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title: "释放电通量弦以后会发生什么"
description: "用能量本征态求小链的实时间演化，推导可手算的两态共振，并同时解释局域场、物质对与守恒量。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/lattice-gauge/string-dynamics/"
language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/lattice-gauge/string-dynamics/"
last_modified: "2026-10-27"
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[格点规范场与弦断裂](https://sandboxphysics.com/zh/stories/lattice-gauge/)

L3 · 第 4 章

# 释放电通量弦以后会发生什么

Sandbox Physics · 2026-10-27

弦释放以后，粒子跃迁把概率振幅分给带物质对的组态；相应的链电场随之降低。在有限、与外界隔离的开放量子链中，这些振幅也会重新相遇，电场可以回来。要读懂这段过程，电场、物质与守恒量必须一起看。

## 开始前需要什么

前一章的组态能量比较；知道量子态由复数振幅组成。这里引入能量本征态：它们演化时只改变整体相位。

[回看上一章](https://sandboxphysics.com/zh/stories/lattice-gauge/flux-energy/)

- 从能量本征态计算每个时刻的量子态。
- 用一个解析两态例子检验数值演化。
- 区分裸物质对、外源引起的变化和局部屏蔽。

## 每个能量分量走自己的相位

把有限 Hamilton 矩阵对角化，就得到能量 $\mathcal E_k$ 与对应态 $|k\rangle$。对角化只是换一套基底，让 Hamilton 量作用在每根新基矢上时，只乘一个数。先把初态投影到这些态上，再让每份振幅按各自的能量转动，最后加回来。

投影得到的 $\langle k|\psi(0)\rangle$ 就是初态沿第 $k$ 个能量态的振幅。把这个能量态的各分量取复共轭，与初态对应分量相乘后求和，就得到该振幅。

两个能量分量的相位差随时间改变，测量概率也就可能改变。电场变暗不是把一条经典绳子截开；它是同一个量子态在不同通量组态之间分配概率的结果。图中的亮度表示期望值，单次测量则会给出某个允许组态。

$$
|\psi(t)\rangle=\sum_k e^{-i\mathcal E_k t}|k\rangle\langle k|\psi(0)\rangle
$$

在约化 Planck 常数为一时，能量乘时间就是相位角。精确对角化针对保留的有限模型；舍入和对角化残差仍需测量。

对应阅读：E. A. Martinez et al. · Sandbox Physics FR04 finite Hamiltonian · Sandbox Physics FR04 original numerical references and reproduction scripts

## 两态共振给出一条能手算的曲线

四格点、两端外源、电通量上限一时，物理基底恰好只有初始弦和屏蔽中间一段的组态。减去初始弦能量，两个对角能量分别为零和 $\Delta=2m-g^2/2$，中间的允许跃迁矩阵元为 $-w$。

两态能量差由跃迁耦合与失谐共同决定。取 $m=1/4$、$g^2=1$、$w=1$，失谐为零，带一对电荷的概率就是 $\sin^2t$。到 $t=\pi/2$ 时完整转移，到 $t=\pi$ 时回到初始弦。这里的完整振荡是该两态截断模型的精确结果。

$$
H_{\mathrm{two}}=\begin{pmatrix}0&-w\\-w&\Delta\end{pmatrix},\qquad \Omega=\sqrt{\Delta^2+4w^2}
$$

失谐是两张固定组态图的能量差，跃迁让它们混合。矩阵两条本征能量之间的间隔是振荡频率。

$$
P_{\mathrm{pair}}(t)=\frac{4w^2}{\Omega^2}\sin^2\left(\frac{\Omega t}{2}\right)
$$

初态为完整弦。远离共振时，转换幅度减小。提高电场截断会加入额外组态，必须重新计算。

## 两处电荷怎样一起涨落

两个位置的平均电荷，还不足以说明它们怎样一起变化。先在每种构型里把两处电荷相乘，再按构型概率平均，得到联合平均；从中减去两个单点平均值的乘积，就留下共同涨落。实验台固定观察站点一与倒数第二个站点，六格点链中就是 $1$ 与 $4$。

四格点两态例子更容易算。设带一对电荷的概率为 $p$。有这对电荷时，中间两点的电荷分别为负一和正一；没有时，两者都是零。单点平均为 $-p$、$p$，联合平均为 $-p$，连通关联为 $-p(1-p)$。共振演化到 $t=\pi/4$ 时，两种构型各占一半，关联为负四分之一。

负号来自两处电荷反向涨落。完整转移后，两处电荷都确定了，共同涨落反而回到零。这个关联描述选定电荷的统计波动；经典概率混合也能给出相同读数。

$$
C_{ab}(t)=\langle Q_aQ_b\rangle-\langle Q_a\rangle\langle Q_b\rangle,\qquad (a,b)=(1,N-2)
$$

联合平均与单点平均都由同一个演化态计算。拖动外源时，这两个观测站点保持固定；改变链长才会改变倒数第二个站点的编号。

对应阅读：Sandbox Physics FR04 finite Hamiltonian · Sandbox Physics FR04 original numerical references and reproduction scripts

## 较长的链为什么更丰富

六格点或八格点链允许物质对从不同位置产生并继续移动。某段电场下降时，查看相邻电荷怎样改变；若两处变化不符合 Gauss 定律，就不是这个模型的有效轨迹。物质对越过中间链段以后，电场的局域分布往往比平均值更能说明过程。

有限孤立系统保持总能量。电场能减少后，可以进入质量项和跃迁项的期望值；后者包含组态之间的相干贡献，不能只把画面上的粒子数乘质量就当作全部物质能。

曲线回升可能来自少数能级的相干振荡，也可能包含边界传播后的回返。要把某次回升称作有限体积回波，需要改变链长并比较同一局域区域，寻找边界相关的时间变化。两种链长的局域比较可以检验边界在这次回升中起了什么作用。

## 物质对数需要一个清楚的基准

半填充、总物质电荷为零时，偶数位置的粒子数等于奇数位置的空穴数。我们把偶数位置占据的总和称作相对于交错乘积参考的裸物质对数。它可以是非整数期望值。

初始交错乘积态不是打开跃迁后的真正相互作用真空。即使去掉外源，它也可能产生裸物质对。若要研究外源额外引起了多少变化，必须用同样的初态约定和 Hamilton 参数，再做一次无外源演化；两条曲线之差才是所选基准下的外源增量。

$$
N_{\mathrm{pair}}(t)=\sum_{n\ \mathrm{even}}\langle\hat n_n(t)\rangle,\qquad \Delta N_{\mathrm{pair}}=N_{\mathrm{pair}}^{\mathrm{sources}}-N_{\mathrm{pair}}^{\mathrm{no\ sources}}
$$

第一项是裸对数，第二项是按指定无源淬火定义的差。局部屏蔽还要查看相应链上的电场和电荷分布。

## 随时间检查三个不会变的量

态的归一化必须保持一，总能量保持初值，每个 $\langle\hat G_n^2\rangle$ 保持零。检查平方而不只检查平均残差，是因为正负错误可以在平均值中抵消，平方却会把它们都留下。

这三项通过后，还要做下一章的截断和链长比较。一个不准确的有限模型也可以把自己的能量守恒得很好。守恒测试检查演化是否符合当前 Hamilton 量，收敛测试检查被删掉的自由度是否重要。

## 动手检验预测

### [从可手算的振荡走到较长的弦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/string-breaking/)

1. 把链设为四格点、电场截断为一、两端有固定源，质量0.25、电场耦合一、跃迁强度一。比较 $t=\pi/2$ 与 $t=\pi$ 附近的中间电场和裸对数。
2. 在同一个两态设置中，展开“数值诊断与完整记录”，比较 $t=\pi/4$ 与完整转移附近的电荷关联；用实际采样时刻算出的物质对概率解释读数。
3. 切回轻物质预设，找一段明显变暗的链，沿着相邻电荷解释它的变化。
4. 比较重物质与冻结物质预设。一个压低转换幅度，另一个直接去掉跃迁；说明曲线为什么不同。

## 练习与解释性答案

1. 两态例子里，为什么确定有一对电荷时，连通关联却是零？

   展开解释

   这时两点电荷分别固定为负一和正一，联合平均与两个平均值之积都为负一，相减为零。电荷对存在，但所选电荷不再涨落。

2. 两态模型里 $\Delta=2$、$w=1$ 时，物质对概率最多达到多少？

   展开解释

   振荡频率平方为 $\Omega^2=4+4=8$。概率前因子为 $4/8=1/2$，所以最大值是一半。失谐让初态不能完全转移。

3. 某位置的 $\langle G_n\rangle=0$，但 $\langle G_n^2\rangle>0$，说明什么？

   展开解释

   说明量子态或概率混合中包含局部 Gauss 违规组态，只是正负残差平均后抵消。一个真正位于零残差物理扇区的态，平方期望也必须为零。

[上一章：拉长一条通量弦要付多少能量](https://sandboxphysics.com/zh/stories/lattice-gauge/flux-energy/) [下一章：电场截断和短链会改掉哪些结果](https://sandboxphysics.com/zh/stories/lattice-gauge/cutoff-finite-size/)

## 来源与计算范围

1. [Sandbox Physics FR04 finite Hamiltonian, conventions and calculation scope](https://github.com/yangzichao/sandboxphysics/blob/main/docs/frontier/fr04/model-specification.md)

   明确课程使用的零起点交错电荷、开放边界、整数电通量硬截断、外源位置与人为错误跃迁。相邻的论文复算和数值验证文档列出独立检查的有限模型结果。这是本站模型定义与计算记录。

2. [E. A. Martinez et al., Real-time dynamics of lattice gauge theories with a few-qubit quantum computer, Nature 534, 516–519 (2016); arXiv:1605.04570v1 (15 May 2016)](https://arxiv.org/html/1605.04570v1)

   方法式 (3)、图 2a 和正文粒子密度定义固定四站点理想连续演化：电场能与跃迁强度之比为一，质量与跃迁强度之比为二分之一，边界场为零，初态为裸自旋真空。真空持续概率按正文定义计算，图 3 另有使用，但未复算其参数扫描。DOI：10.1038/nature18318。arXiv 页面标示永久非独占许可；本站不再分发原图、作者代码或实验数据。

3. [Sandbox Physics FR04 original numerical references and reproduction scripts](https://github.com/yangzichao/sandboxphysics/tree/main/docs/frontier/fr04)

   benchmarks-browser.json 与 benchmarks-independent.json 分别保存两条独立路径算出的原始观测，benchmarks-summary.json 保存差异、数值环境、截断与有限尺寸检查。scripts/frontier/fr04/reproduce-benchmarks.mjs 和 independent-reference.py 可重新生成这些确定性模型记录，文件不含实验测量数据。