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title: "拉出一根膜管要多大的力"
description: "从圆柱能量导出膜管半径与平台拉力，加入仪器刚度，并用力和半径分别反推弯曲刚度与张力。"
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language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/membrane-mechanics/membrane-tethers/"
last_modified: "2026-10-28"
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[膜与囊泡力学](https://sandboxphysics.com/zh/stories/membrane-mechanics/)

L2 · 第 6 章

# 拉出一根膜管要多大的力

Sandbox Physics · 2026-10-28

长膜管的半径由弯曲与张力的竞争决定。太细，弯曲太贵；太粗，又要从膜库多取面积。平衡后，每拉长一小段需要相同能量，拉力便出现平台。仪器本身的弹性还会决定你移动的距离有多少真正变成了管长。

## 开始前需要什么

第二章的圆柱曲率、弯曲能与张力。这里用一元求导寻找半径的最低能量，再把能量对长度的导数解释为拉力。

- 推导长圆柱膜管的半径与拉力，并检查两者的单位。
- 用串联仪器弹簧解释位移读数，说明为什么同时测半径和力能消除一种参数耦合。

## 把膜库和一根长圆柱放在一起

取半径 $r$、长度 $L$ 的圆柱，忽略两端的连接区。管轴沿正向，拉力 $f$ 也取正。圆柱两个主曲率为 $1/r$ 和零；自发曲率与压差先设为零。膜从一个足够大的膜库取面积，张力 $\sigma$ 保持给定。

管面积为 $2\pi rL$。把每单位面积的弯曲代价乘面积，再加从膜库取面积的张力代价，就得到每单位长度的能量。这里固定张力的条件与形状实验固定总面积的条件不同。

$$
G(r,L)=\left(\frac{\pi\kappa}{r}+2\pi\sigma r\right)L
$$

第一项偏爱粗管，第二项偏爱细管。端区、有限膜库、压差、自发曲率与起管过程都需要额外模型。

来源：I. Derényi · W. Helfrich

## 先求半径，再对长度求导

固定长度，对半径求导。第一项的斜率为负，第二项为正；令两者相消。由于二阶导数为正，这一驻点是圆柱半径方向的极小值。

把最优半径代回每单位长度能量。能量随长度线性增长，因此 $f_0=\partial G/\partial L$ 是常数。这个平台属于已经形成、足够长的膜管。最初从平面拉出突起时，端区会带来不同的形状与力。

$$
-\frac{\pi\kappa}{r_0^2}+2\pi\sigma=0,\qquad r_0=\sqrt{\frac{\kappa}{2\sigma}}
$$

刚度以能量计、张力以能量除以面积计，两者比值开方后是长度。

$$
f_0=2\pi\sqrt{2\kappa\sigma}=\frac{2\pi\kappa}{r_0}
$$

每单位长度的能量就是力。两种写法也提供一个可独立检查的乘积关系。

来源：I. Derényi · W. Helfrich

## 移动仪器，不全是在拉长膜管

把拉膜的探针连到刚度为 $k$ 的线性弹簧。设膜库到弹簧支点的轴向距离为 $X$，有效管长为 $L$，弹簧伸长为 $x=X-L$。仪器静力平衡要求弹簧拉力等于膜管拉力。

在长管平台上，弹簧伸长保持恒定；继续移动支点才几乎全部转为管长。较软仪器需要更大偏移才能提供同样的力。若长度已经接近端区尺度，就应停止使用这套长圆柱公式。实验台从已有长管开始，支点行程是在初始支点位置上继续增加的位移。运动过程中流体阻力让瞬时弹簧力暂时偏离平台值，停稳后才回到上述平衡。

$$
G_{\rm total}=f_0L+\frac{k}{2}(X-L)^2,\qquad x=\frac{f_0}{k},\qquad L=X-\frac{f_0}{k}
$$

这是一维准静态串联模型，假定探针可视为弹簧、膜管已经存在，且剩余管长仍足够长。

## 完整例题：看清力和位移的数量级

取教学参数 $\kappa=80\,\mathrm{pN\,nm}$、$\sigma=0.010\,\mathrm{pN\,nm^{-1}}$。先算 $r_0=\sqrt{80/0.020}\,\mathrm{nm}\simeq63.2\,\mathrm{nm}$，再算 $f_0\simeq7.95\,\mathrm{pN}$。半径比微米级囊泡小得多，画装置时通常需要放大管径。

设 $k=0.050\,\mathrm{pN\,nm^{-1}}$，支点距离 $X=2.00\,\mu\mathrm m$。弹簧偏移约 $159\,\mathrm{nm}$，留给管长约 $1.84\,\mu\mathrm m$。若把支点距离直接当作管长，就会多算这段弹簧偏移。

张力加倍会让管变细、拉力变大；刚度加倍则让管变粗、拉力也变大。两个量一起观察，比只看拉力平台更容易分辨变化来源。

## 用两种观测找回两个参数

只测平台力得到的是 $\kappa\sigma$ 的乘积。补上半径测量，把力和半径相乘可求刚度，把力除以半径可求张力。第二种观测需要独立成像或其他半径测量，保留独立于所假定刚度的信息。

$$
\kappa=\frac{f_0r_0}{2\pi},\qquad \sigma=\frac{f_0}{4\pi r_0}
$$

这两式保留长圆柱、零压差和零自发曲率的前提。真实探针刚度和半径标定误差会直接进入反演。

## 把推理带进实验

### [把探针位移换成膜管拉力](https://sandboxphysics.com/zh/labs/membrane-tether/)

1. 先预测提高张力时管径、拉力和探针偏移的变化方向。
2. 保持刚度不变，只调张力，再换一组仪器弹簧刚度，比较相同拉力下的偏移。
3. 拖动拉膜端，分别记录支点移动、弹簧偏移与管长。解释平台上的力为什么不随长管长度增加。

### [补读探针刚度的标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/optical-tweezers-calibration/)

1. 观察已知模型中探针的热运动与响应。
2. 说明为什么膜管公式本身不能给仪器弹簧常数，列出把位移换成力之前需要独立标定的量。

## 练习与解释性答案

1. 张力增为四倍、刚度不变，管半径和平台力怎样变？

   展开解释

   半径减半，平台力加倍。张力取面积更贵，膜倾向于用更细的管承受更大的拉力。

2. 一套仪器测得力增加，单靠这个结果能判断刚度增加吗？

   展开解释

   不能。张力增加也会提高平台力。补测管半径或独立张力后，才可分开这两个因素。

3. 把长管公式外推到零长度，为什么不能用它解释起管峰？

   展开解释

   推导已经删去了端区。短管恰好由端区和整体形状控制，需要解完整形状问题；常数平台只能描述长管极限。

[上一章：相机为什么会把膜拍得更硬](https://sandboxphysics.com/zh/stories/membrane-mechanics/camera-and-inference/) [下一章：蛋白和脂质怎样一起改变膜形状](https://sandboxphysics.com/zh/stories/membrane-mechanics/curvature-and-composition/)

## 来源与复算范围

1. [W. Helfrich, Elastic Properties of Lipid Bilayers: Theory and Possible Experiments, Z. Naturforsch. C 28, 693–703 (1973)](https://doi.org/10.1515/znc-1973-11-1209)

   曲率弹性原论文，693—703 页。课程采用局域二次曲率能，并另行声明球面为正的曲率约定；球面、膜管和小斜率例题在这里推导，没有复制原图或实测材料参数。

2. [I. Derényi, F. Jülicher and J. Prost, Formation and Interaction of Membrane Tubes, arXiv:cond-mat/0205630v1; Physical Review Letters 88, 238101 (2002)](https://arxiv.org/html/cond-mat/0205630v1)

   2002 年 5 月 29 日 v1，式 (1)—(2)：Helfrich 能与长圆柱膜管的半径、拉力。课程复算这一解析极限，并加入指定的线性仪器弹簧；起管峰、短管轮廓、膜管相互作用及论文图中数值点不在复算范围内。