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title: "把允许的组态连成一个量子模型"
description: "逐项建立一维格点 Hamilton 量，推导带电粒子跃迁为何必须同时改变链电场，并构造物理基底。"
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language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/lattice-gauge/hamiltonian-basis/"
last_modified: "2026-10-27"
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[格点规范场与弦断裂](https://sandboxphysics.com/zh/stories/lattice-gauge/)

L2 · 第 2 章

# 把允许的组态连成一个量子模型

Sandbox Physics · 2026-10-27

粒子不能独自跳到邻居那里，把电场原封不动地留下。一个符合 Gauss 定律的跃迁必须同时改动连接两点的电通量。先列出允许组态，再按这个规则连起来，就得到可以求解的有限量子模型。

## 开始前需要什么

先完成上一章的逐点电荷加法。还需要复数和概率的基本概念：复数振幅有大小与相位，振幅绝对值的平方给出概率。本章会解释矩阵怎样作用在这些振幅上。

[回看上一章](https://sandboxphysics.com/zh/stories/lattice-gauge/local-gauss/)

- 说清 Hamilton 量三项分别描述什么。
- 验证一次跃迁保持两端的 Gauss 约束。
- 用物理组态构造有限矩阵。

## 先规定这个世界有多大

本课程使用一维开边界的 $\mathrm{U}(1)$ 模型，格点从零开始编号。物质占据数为零或一，链电通量取整数。浏览器保留四、六或八个格点，并把每条链限制在 $-E_{\max},\ldots,E_{\max}$，其中上限取一或二。两端电通量固定为零，外源固定在选定位置。

取格距和约化 Planck 常数为一。能量用参考跃迁强度计量，时间用它的倒数计量。下面的 $w$ 是跃迁强度，$m$ 是交错质量，$g^2$ 决定电场能的代价。它们是这个格点模型的参数；要换成实验单位，还需要另做装置映射。

对应阅读：David Tong · Sandbox Physics FR04 finite Hamiltonian

## 三种能量怎样写在同一个式子里

Hamilton 量是一个矩阵。它的对角元素给出各个组态的能量，非对角元素让不同组态的振幅彼此转换。质量项与电场项不改变组态，只给出它的能量；跃迁项把一份占据从相邻位置移到另一处。

费米子算符 $\hat f_n$ 取走格点上的粒子，$\hat f_n^\dagger$ 放入粒子；占据算符是 $\hat n_n=\hat f_n^\dagger\hat f_n$。链算符 $\hat U_n$ 把该链电通量提高一。厄米共轭补上逆过程，让 Hamilton 量具有实能量和可逆的时间演化。

$$
\hat H=-w\sum_{n=0}^{N-2}(\hat f_n^\dagger\hat U_n\hat f_{n+1}+\mathrm{h.c.})+m\sum_{n=0}^{N-1}(-1)^n\hat n_n+\frac{g^2}{2}\sum_{n=0}^{N-2}\hat E_n^2
$$

第一项连通组态，第二项让正质量下的奇数位置占据更便宜，第三项给出随每条链电通量平方增加的电场能。固定外源通过 Gauss 约束进入允许的组态。

## 为什么向左跳要把通量提高一

设右侧粒子向左跳。左格点的占据数增加一，右格点减少一。连接它们的电通量同时增加一后，左格点的通量差与电荷一起增加，右格点的通量差与电荷一起减少。两个局部等式继续成立。

逆过程是向右跳，并把电通量降低一。若把链算符省掉，就会在这两个位置制造 Gauss 残差。模型是否保持局域约束，取决于跃迁本身怎样写。

在保留电场的边缘，升降操作若要越界，就把那次跃迁删去。这是硬截断。有限矩阵仍可保持 Gauss 约束，但边缘的链算符已不再满足无限转子的全部代数，因此必须另外检查截断收敛。

$$
[\hat H,\hat G_n]=0\quad\text{for every site }n
$$

在这里定义的有限物理模型中，允许的跃迁保持每个局部 Gauss 扇区。第四章会检验其时间演化。

## 不用先存下所有电场

四个半填充格点只需从六种占据组合开始。给定两端外源后，逐个用 Gauss 定律求链电场。最大通量为一时，只剩 $(0,1,0,1)$ 与 $(0,0,1,1)$ 两个组态；其余四种都会在某条链上达到二。最大通量提高到二后，六种组合全部保留。

每个保留组态是一根基矢。量子态是这些基矢的叠加：给每个组态一个复数振幅。计算各个振幅绝对值的平方，再加起来，必须等于一。电场的期望值则是各组态电场按这些概率加权的平均。

这种选基把不满足约束的组态从一开始排除，叫作物理子空间。它节省计算，也让局域规律精确成立。第六章将把它与保留额外组态、再用能量惩罚压制错误的方法比较。

$$
|\psi\rangle=\sum_{a=1}^{D}c_a|a\rangle,\qquad \sum_a|c_a|^2=1,\qquad \langle E_n\rangle=\sum_a|c_a|^2E_n(a)
$$

$D$ 是保留的物理基底维数。这里的链电场在组态基底中是对角量，所以平均值只需要组态概率。

## 模型能回答到哪一步

这是一维 Abelian 规范场与交错费米子的有限链，可以研究约束、屏蔽和弦释放。三维 QCD 使用非 Abelian 色规范场，有不同的空间结构和相互作用。把这里的屏蔽称为一维模型中的弦断裂，就准确说出了计算的对象。

有限链没有连续空间的全部短距离模式。电场截断也会删掉真实的可达组态。先扩大电场范围，再比较链长，就能检查某条局域电场曲线对这些删减有多敏感。

## 动手检验预测

### [在六格点链上检查同一个跃迁规则](https://sandboxphysics.com/zh/labs/gauss-law-builder/)

1. 选择“允许的弦”，按页面的六个站点逐点重建电场。
2. 改选“一对粒子屏蔽”，找出占据改变的两个位置和电场改变的链段。
3. 比较“有电荷，没有通量”与正确屏蔽组态，解释为什么前者仍然违规。

## 练习与解释性答案

1. 为什么正质量下，把一个粒子从奇数格点移到偶数格点，质量能增加 $2m$？

   展开解释

   奇数格点的每个粒子贡献 $-m$，偶数格点贡献 $+m$。移走前者让能量增加 $m$，填入后者再增加 $m$，合计 $2m$。

2. 物理基底中每根基矢的 Gauss 残差都为零，量子叠加后仍然为零吗？

   展开解释

   满足。Gauss 生成元是线性算符，作用在每根保留基矢上都给零，作用在它们的任意叠加上也给零。期望值的零因此来自整态属于物理子空间。

[上一章：一条电通量链怎样遵守 Gauss 定律](https://sandboxphysics.com/zh/stories/lattice-gauge/local-gauss/) [下一章：拉长一条通量弦要付多少能量](https://sandboxphysics.com/zh/stories/lattice-gauge/flux-energy/)

## 来源与计算范围

1. [Sandbox Physics FR04 finite Hamiltonian, conventions and calculation scope](https://github.com/yangzichao/sandboxphysics/blob/main/docs/frontier/fr04/model-specification.md)

   明确课程使用的零起点交错电荷、开放边界、整数电通量硬截断、外源位置与人为错误跃迁。相邻的论文复算和数值验证文档列出独立检查的有限模型结果。这是本站模型定义与计算记录。

2. [David Tong, Gauge Theory (2018 lecture notes)](https://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/gaugetheory/gt.pdf)

   第 2.5.1、2.7 节讨论静态探针和动力学物质；第 4.2.1、4.3.1 节介绍格点链变量与二维交错费米子；第 7.1 节给出一维空间中的静电能。课程另行明确有限 Hamilton 量、编号和硬截断。