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title: "稀少的碰撞怎样抹掉等离子体的记忆"
description: "碰撞让分布在速度方向变模糊，细条纹最先被抹平。碰撞稀少到不影响波的衰减，却仍能抹掉回波。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/kinetic-plasma/weak-collisions-and-irreversibility/"
last_modified: "2026-10-29"
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[等离子体动理学 · 边学边做实验](https://sandboxphysics.com/zh/stories/kinetic-plasma/)

L3 · 第 7 章

# 稀少的碰撞怎样抹掉等离子体的记忆

碰撞让分布在速度方向变模糊，而模糊抹掉细条纹比抹掉粗条纹快得多。承载回波的条纹，间隔越久就越细。碰撞频率哪怕比等离子体频率小几千倍，也能抹掉回波，普通的朗道阻尼却几乎不受影响。

Sandbox Physics · 2026-10-29

这一章

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开始前

第 3、6 章。扩散方程，以及正弦波在扩散下怎样衰减。

推导

## 一个守住守恒律的碰撞模型

模拟用的碰撞算符是速度方向的“拖曳加扩散”，由 Dougherty 在 1964 年提出。在每个位置，它把电子拉向当地平均速度 $u$，再按当地温度 $T$ 扩散开，$u$ 和 $T$ 都从同一列分布算出。这样选，电子数、动量和动能都守恒。

这个算符也从不降低熵 $-\int f\ln f\,dv$，它唯一不改变的分布，是以当地 $u$、$T$ 为参数的麦克斯韦分布。只开碰撞的测试里，熵每一步都上升，最后与同能量麦克斯韦分布的熵相差不到 $6\times10^{-10}$。

$$
C[f]=\nu\,\frac{\partial}{\partial v}\Big[(v-u)\,f+T\,\frac{\partial f}{\partial v}\Big]
$$

## 细条纹先消失

条纹 $e^{i\kappa v}$ 在扩散系数 $\nu T$ 下以速率 $\nu T\kappa^2$ 衰减。光滑的麦克斯韦分布 $\kappa$ 约为一；第 3 章的条纹 $\kappa=kt$，$k=0.5$ 时到 $t=40$ 已是 $20$。条纹被抹掉的速度是光滑部分的 $400$ 倍。

把这个速率沿条纹的历史积起来，就是总损失。条纹波数从零开始按 $kt$ 增长，到时刻 $t$ 累积的指数是 $\nu k^2t^3/3$，随时间的三次方增长。

$$
\frac{d}{dt}\ln|\hat f(\kappa)|=-\nu T\kappa^2,\qquad \int_0^t \nu (ks)^2\,ds=\frac{\nu k^2t^3}{3}
$$

完整例题

## 例题：估算回波的损失

产生回波的条纹在第二个脉冲之前按 $k_1t$ 变细，之后以速率 $k_2-k_1$ 变粗，到 $\tau^{\prime}$ 消失。取 $T=1$，两段相加得到下面的估计。先模式 1、再模式 2，$k_1=0.5$、$k_2=1$、$\tau=20$，方括号等于 $1333$。$\nu=0.002$ 时，估计回波缩小为 $e^{-2.67}\approx0.07$。

模拟给出的比值是 $0.18$，指数 $1.69$。这个自由流动估计没算碰撞算符里的拖曳部分，也没算自洽电场；在我们的运行里，它把指数高估了大约 $20\%$ 到 $60\%$，抑制越强，高估越多。$\tau=30$ 时，$\nu=10^{-4}$、$2\times10^{-4}$、$4\times10^{-4}$ 测得的指数是 $0.38$、$0.74$、$1.40$，估计值是 $0.45$、$0.90$、$1.80$。靠得住的是随间隔三次方增长这一点。单道波几乎感觉不到这些碰撞，间隔很长的回波却会被抹掉大半。

$$
\ln\frac{E_{\mathrm{echo}}(\nu)}{E_{\mathrm{echo}}(0)}\approx-\nu\left[\frac{k_1^2\tau^3}{3}+\frac{(k_1\tau)^3}{3(k_2-k_1)}\right]=-\frac{\nu\,k_1^2k_2\,\tau^3}{3(k_2-k_1)}
$$

## 不可逆从哪里进来

没有碰撞时，Vlasov 方程可逆，回波就是证据：藏在条纹里的信息又回来了。有了碰撞，最细的条纹变成分布的光滑改变，熵随之上升，之后再打什么脉冲也找不回来。

1967 年的论文指出，可以借这种敏感来测很弱的碰撞频率：库仑碰撞正是通过这种速度扩散起作用，对波数为 $kv\tau$ 的条纹，作用增强到约 $(kv\tau)^2$ 倍。Su 和 Oberman 在 1968 年发表了碰撞阻尼回波的理论；本课程没有复现他们的结果。

带着问题动手

## 先预测，再改变，最后解释

1. 碰撞频率不变，把间隔从 20 拉长到 30，回波会怎样变？
2. 在回波 Lab 里把碰撞滑块调到 0.001，比较间隔 20 和 30；再关掉碰撞重复一次。
3. 用“随间隔三次方增长”解释：为什么间隔长的那次损失大得多，而每个脉冲自己的衰减几乎没变。

[用两个脉冲造出回波](https://sandboxphysics.com/zh/labs/plasma-wave-echo/) [看波纹折成速度条纹](https://sandboxphysics.com/zh/labs/phase-space-filaments/)

三个相空间 Lab 用等离子体单位求解一维电子模型，每个 Lab 都能导出参数、模型版本和电场历史。

## 试着自己解释

### 1. 间隔从 20 增加到 30，估计的碰撞指数变为几倍？

展开答案与解释

与 $\tau^3$ 成正比，变为 $(30/20)^3\approx3.4$ 倍。

### 2. 碰撞频率 $0.002$ 为什么几乎不改变单道 $k=0.5$ 波的朗道阻尼？

展开答案与解释

朗道阻尼由波速附近分布的光滑斜率决定。碰撞改变这个斜率的速率约为 $\nu$，即 $0.002$，远慢于衰减率 $0.153$。

### 3. 碰撞算符守恒细粒熵吗？

展开答案与解释

不守恒。它从不让熵减少，只要分布不是当地的麦克斯韦分布，熵就增加。这正是它和第 2 章 Vlasov 方程的区别。

## 可以放在旁边读的来源

1. [R. W. Gould, T. M. O’Neil and J. H. Malmberg, Plasma Wave Echo, Physical Review Letters 19, 219 (1967)](https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.19.219)

   全文读自加州理工学院机构库的副本。图 1 画出两个脉冲和回波，式 (4)、(5) 给出回波时刻和包络。我们在一维模拟里检验回波时刻、回波模式和包络速率。

2. [C. H. Su and C. Oberman, Collisional Damping of a Plasma Echo, Physical Review Letters 20, 427 (1968)](https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.20.427)

   讨论弱碰撞怎样削弱回波的理论。这里只核对了书目信息和摘要，课程里的碰撞估计另行推导。

3. [J. P. Dougherty, Model Fokker-Planck Equation for a Plasma and Its Solution, Physics of Fluids 7, 1788 (1964)](https://doi.org/10.1063/1.2746779)

   模拟所用“拖曳加扩散”碰撞模型的出处。这里只核对了书目信息，所用的守恒性质由数值检验确认。

[上一章 两个脉冲消失之后，第三个信号出现了](https://sandboxphysics.com/zh/stories/kinetic-plasma/plasma-wave-echoes/) [下一章 读 1967 年的等离子体波回波论文](https://sandboxphysics.com/zh/stories/kinetic-plasma/reading-the-1967-echo-paper/)