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title: "从弯折光线走到两幅恒星像"
description: "从薄透镜几何推导点质量透镜方程，找出两幅像的位置，再用面积变化计算增亮与镜像奇偶性。"
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language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/microlensing-planets/from-bent-light-to-two-images/"
last_modified: "2026-11-03"
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[暗行星怎样弯曲星光](https://sandboxphysics.com/zh/stories/microlensing-planets/)

AC23 · L1

# 从弯折光线走到两幅恒星像

Sandbox Physics · 2026-11-03

一个点质量透镜会给恒星形成两幅像，因为光能从它两侧绕过来。几何关系先告诉我们像在哪里，再看那张映射怎样拉伸一小块星面，就能算出每幅像贡献多少光。

## 开始前需要什么

先读《看不见的行星怎样让远方恒星突然变亮》。会相似三角形与一元二次方程即可；需要导数时，本章会先解释它在面积映射中的含义。

## 先把距离与角度说清楚

从观察者向远处看，透镜平面距离为$D_L$，光源平面距离为$D_S$，两平面相隔$D_{LS}$。距离都取正。在银河系内的近距离几何里，最后一个长度就是前两个距离之差。涉及宇宙学透镜时，需要改用合适的角直径距离。

角度从透镜所在的方向量起。恒星本来的方向记为$\beta$，看到的像记为$\theta$。先沿着穿过透镜的一条直线讨论，向右为正；即使恒星在右边，左边仍可有负角度的像。

一束光从紧致质量$M$旁边经过，最近距离为$b$。广义相对论在弱引力、光路远离引力半径时给出下面的弯折角。$G$是引力常数，$c$是光速。这里把它当作几何计算的物理输入。

$$
\widehat\alpha=\frac{4GM}{c^2b},\qquad b\simeq D_L|\theta|.
$$

经过得越近，光转向越多。小角度近似把角位置换成透镜平面上的距离。

对应阅读：Bozza et al., VBMicroLensing, arXiv:2410.13660v1; A&A 694 A219 (2025)

## 让相似三角形给出方程

从望远镜沿看到的方向反向追踪光线：先到透镜平面，再沿弯折后的方向走到恒星。相似三角形把光源平面上的横向位移与弯折角联系起来。薄透镜近似把整段引力弯折放在一个平面处理，真实引力场则沿光路分布。

$$
\beta=\theta-\frac{D_{LS}}{D_S}\frac{4GM}{c^2D_L\theta}.
$$

分母保留角度的正负号，两侧的弯折便都指向透镜。

把质量与距离合成一个角尺度$\theta_E$，称作爱因斯坦半径。恒星、透镜与观察者恰好对准时，像环的角半径就是它。“半径”在这里是角度。

$$
\theta_E^2=\frac{4GM}{c^2}\frac{D_{LS}}{D_LD_S},\qquad u=\frac{\beta}{\theta_E},\quad x=\frac{\theta}{\theta_E}.
$$

所有角度都除以同一个尺度，方程就只剩无量纲的几何。

$$
u=x-\frac1x,\qquad x^2-ux-1=0,\qquad x_\pm=\frac{u\pm\sqrt{u^2+4}}2.
$$

二次方程给出一正一负两个根，两幅像分别来自透镜两侧。

对应阅读：Bozza et al., VBMicroLensing, arXiv:2410.13660v1; A&A 694 A219 (2025)

## 例题里先找到两幅像

设爱因斯坦半径为$1.00\,\mathrm{mas}$，恒星偏离透镜方向$0.500\,\mathrm{mas}$。这里一毫角秒等于一角秒的千分之一。光源的无量纲偏移是二分之一，代进二次方程得到

$$
x_+=1.28078,\qquad x_-=-0.780776.
$$

一幅像在右侧1.28078毫角秒处，另一幅在左侧0.780776毫角秒处。

两幅像共隔$2.06155\,\mathrm{mas}$，比两倍爱因斯坦半径略大。用一般结果$\theta_E\sqrt{u^2+4}$再检查一遍：光源越接近正对方向，两像间距越接近两倍爱因斯坦半径。

恰好正对时，穿过透镜的直线没有哪个方向更特殊，各方向的解连成理想环。真实星盘会填出一片有面积的环带。下一章再把整张星盘的光加起来。

对应阅读：Bozza et al., VBMicroLensing, arXiv:2410.13660v1; A&A 694 A219 (2025)

## 面积怎样变成增亮倍数

在恒星上取一小块长方形。透镜沿径向和沿环的方向，把它拉伸得不一样。导数在这里表示局部比例：像平面上挪一小段，光源平面会跟着挪多少。两个互相垂直方向的比例相乘，就是带方向的面积比。

$$
\lambda_r=1+\frac1{x^2},\qquad\lambda_t=1-\frac1{x^2},\qquad J=\lambda_r\lambda_t=1-\frac1{x^4}.
$$

这两个比例表示光源面积相对于像面积的变化，乘积叫作Jacobian行列式。

带符号的放大率是$1/J$。符号只记录朝向。负号表示像被镜像翻转，并不是负的光量。望远镜收到的贡献要取绝对值，两幅像再相加：

$$
A(u)=\frac{u^2+2}{|u|\sqrt{u^2+4}}.
$$

这是偏移不为零的点光源结果；有限星盘需要另作面积积分。

上面的例题中，外侧像贡献$1.59141$，内侧镜像贡献$0.591410$，总增亮是$2.18282$倍。把光源移得很远，增亮倍数会趋近一。这个极限能帮助检查计算。

对应阅读：Bozza et al. (2018), VBBinaryLensing finite-source methods · Bozza et al., VBMicroLensing, arXiv:2410.13660v1; A&A 694 A219 (2025)

## 角尺度还缺什么，才能换成质量

爱因斯坦半径同时包含质量与距离。质量增大，像环变大；改变$D_LD_S/D_{LS}$，同一个角尺度也会对应另一份质量。像的位置或合光中心的偏移，首先给出质量与距离之间的关系。

光变的时间尺度还引入相对角速度$\mu_{\mathrm{rel}}$，两者满足$t_E=\theta_E/\mu_{\mathrm{rel}}$。角环较小但运动较慢的透镜，也能和角环较大、运动较快的透镜持续一样久。第三章会用光源大小与视差补上尺度。

读一个观测量时，先问它直接量到了什么。像的位置是角几何；时长是一份角尺度除以速度。补足剩下的信息，才轮到物理单位下的质量。

对应阅读：Dong et al., A Saturn-mass microlensing object, arXiv:2601.00057v1; Science

## 练习与解释性答案

1. 保持$u=0.5$，把爱因斯坦半径加倍。像的位置与总增亮分别怎样变化？

   展开解释

   两幅像的角位置都加倍，无量纲的根不变。总增亮仍是$2.18282$倍；绝对角尺度与无量纲面积比承担不同的作用。

2. 内侧像的Jacobian为负，要把它的光从外侧像中减去吗？

   展开解释

   它仍贡献正的光。负号只表示像的朝向翻转。对于望远镜收集的非相干恒星光，应把两幅像的绝对放大率相加。

3. 有人把事件更短当作质量更小的证明。保持质量不变，怎样让事件缩短？

   展开解释

   让透镜与光源的相对角速度增大，距离与质量保持不动。由$t_E=\theta_E/\mu_{\mathrm{rel}}$可知，角速度加倍，事件时间尺度便减半。

## 动手检验预测

### [辨认两幅像的极限](https://sandboxphysics.com/zh/labs/gravitational-lens-telescope/?mode=binary)

1. 选择“平滑的增亮事件”，把伴星质量比调低。先预测哪幅像在爱因斯坦环外侧。
2. 沿路线移动光源，比较总增亮与点透镜公式。有限星盘和仍然存在的伴星，会带来小幅差别。

[上一篇：看不见的行星怎样让远方恒星突然变亮](https://sandboxphysics.com/zh/stories/microlensing-planets/a-dark-planet-brightens-a-star/) [下一篇：一张星盘穿过焦散时发生什么](https://sandboxphysics.com/zh/stories/microlensing-planets/a-stellar-disk-crosses-a-caustic/)

## 来源与计算范围

1. [Bozza et al. (2018), VBBinaryLensing finite-source methods](https://doi.org/10.1093/mnras/sty1791)

   第二至四节及式14–20、25–26讨论轮廓面积、误差细化和径向亮度分布。固定版本LGPL代码只作为另行下载的离线参考。

2. [Bozza et al., VBMicroLensing, arXiv:2410.13660v1; A&A 694 A219 (2025)](https://arxiv.org/abs/2410.13660v1)

   先读式1–16和第六节，再判断双透镜的根、奇偶性、临界曲线与漏掉的像对。这里核读方法，没有复现其整套性能基准。

3. [Dong et al., A Saturn-mass microlensing object, arXiv:2601.00057v1; Science](https://arxiv.org/abs/2601.00057v1)

   固定作者版本的图二与补充S5–S11：有限光源尺度、地面与Gaia视差、替代混光模型及解的权重。arXiv标明已发表于Science。导读逐项读证据，没有重跑这次事件。