性、临界曲线与漏掉的像对。这里核读方法，没有复现其整套性能基准。 4. [Dong et al., A Saturn-mass microlensing object, arXiv:2601.00057v1; Science](https://arxiv.org/abs/2601.00057v1) 固定作者版本的图二与补充S5–S11：有限光源尺度、地面与Gaia视差、替代混光模型及解的权重。arXiv标明已发表于Science。导读逐项读证据，没有重跑这次事件。 5. [JPL Horizons vector ephemeris documentation](https://ssd.jpl.nasa.gov/horizons/manual.html) 练习保留固定的161节点DE441地球几何ICRF矢量：位置为天文单位、速度为天文单位每天，历元为TDB。无文件头的测光仍另行保留时标说明。