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title: "旋转小区域里的四个实场"
description: "先定义局部坐标和磁扰动的速度单位，再沿正弦与余弦场的一次空间求导，推导四条实振幅方程。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/magnetorotational-instability/four-fields-in-a-rotating-patch/"
language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/magnetorotational-instability/four-fields-in-a-rotating-patch/"
last_modified: "2026-11-12"
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L2 · 推导与例题

# 旋转小区域里的四个实场

Sandbox Physics · 2026-11-12

竖直背景磁场把两个水平速度和两个水平磁扰动接在一起。若选定一个沿高度起伏的正弦图样，就能用四个随时间变化的实数振幅描述它。先规定空间相位，四条方程的正负号才有明确含义。

先修知识包括圆周运动、力、把导数看作变化率，以及正弦和余弦。前一篇已经说明磁连接为什么可能放大位移。这一章要做到三件具体的事：从空间导数写出四条振幅方程，代入一个初态检查方向，再解释为什么沿高度变化的图样可以没有竖直流速。

## 跟着一条圆轨道看邻近气体

选一条半径为 $R_0$、正角速度为 $\Omega$ 的参考圆轨道。角速度用弧度每秒表示，观察坐标系随这条轨道转动。$x$ 向径向外侧，$y$ 沿绕行方向，$z$ 沿均匀背景磁场 $B_0>0$。研究区域远小于 $R_0$，只保留角速度沿半径变化的第一阶。定义

$$
q=-\frac{d\ln\Omega}{d\ln R}.
$$

$q$ 没有量纲。把邻近角速度展开到第一阶，再用 $R_0$ 乘它与坐标系角速度之差，就得到背景相对速度

$$
\mathbf v_0=-q\Omega x\,\hat{\mathbf e}_y.
$$

当 $q$ 为正，外侧气体落在坐标系后面，内侧气体跑在前面。开普勒转动对应 $q=3/2$。Stone与Gardiner固定版本第II节式7–8采用这套约定。

取密度均匀的流体，以 $\rho$ 表示密度，单位为千克每立方米。再假定它理想导电、不可压缩且没有竖直分层。扰动不随 $x$、$y$ 改变，沿竖直长度 $L$ 周期重复。浮力、电阻和扰动之间的非线性乘积都不进入本章。我们研究的是局部线性通道。

## 把磁扰动换成速度单位

先定义

$$
\delta\mathbf b=\frac{\delta\mathbf B}{\sqrt{\mu_0\rho}},
\qquad v_A=\frac{B_0}{\sqrt{\mu_0\rho}}.
$$

$\mu_0$ 是SI制中的磁导率。$\delta\mathbf b$ 和背景阿尔芬速度 $v_A$ 都用速度单位。这只是把磁场的归一化因子吸收到变量里，磁场仍然与流速有不同的物理含义。Balbus与Hawley原文采用高斯磁场单位；这样换算后，可以在SI制下写同样的耦合。

选正整数 $n$，令竖直波数 $k=2\pi n/L$。规定速度用正弦、磁扰动用余弦：

$$
\begin{aligned}
\delta\mathbf v(z,t)&=(u_x,u_y,0)\sin(kz),\\
\delta\mathbf b(z,t)&=(b_x,b_y,0)\cos(kz).
\end{aligned}
$$

此后 $u_x,u_y,b_x,b_y$ 都表示随时间变化的振幅，单位是米每秒。背景竖直场保持常数，扰动没有竖直分量。它们的散度为零：水平分量不沿水平方向变化，水平分量沿高度的导数又不进入散度。

![同一保存时刻一个竖直周期内的四个水平场，速度为正弦相位，磁扰动为余弦相位](https://sandboxphysics.com/_astro/02-four-fields.zh.desktop.BRcvKkpF.svg)

图取自256格最快模态计算，在三个局部时间单位时保存。横轴是高度除以盒长；上图为速度，下图为换成速度单位的磁扰动。四条曲线来自同一数值场帧。图中保留了数值场相对理想相位关系的小差异。

## 沿着一个空间导数检查正负号

径向动量方程中的磁张力项是 $v_A\partial_z\delta b_x$。由于

$$
\begin{aligned}
\partial_z\cos(kz)&=-k\sin(kz),\\
\partial_z\sin(kz)&=k\cos(kz).
\end{aligned}
$$

磁张力的振幅项带负号，为 $-kv_Ab_x$。感应方程中，竖直场受水平运动拉伸，出现 $v_A\partial_z\delta v_x$，振幅项便是正的 $kv_Au_x$。两种符号来自预先规定的四分之一波长相位差。

旋转坐标系还带来科里奥利项。气体向径向移动时，也跨过了背景剪切。两者合起来，在径向方程中给出 $2\Omega u_y$，在绕行方向方程中给出 $-(2-q)\Omega u_x$。背景剪切还会把径向磁扰动转成绕行方向磁扰动，对应 $-q\Omega b_x$：一条斜线跨过速度不同的两股流，会被继续拉斜。

定义张力频率 $K=kv_A$，单位为每秒。四条振幅方程就是

$$
\begin{aligned}
\dot u_x&=2\Omega u_y-Kb_x,\\
\dot u_y&=-(2-q)\Omega u_x-Kb_y,\\
\dot b_x&=Ku_x,\\
\dot b_y&=-q\Omega b_x+Ku_y.
\end{aligned}
$$

上方一点表示对时间求导，右侧每一项都是速度除以时间。这是原论文式2.2在无分层、竖直波形下的具体形式。采用这套相位后，四个实数振幅就够用了。

## 把一个实际保存的初态代进去

最快模态记录采用 $q=3/2$、$\Omega=1/T_0$、$K=\sqrt{15}/(4T_0)$，其初态振幅为

$$
\begin{gathered}
(u_x,u_y,b_x,b_y)=A\left(1,1,\sqrt{5/3},-\sqrt{5/3}\right),\\
A=10^{-4}L_0/T_0.
\end{gathered}
$$

记录的盒长为 $L_0$，密度在所选单位中取一，基本波形的 $k=2\pi/L_0$。背景阿尔芬速度因此为 $v_A=KL_0/(2\pi)$。初始磁扰动远小于这个背景量。

先算径向速度的导数：两项分别是 $2A/T_0$ 和 $-5A/(4T_0)$，相加得到 $3A/(4T_0)$。绕行速度的导数相同。再算两个磁扰动，也都等于各自振幅乘 $3/(4T_0)$。四个量最初按原比例一起增长。下一章会推导为什么这正是开普勒盘的最快模态。

保存到 $t=3T_0$ 时，径向速度的基本波振幅约为 $9.48817\times10^{-4}L_0/T_0$；独立连续指数参考约为 $9.48774\times10^{-4}L_0/T_0$。前者来自空间网格上的计算，后者来自解析解。图中画的是保存的实际场，保留有限分辨率带来的差异。

## 去掉一种耦合，再预测运动

令磁耦合 $K=0$，磁扰动便不再推动速度。对径向方程再求一次导数，并代入绕行方向方程，得到

$$
\ddot u_x+\kappa^2u_x=0,
\qquad \kappa^2=2(2-q)\Omega^2.
$$

$\kappa$ 是围绕参考圆轨道的小幅本轮振荡频率。在开普勒剪切下，给出一次初始径向推动，解为 $u_x=A\cos(\Omega t)$、$u_y=-A\sin(\Omega t)/2$。这个独立极限能检查旋转项的符号。保存的无场案例也与这段振荡比较过，稳定的运动照样清楚可见。

**习题1。** 水平速度随高度呈正弦变化，是否必须有竖直流速？

**答。** 不必。高度只是标明在哪里测量水平运动。本章通道的竖直速度处处为零。检查不可压缩条件时，要对每个速度分量沿它自己的坐标方向求导。

**习题2。** 有人把速度和磁扰动都写成余弦，却照搬这四条实数方程，缺了什么？

**答。** 竖直导数会把余弦变成正弦，新的空间图样已经不在这四个变量里。需要补上另一组相位，或改用前后一致的复数表示。只改相位名称，不能保留相互不合的符号。

**习题3。** 保留旋转但取 $q=0$，与直接取 $\Omega=0$ 相同吗？

**答。** 刚性转动仍有科里奥利耦合和本轮振荡；无旋转的磁流体则只留下这里的阿尔芬耦合。两种对照回答不同的问题，保存的空间计算都包含了它们。

## 来源

Balbus与Hawley1991，印刷页216的式2.2a–g给出线性分量方程；216–218页的式2.5–2.9、2.13–2.14b给出色散关系和稳定性背景。[原始扫描件](https://articles.adsabs.harvard.edu/pdf/1991ApJ...376..214B)。Stone与Gardiner，arXiv:1006.0139v1，第II节式1–8规定局部旋转坐标与磁场归一化，式11–13给出本轮振荡检验。[固定版本](https://arxiv.org/html/1006.0139v1#S2)。图中的空间场取自已有的线性周期记录，不包含新的非线性演化。

## 动手检验预测

### [在两个高度读取四个场](https://sandboxphysics.com/zh/labs/magnetorotational-instability/)

1. 先预测零高度和四分之一竖直波长处，哪些速度或磁扰动为零。
2. 通道还在播放时先点“暂停”，再点“保存当前通道”，让两个高度来自同一帧。
3. 在physicalField中找到height为0和0.25的两行，读取radialVelocity、azimuthalVelocity、radialMagnetic、azimuthalMagnetic。
4. 用一次竖直求导解释耦合项的符号和竖直流速为零。

## 继续阅读

磁张力怎样放大吸积盘中的扰动 · 阅读路径

### 磁张力怎样放大吸积盘中的扰动

1. [文章 **吸积盘的角动量由谁向外送？**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/magnetorotational-instability/who-carries-angular-momentum/)
2. [当前页面 **旋转小区域里的四个实场**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/magnetorotational-instability/four-fields-in-a-rotating-patch/)
3. [文章 **先算增长，再跟着能量检查**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/magnetorotational-instability/growth-stress-and-energy/)
4. [文章 **竖直网格为什么会改变线性通道**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/magnetorotational-instability/why-a-vertical-mesh-changes-a-channel/)
5. [文章 **怎样检验增长、传输与剪切功**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/magnetorotational-instability/checking-growth-and-shear-work/)
6. [文章 **从保存的场数据检查 MRI 计算**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/magnetorotational-instability/check-saved-mri-fields/)
7. [文章 **从线性增长读到 MRI 湍流的去留**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/magnetorotational-instability/read-beyond-linear-mri/)