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title: "拉长一条通量弦要付多少能量"
description: "从一维 Gauss 定律推导静态弦能，计算物质对怎样降低电场能，并区分能量有利与真实断弦动力学。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/lattice-gauge/flux-energy/"
last_modified: "2026-10-27"
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[格点规范场与弦断裂](https://sandboxphysics.com/zh/stories/lattice-gauge/)

L2 · 第 3 章

# 拉长一条通量弦要付多少能量

Sandbox Physics · 2026-10-27

在没有动力学物质的这条一维链上，拉远两个单位外源就要多添几段相同的电场。每段付同样的能量，弦能随距离直线增长。允许物质运动以后，新出现的正负电荷可以让一部分链电场消失，代价是创造这一对电荷所需的质量能。

## 开始前需要什么

前两章的 Gauss 重建、电场平方能和交错质量项。这里先把跃迁强度设为零，比较明确组态的能量，随后再把量子跃迁放回来。

[回看上一章](https://sandboxphysics.com/zh/stories/lattice-gauge/hamiltonian-basis/)

- 推导无物质屏蔽时的线性弦能。
- 逐项比较弦组态与带一对电荷组态的能量。
- 解释为什么能量交叉本身不能给出断弦时间。

## 先把会动的物质固定住

把一个正外源与一个负外源隔开 $d$ 条链，物质处在中性参考组态，两端边界通量为零。Gauss 定律要求外源之间每条链都带单位通量，外面为零。电场能就是把这 $d$ 份相同代价相加。

这条直线有一个很具体的来历：一维电场只有向左和向右两个方向，不能像三维点电荷那样向周围摊开。三维规范理论中的通量管需要另外的动力学解释，不能从这幅一维图直接推出。

$$
V_{\mathrm{string}}(d)=\frac{g^2}{2}\,d
$$

这是单位外源、零边界背景、固定中性物质、格距为一时的电场能。两组态共有的参考质量能已经减去。

电场能 $V/g^2$外源间距 $d$

解析模型参考：物质固定为中性参考组态，外源为单位电荷。每多一条链就多一份相同电场能；各点为计算值。

对应阅读：David Tong · Sandbox Physics FR04 finite Hamiltonian

## 一个负空穴和一个正粒子能省掉什么

正质量下，空穴只能先从原本占据的奇数位置产生，正粒子落到偶数位置。在左侧正外源旁放负空穴，在右侧负外源旁放正粒子，它们之间原来的单位电场就能被屏蔽。若因此清空 $\ell$ 条链，省下的电场能是 $g^2\ell/2$，新增质量能是 $2m$。

把这两个变化相加，就知道哪一个固定组态更便宜。这里比较的是两张确定的组态图；允许跃迁后，基态通常是多张图的叠加，能量交叉也会变成有限系统中的混合。

$$
\Delta E=E_{\mathrm{screened}}-E_{\mathrm{string}}=2m-\frac{g^2}{2}\ell
$$

当 $\Delta E<0$ 时，这个带一对电荷的组态能量较低。具体能屏蔽几条链，必须由电荷位置和 Gauss 定律决定。

## 四格点例题只需算两张图

继续用两端固定源的四格点链。初始占据为 $(0,1,0,1)$，电场为 $(1,1,1)$。中间粒子右移后，占据为 $(0,0,1,1)$，电场变成 $(1,0,1)$。这里只清空中间一条链，因此 $\ell=1$。

取 $g^2=1$。初始弦的电场能为 $3/2$，屏蔽组态为 $1$。质量取 $m=1/4$ 时，新增一对电荷花费 $1/2$，恰好等于省下的电场能。两张图总能相同。质量更大时造对更贵，质量更小时清空电场更划算。

两端仍各留一段电场，是由交错位置与静态源的摆放决定的。屏蔽不要求画面上所有链都变暗；要看允许的物质电荷究竟能落在哪里。

四格点例题，减去共同参考质量能。

| 组态 | 新增质量能 | 电场能 |
| --- | --- | --- |
| 初始弦 | $0$ | $3g^2/2$ |
| 屏蔽一段 | $2m$ | $g^2$ |

## 从能量比较走向真实演化

即使另一张图更便宜，若跃迁强度为零，初态也永远停在那里。它没有任何过程可以改变占据。打开跃迁后，组态之间才开始交换概率振幅；转换速度取决于矩阵元、能量差以及中间经过的其他组态。

另一种问题是缓慢改变参数，试着让体系一直跟随基态。它与突然放开一条高能弦的过程不同。前者比较最终接近哪个低能态，后者看一个既定初态怎样在同一个 Hamilton 量下演化。下一章选择后者，直接算出随时间变化的电场和物质。

## 动手检验预测

### [先预测，再释放](https://sandboxphysics.com/zh/labs/string-breaking/)

1. 先用“物质停止跃迁”预设观察有电场却无法运动的弦，解释为什么能量高也不会自动断裂。
2. 在高级设置把“链上站点数”设为四、“电场截断”设为一，保留固定外源，把右源放在第三号站点；质量设为0.25、电场耦合设为一、跃迁强度设为一。预测哪段会被屏蔽。
3. 提高质量并保持其余参数不变，比较电场下降幅度与物质对数。

## 练习与解释性答案

1. 某个允许组态清空三条单位电通量链。若 $m=1$、$g^2=2$，它比初始弦高多少能量？

   展开解释

   质量代价是 $2m=2$，电场能减少 $g^2\ell/2=3$，相对能量为 $-1$。它比初始弦低一个参考能量单位。计算仍没有给出达到该组态的时间。

2. 一条与外界隔离的开放链的中央电场变小了，能否立即说系统已经到了屏蔽基态？

   展开解释

   不能。突然释放后的态一般是多个能量本征态的叠加，中央场可以随相位干涉减小、再增大。判断基态需要比较能量、态重叠或明确的制备过程；某一时刻的局部场不足以决定。

[上一章：把允许的组态连成一个量子模型](https://sandboxphysics.com/zh/stories/lattice-gauge/hamiltonian-basis/) [下一章：释放电通量弦以后会发生什么](https://sandboxphysics.com/zh/stories/lattice-gauge/string-dynamics/)

## 来源与计算范围

1. [Sandbox Physics FR04 finite Hamiltonian, conventions and calculation scope](https://github.com/yangzichao/sandboxphysics/blob/main/docs/frontier/fr04/model-specification.md)

   明确课程使用的零起点交错电荷、开放边界、整数电通量硬截断、外源位置与人为错误跃迁。相邻的论文复算和数值验证文档列出独立检查的有限模型结果。这是本站模型定义与计算记录。

2. [David Tong, Gauge Theory (2018 lecture notes)](https://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/gaugetheory/gt.pdf)

   第 2.5.1、2.7 节讨论静态探针和动力学物质；第 4.2.1、4.3.1 节介绍格点链变量与二维交错费米子；第 7.1 节给出一维空间中的静电能。课程另行明确有限 Hamilton 量、编号和硬截断。