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title: "选掉违规态和惩罚违规态有什么不同"
description: "比较硬性物理选基与 Gauss 能量惩罚，明确加入破坏规范的误差，并用泄漏概率和局域观测检验保护效果。"
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language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/lattice-gauge/physical-subspace/"
last_modified: "2026-10-27"
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[格点规范场与弦断裂](https://sandboxphysics.com/zh/stories/lattice-gauge/)

L3 · 第 6 章

# 选掉违规态和惩罚违规态有什么不同

Sandbox Physics · 2026-10-27

硬性选基让违规组态根本没有位置可去。能量惩罚则保留这些组态，只把它们抬到较高能量；一旦有破坏规范的扰动，它仍可能短暂进入违规空间。两种方法需要比较的是同一个初态和同一类误差。

## 开始前需要什么

掌握逐点 Gauss 残差和物理基底。需要理解投影：把不属于指定子空间的振幅删掉，就是向该子空间投影。

[回看上一章](https://sandboxphysics.com/zh/stories/lattice-gauge/cutoff-finite-size/)

- 解释没有破坏规范的误差时，惩罚为何不产生作用。
- 从局部错误跃迁推导惩罚能量。
- 分别比较约束泄漏和物理观测误差。

## 先加入一种明确的错误

如果 Hamilton 量本来保持 Gauss 约束，初态又处在物理空间，给违规态加再高的能量也不会改变轨迹。因为体系本来就到不了那里。要检验能量保护，必须明确写出把振幅送往违规态的过程。

这里增加一个裸物质跃迁：粒子移动，链电场不随之改变。误差强度为 $\epsilon$。它会在相邻两个格点制造相反残差。这个过程适合作为受控的错误模型，误差有多大由参数明确给出。

$$
\hat H_{\mathrm{err}}=-\epsilon\sum_n(\hat f_n^\dagger\hat f_{n+1}+\mathrm{h.c.})
$$

与规范保持跃迁相比，这里省去了链的升降算符。它故意违反局域约束，用来测试保护方法。

对应阅读：David Tong · Sandbox Physics FR04 finite Hamiltonian · Sandbox Physics FR04 original numerical references and reproduction scripts

## 给每个局部错误加上能量

保留较大的半填充物质与电场乘积空间，在其中使用原来的规范保持 Hamilton 量，再加入误差和 $\lambda\sum_n\hat G_n^2$。一对单位残差的平方和为二，比同一组态的无惩罚能量多 $2\lambda$。

较大能量差通常压低错误转换，但幅度仍取决于原来的能量差、跃迁强度和观察时间。某些参数还可能把不同能量补偿到近共振。直接画出泄漏随时间和惩罚强度的变化，就能检验这些可能性。

$$
\hat H_\lambda=\hat H+\hat H_{\mathrm{err}}+\lambda\sum_n\hat G_n^2
$$

惩罚系数是能量参数。要在实验中加入这个惩罚，需要找到装置能控制的对应相互作用。

## 硬性投影解的是哪个 Hamilton 量

令 $P$ 投影到每个 Gauss 残差均为零的物理子空间。硬性选基使用 $P(\hat H+\hat H_{\mathrm{err}})P$。一次裸跃迁的终点不在物理空间中，因此在这个例子里，它的一阶矩阵元被投影删掉。

有限惩罚下，态可以先短暂进入高能违规空间，再回到物理空间。这样的虚跃迁也会改变物理子空间内部的有效演化。于是，泄漏概率很小，并不自动意味着物理电场曲线与硬投影完全重合。

比较时使用同一个初始物理组态、相同电场范围和耦合。硬投影是理想参考；惩罚解包含指定误差的影响。全空间与硬投影的基底维数可以不同，观测必须按同一个定义计算。

## 两个读数回答两种问题

约束泄漏是 $1-\langle P\rangle$，表示态落在物理空间以外的总概率。平均 Gauss 平方则按残差大小给违规态加权。这两者相关，却不是同一个数。

再选一个物理观测，例如中间链电场，把有限惩罚与硬投影结果相减。它显示保护对实际预测的影响。扫描惩罚时，也保留全 Hamilton 量的能量与归一化检查，避免把数值刚性误认为物理泄漏。

$$
\mathcal L(t)=1-\langle\psi(t)|P|\psi(t)\rangle,\qquad \delta E_n(t)=\langle E_n\rangle_\lambda-\langle E_n\rangle_{P}
$$

泄漏检查态有没有跑出物理空间，电场差检查目标预测偏了多少。这里的参考是相同截断的硬投影模型。

## 一个只含两种状态的估计

若一个物理态只通过强度 $\epsilon$ 耦合到一个违规态，且总能量差近似为 $2\lambda$，就得到与共振例子相同的两态公式。最大泄漏约为 $\epsilon^2/(\lambda^2+\epsilon^2)$。当惩罚远大于误差时，它按两者比值的平方下降。

这是解释趋势的孤立通道估计。真正的小链有许多违规态与不同能量差，实验台直接计算全部保留的通道。把估计与实际曲线比较，可以看出哪些条件下单通道图像有用。

## 动手检验预测

### [让同一个错误遇上不同的保护](https://sandboxphysics.com/zh/labs/gauge-subspace/)

1. 固定误差强度，比较无惩罚与较大惩罚下的泄漏曲线。
2. 展开“数值诊断与完整记录”，读出中央链电场与物理基底参考的差。改变惩罚强度，比较同一时刻的电场差与泄漏，它们是否总会一起变小？
3. 把破坏规范的误差设为零，检查改变惩罚系数是否还会改变物理轨迹，并解释原因。

## 练习与解释性答案

1. 一个违规组态只有两个相邻位置的 Gauss 残差分别为正一和负一，惩罚项贡献多少能量？

   展开解释

   两个残差平方均为一，相加为二，所以额外能量是 $2\lambda$。正负号不会在平方和中抵消。

2. 泄漏概率已经很小，为什么还要比较电场曲线？

   展开解释

   短暂经过违规空间的虚跃迁可以改变物理空间内部的有效相位和耦合。态大部分留在物理空间，也可能逐渐积累可见的物理观测误差。

[上一章：电场截断和短链会改掉哪些结果](https://sandboxphysics.com/zh/stories/lattice-gauge/cutoff-finite-size/) [下一章：从原子占据读出电通量弦](https://sandboxphysics.com/zh/stories/lattice-gauge/optical-lattice-mapping/)

## 来源与计算范围

1. [Sandbox Physics FR04 finite Hamiltonian, conventions and calculation scope](https://github.com/yangzichao/sandboxphysics/blob/main/docs/frontier/fr04/model-specification.md)

   明确课程使用的零起点交错电荷、开放边界、整数电通量硬截断、外源位置与人为错误跃迁。相邻的论文复算和数值验证文档列出独立检查的有限模型结果。这是本站模型定义与计算记录。

2. [David Tong, Gauge Theory (2018 lecture notes)](https://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/gaugetheory/gt.pdf)

   第 2.5.1、2.7 节讨论静态探针和动力学物质；第 4.2.1、4.3.1 节介绍格点链变量与二维交错费米子；第 7.1 节给出一维空间中的静电能。课程另行明确有限 Hamilton 量、编号和硬截断。

3. [Sandbox Physics FR04 original numerical references and reproduction scripts](https://github.com/yangzichao/sandboxphysics/tree/main/docs/frontier/fr04)

   benchmarks-browser.json 与 benchmarks-independent.json 分别保存两条独立路径算出的原始观测，benchmarks-summary.json 保存差异、数值环境、截断与有限尺寸检查。scripts/frontier/fr04/reproduce-benchmarks.mjs 和 independent-reference.py 可重新生成这些确定性模型记录，文件不含实验测量数据。